专题3 全等三角形常见几何模型2025-2026学年人教版数学八年级上册

专题3 全等三角形常见几何模型 【人教版2024】 【知识点1 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 【典题练习】 【例1】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【练1】如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【知识点2 对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 【例2】如图，在四边形中，点在对角线上，连结、．已知，． （1）求证：； （2）求证：． 【练2】如图，和，点，在直线上，，，．如图①，易证：． (1)如图②，如图③，请猜想，，之间的数量关系，并直接写出猜想结论； (2)请选择（1）中任意一种结论进行证明； (3)若，，点到直线的距离为，则________． 【知识点3 手拉手模型】 【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。 【例3】如图，，、相交于点，，． (1)求证：①；②． (2)若条件改为，则（1）中的①、②两个结论还成立吗？并说明理由． 【练3】【练3】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【知识点4 半角模型】 【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系 【例4】如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，，，之间的数量关系，并证明. 【练4】（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． 【知识点5 一线三等角模型】 【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE. 【常见模型】 【例5】【模型构建】 如图①，已知，如果，那么．我们把这种图形叫做“一线三直角”． 【初步探究】 我们发现，如果和不是直角，但都相等，且，结论也依然成立．请在下面两题中，选择一题进行解答． （1）如图②，已知，且，求证：． （2）如图③，已知，且，求证：． 【练5】【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 全等三角形常见几何模型 【人教版2024】 【知识点1 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 【典题练习】 【例1】如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】解： 理由：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【练1】如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点2 对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 【例2】如图，在四边形中，点在对角线上，连结、．已知，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据等角的补角相等可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证． 【详解】（1）∵，， ∴， 在和中，， ∴； （2）由（1）已证：， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等角的补角相等、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 【练2】如图，和，点，在直线上，，，．如图①，易证：． (1)如图②，如图③，请猜想，，之间的数量关系，并直接写出猜想结论； (2)请选择（1）中任意一种结论进行证明； (3)若，，点到直线的距离为，则________． 【答案】(1)图②：；图③： (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段的和差， （1）先判断两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可； （2）先证两个三角形全等，再结合线段的和差求解即可； （3）根据三角形的面积求出的长，进而求出即可． 【详解】（1）解：图②：． 图③：． （2）解：图②中 ∵ ∴ 在和中， ， ， ， ， 即． 或图③中， 在和中， ， ， ， ， 即． （3）解：∵，点到直线的距离为 ∴ 又∵， ∴由图①或图②可得：，或， 故答案为：或． 【知识点3 手拉手模型】 【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。 【例3】如图，，、相交于点，，． (1)求证：①；②． (2)若条件改为，则（1）中的①、②两个结论还成立吗？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论（1）成立，结论（2）不成立，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①由可得，证明，根据全等三角形的性质即可证明；②设、相交于点，由可得，结合，可得，最后结合对顶角的定义和三角形内角和定理，即可证明； （2）由可得，证明，根据全等三角形的性质即可证明结论（1）成立；设、相交于点，由可得，根据可得，最后结合对顶角的定义和三角形内角和定理，可得，可判断结论（2）不成立． 【详解】（1）证明：① ， ，即， 在和中， ， ， ； ②如图，设、相交于点， ， ， ， ， ， 在中，， ． （2）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ； 如图，设、相交于点， 由（1）知， ， ， ， ，， ， 在中， ， 故不能得到． 【练3】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 【知识点4 半角模型】 【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系 【例4】如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，猜想，，之间的数量关系，并证明 【答案】； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； 【详解】解:在和中 ， 又， 在和中 【练4】（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． 【答案】（1）．（2）． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． （1）设，则，延长到点，使，连接，证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，证明，，即可解答； 【详解】解：（1），理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【知识点5 一线三等角模型】 【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE. 【常见模型】 【例5】【模型构建】 如图①，已知，如果，那么．我们把这种图形叫做“一线三直角”． 【初步探究】 我们发现，如果和不是直角，但都相等，且，结论也依然成立．请在下面两题中，选择一题进行解答． （1）如图②，已知，且，求证：． （2）如图③，已知，且，求证：． 【分析】初步探究：（1）由三角形内角和定理和平角的定义可得，则可证明，进而可证明得到，则可证明； （2）同（1）证明即可； 【详解】解：初步探究：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【练5】【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)9 (2)；理由见解析 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）由，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系； 【详解】（1）解：，，， ，， ； 故答案为：9． （2）解： 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． 学科网（北京）股份有限公司 $$