第23讲 三角恒等变换（知识梳理+14大题型+强化训练）-2025年高一数学人教A版（2019）暑假提升

第23讲 三角恒等变换 目录： 一、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 两角和与差的正弦、余弦公式 ………………………………………………………1 知识点2 两角和与差的正切公式及其变形……………………………………………………2 知识点3 二倍角公式……………………………………………………………………………2 知识点4 降幂扩角公式和升幂缩角公式………………………………………………………2 知识点5 半角公式………………………………………………………………………………2 知识点6 辅助角公式……………………………………………………………………………2 知识点7 其他常用变式…………………………………………………………………………2 二、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 ………………………………………………3 题型二 两角和与差的正弦、余弦公式的逆用 ………………………………………………3 题型三 两角和与差的正切公式的应用 ………………………………………………………4 题型四 两角和与差的正切公式的逆用 ………………………………………………………4 题型五 角的变换问题 …………………………………………………………………………5 题型六 给值求角 ………………………………………………………………………………5 题型七 辅助角公式的应用 ……………………………………………………………………6 题型八 二倍角公式的正用与逆用 ……………………………………………………………7 题型九 降幂扩角公式和升幂缩角公式的应用 ………………………………………………8 题型十 二倍角公式的化简、证明 ……………………………………………………………9 题型十一 利用半角公式求值 …………………………………………………………………9 题型十二 给角求值……………………………………………………………………………10 题型十三 给值求值……………………………………………………………………………11 题型十四 三角函数性质的综合应用…………………………………………………………12 三、强化训练 ………………………………………………………………………13 知识梳理 知识点1 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； 知识点2 两角和与差的正切公式及其变形 ①； ②两角和与差正切公式变形 ； 知识点3 二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点4 降幂扩角公式和升幂缩角公式 降幂公式：；. 升幂公式：；； ； 知识点5 半角公式 ；； ． 知识点6 辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下：= 其中. 知识点7 其他常用变式 万能公式：； 和差化积公式：；； ；． 积化和差公式： ；； ；． 题型归纳 题型一 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 3．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知，则的值为 ． 4．（2025·湖南长沙·三模）若，则 5．（24-25高一下·浙江绍兴·期末）已知，则（） A． B． C． D．2 6．（24-25高一下·湖北十堰·期末）已知，均为锐角，且，，则（   ） A． B． C． D．3 7．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则 ． 题型二 两角和与差的正弦、余弦公式的逆用 1．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）的值等于（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三 两角和与差的正切公式的应用 1．（24-25高一下·江苏扬州·期末）若，则的值为（   ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知，则 . 4．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 题型四 两角和与差的正切公式的逆用 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 6．（19-20高三上·新疆昌吉·阶段练习）在中，若，则的值是 ． 7．（24-25高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）化简求值： 题型五 角的变换问题 1．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则 ． 4．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知，，且，， 5．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，为锐角，，. (1)求； (2)求. 【方法总结】由于和、差与单角是相对的，因此解题过程中需要灵活的进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有：，，， ，等等. 题型六 给值求角 1．（22-23高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知，，，，则 ． 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 5．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，都是锐角且，，则 ． 6．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，为锐角，，且． (1)求的值；(2)求角的值． 7．（2023高三·全国·专题练习）已知，，且，，求的值. 【方法总结】解决三角函数给值求角问题的方法步骤 ⑴根据条件确定所求角的范围. ⑵求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. ⑶结合三角函数值及角的范围求角. 题型七 辅助角公式的应用 1．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）将下列函数化成正弦型函数（的形式） (1)； (2)； (3)； (4) 2．（多选）（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在上单调递减 3．（24-25高一下·湖北恩施·期中）写出函数的图象的一个对称中心 ．（任写一个即可） 4．（24-25高一下·北京房山·期中）函数的单调递减区间 ． 5．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为 . 6．（24-25高一下·江苏南京·期中）设当时，函数取得最大值，则 ． 7．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为 8.（24-25高一下·江苏苏州·期中）钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于 . 9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数在处取得最小值，则 . 10．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)求的值；(2)求的最小正周期；(3)求使取得最小值的的集合． 题型八 二倍角公式的正用与逆用 1．（24-25高一下·江苏扬州·期末）的值为（   ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知，则 ． 7．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 . 8．（24-25高一下·重庆江北·阶段练习）已知，则 . 9．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·阶段练习）若，则 . 【方法总结】二倍角公式的正用、逆用解题的关注点 ⑴注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系. ⑵结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式. 题型九 降幂扩角公式和升幂缩角公式的应用 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知角终边在第二象限，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．（24-25高一下·湖北·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设的化简结果为 ． 6．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则 ． 7．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，则的值是 . 8．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 9．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）将下列函数化成正弦型函数（的形式） (1)； (2) (3) 题型十 二倍角公式的化简、证明 1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）化简的结果为（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）求证： (1)； (2). 题型十一 利用半角公式求值 1．（24-25高一下·广东河源·期末）已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西宜春·一模）已知为第一象限角，，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，，则的值是 ． 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 题型十二 给角求值 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中） （    ） A．2 B． C．1 D． 3．（多选）（24-25高一下·四川·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）下列选项化简值为1的有（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·江苏宿迁·期中）以下正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为2 D． 6．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习） ． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）求值：（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）（1） ； （2） ． 9．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）求值： (1)；(2). 题型十三 给值求值 1．（24-25高一下·广东江门·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西·开学考试）已知，则（    ） A． B．-2 C． D． 4．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）已知为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）若，则 （    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型十四 三角函数性质的综合应用 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数，则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则是（   ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 3．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 5．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知，函数的最小值为0． (1)求常数m的值； (2)求函数的图象的对称中心． 6．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知， (1)若，求的值； (2)在三角形ABC中，若，求的最大值. 强化训练 1．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江西·期末）的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）函数是（   ） A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 5．（24-25高一下·河南许昌·阶段练习）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东江门·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．2 9．（24-25高一下·山西·开学考试）已知，则（    ） A． B．-2 C． D． 10．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）若为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（ ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期中）下列四个等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 18．（多选）（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，且，若，，则（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 20．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且. (1)若，求的值；(2)若，求的值. 21．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 三角恒等变换 目录： 一、知识梳理 ………………………………………………………………………1 知识点1 两角和与差的正弦、余弦公式 ………………………………………………………1 知识点2 两角和与差的正切公式及其变形……………………………………………………2 知识点3 二倍角公式……………………………………………………………………………2 知识点4 降幂扩角公式和升幂缩角公式………………………………………………………2 知识点5 半角公式………………………………………………………………………………2 知识点6 辅助角公式……………………………………………………………………………2 知识点7 其他常用变式…………………………………………………………………………2 二、题型归纳…………………………………………………………………………3 题型一 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 ………………………………………………3 题型二 两角和与差的正弦、余弦公式的逆用 ………………………………………………5 题型三 两角和与差的正切公式的应用 ………………………………………………………6 题型四 两角和与差的正切公式的逆用 ………………………………………………………7 题型五 角的变换问题…………………………………………………………………………10 题型六 给值求角………………………………………………………………………………12 题型七 辅助角公式的应用……………………………………………………………………16 题型八 二倍角公式的正用与逆用……………………………………………………………20 题型九 降幂扩角公式和升幂缩角公式的应用………………………………………………23 题型十 二倍角公式的化简、证明……………………………………………………………26 题型十一 利用半角公式求值…………………………………………………………………27 题型十二 给角求值……………………………………………………………………………30 题型十三 给值求值……………………………………………………………………………34 题型十四 三角函数性质的综合应用…………………………………………………………37 三、强化训练 ………………………………………………………………………41 知识梳理 知识点1 两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； 知识点2 两角和与差的正切公式及其变形 ①； ②两角和与差正切公式变形 ； 知识点3 二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点4 降幂扩角公式和升幂缩角公式 降幂公式：；. 升幂公式：；； ； 知识点5 半角公式 ；； ． 知识点6 辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下：= 其中. 知识点7 其他常用变式 万能公式：； 和差化积公式：；； ；． 积化和差公式： ；； ；． 题型归纳 题型一 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 1．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，得，同理，，可得， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以． 3．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，得，又， 则， 所以 . 故答案为： 4．（2025·湖南长沙·三模）若，则 【答案】 【详解】因为，所以， 由可得， 所以． 故答案为：. 5．（24-25高一下·浙江绍兴·期末）已知，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】， ， 两式相加得，即，， ， 故选：B． 6．（24-25高一下·湖北十堰·期末）已知，均为锐角，且，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为，均为锐角，所以， 所以， 即. 因为，所以， 所以，， 则. 故选：A. 7．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，故. 所以. 故答案为：. 题型二 两角和与差的正弦、余弦公式的逆用 1．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）的值等于（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 故选：C． 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以原式. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，即， 又，所以． 故选：D 题型三 两角和与差的正切公式的应用 1．（24-25高一下·江苏扬州·期末）若，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【详解】因为，所以， 所以， 故． 故选：B． 3．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】由，得，又，所以， 解得. 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】由，得, 故. 故答案为： 题型四 两角和与差的正切公式的逆用 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 2．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于， 故， 则， 故选：A 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】， ， 所以， 所以 故选：A 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，A错误； 对于B，， 由，则 故原式，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，故原式，D错误． 故选：B. 6．（19-20高三上·新疆昌吉·阶段练习）在中，若，则的值是 ． 【答案】 【详解】由，得， 即，又，所以，则， 所以. 故答案为： 7．（24-25高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）． （2）因为，所以． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）化简求值： 【答案】 【详解】， ， 原式 题型五 角的变换问题 1．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，， 所以 ， 故选：C． 2．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 则. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则 ． 【答案】 【详解】∵，，∴ 又∵，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）已知，，且，， 【答案】 【难度】0.65 【详解】因为，，所以，故， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 5．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，为锐角，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：因为为锐角，且， 所以，， 所以. （2）解：因为，为锐角， 所以 又因为，所以， 所以，， 所以 . 【方法总结】由于和、差与单角是相对的，因此解题过程中需要灵活的进行拆角或凑角的变换，常见角的变换有：，，， ，等等. 题型六 给值求角 1．（22-23高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 3．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【详解】由以及可得，故， 由以及可得，故， 故，， 故， 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 5．（24-25高一下·四川德阳·阶段练习）已知，都是锐角且，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，所以，， 又，， 所以，， 所以， 由，设， ，解得， 所以， 所以 ， 又，所以， 故答案为：． 6．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，为锐角，，且． (1)求的值；(2)求角的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，为锐角，则， 又，则， 所以， 即， 所以……①   又……② 由为锐角，由①②解得：． （2）由（1）知，又， 即． 由，且，则，所以， 又，则，所以． 法二：因为，为锐角，，，解得：，， 由，又， 所以， 则 ， 由，且，则，所以， 又，则，所以． 7．（2023高三·全国·专题练习）已知，，且，，求的值. 【答案】 【详解】，，， ， ， ，， 又，， ，. 【方法总结】解决三角函数给值求角问题的方法步骤 ⑴根据条件确定所求角的范围. ⑵求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. ⑶结合三角函数值及角的范围求角. 题型七 辅助角公式的应用 1．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）将下列函数化成正弦型函数（的形式） (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)；(2)；(3) (4) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） ； 2．（多选）（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在上单调递减 【答案】ABC 【详解】， 对于A，的最小正周期为，所以A正确； 对于B，由得， 所以当时，， 故的图象关于直线对称，所以B正确； 对于C，， 代入，可得，所以C正确； 对于D，因为， 所以， 所以函数的单调递减区间为， 当时，， 故不在上单调递减，所以D错误. 故选：ABC. 3．（24-25高一下·湖北恩施·期中）写出函数的图象的一个对称中心 ．（任写一个即可） 【答案】（答案符合即可） 【详解】函数， 由，解得， 所以对称中心为，取，得. 故答案为： 4．（24-25高一下·北京房山·期中）函数的单调递减区间 ． 【答案】 【详解】函数， 由，解得， 所以所求单调递减区间是. 故答案为： 5．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【详解】由 ， 可得. 故答案为：. 6．（24-25高一下·江苏南京·期中）设当时，函数取得最大值，则 ． 【答案】 【详解】由题函数， 所以当即时，函数取得最大值， 此时. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为 【答案】 【详解】因为， 所以， 关于的方程在上有两个不同的实数解， 即直线在上的图象有两个不同的交点， 设关于的方程两相异实数根为， 因为函数的图象在区间上的对称轴为， 所以. 故答案为： 8.（24-25高一下·江苏苏州·期中）钝角能使得等式成立，则该钝角的值等于 . 【答案】 【详解】依题意， ，而是钝角， 所以. 故答案为： 9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数在处取得最小值，则 . 【答案】 【详解】因为， 其中 因为函数在处取得最小值，则 则 ，即 ， 所以 故答案为： 10．（24-25高一下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)求的值；(2)求的最小正周期；(3)求使取得最小值的的集合． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为，故. （2）因为， 故函数的最小正周期为. （3）当时，即当时，函数取最小值， 故使取得最小值的的集合为. 题型八 二倍角公式的正用与逆用 1．（24-25高一下·江苏扬州·期末）的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 2．（24-25高一下·河南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D． 3．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，且，由，解得， 所以． 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1  ． 解法2  由已知式展开得，两边平方得，得． 5．（24-25高二下·河北·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，所以，所以， 故. 故选：D 6．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知，则 ． 【答案】 【详解】， ， 故答案为：． 7．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 8．（24-25高一下·重庆江北·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 9．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·阶段练习）若，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【方法总结】二倍角公式的正用、逆用解题的关注点 ⑴注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系. ⑵结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式. 题型九 降幂扩角公式和升幂缩角公式的应用 1．（24-25高一下·四川成都·期中）已知角终边在第二象限，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，角终边在第二象限， 则， ， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 3．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 4．（24-25高一下·湖北·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【详解】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设的化简结果为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以． 6．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则 ． 【答案】1 【详解】由题意得，， 得， 则. 故答案为： 7．（24-25高一下·北京西城·期中）已知，则的值是 . 【答案】 【详解】由可得， 弦化切得：， 再由二倍角公式得：， 故答案为： 8．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 9．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）将下列函数化成正弦型函数（的形式） (1)； (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】 （1）； （2）； （3） 题型十 二倍角公式的化简、证明 1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）化简的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 ， 故选：B． 2．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）证明：左边==右边. （2）证明：右边==左边. 题型十一 利用半角公式求值 1．（24-25高一下·广东河源·期末）已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 又为第四象限角，，. 故选：C. 2．（2025·江西宜春·一模）已知为第一象限角，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】（解法一）因为， 所以，解得或2. 因为为第一象限角， 所以，，，， 所以（舍去）. （解法二）因为为第一象限角，，所以. 因为， 所以，解得或. 因为为第一象限角，所以，，，， 所以（舍去）. 故选：D 3．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是第四象限角，又因为，则， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】由可得， 又，所以，因此可得； 又，所以， 因此，易知， 即. 故答案为： 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）因为，则， 因为，则， 所以， ， 因此，. （2）因为，，所以， 若，则， 此时 ，合乎题意； 若，则， 此时 ，合乎题意. 综上所述，或. 题型十二 给角求值 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中） （    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 3．（多选）（24-25高一下·四川·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C：因为，即， ，即， ，即， 所以，所以， 所以，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD 4．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）下列选项化简值为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A, ，A错误， 对于B，，B正确， 对于C, ，C正确， 对于D， ，故D错误， 故选：BC 5．（多选）（24-25高一下·江苏宿迁·期中）以下正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为2 D． 【答案】BCD 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ， 当且仅当时，等号成立，故函数的最大值为2，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习） ． 【答案】/ 【详解】原式 ． 故答案为：. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）求值：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式． 8．（2026高三·全国·专题练习）（1） ； （2） ． 【答案】 4 ； 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 故答案为：4， 9．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）求值： (1)；(2). 【答案】(1)1；(2). 【详解】（1） （2） 题型十三 给值求值 1．（24-25高一下·广东江门·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，解得， 所以 . 故选：C 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则， 而，则， 所以. 故选：A 3．（24-25高一下·山西·开学考试）已知，则（    ） A． B．-2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 解得或，因为，所以， 所以，可知. 故选：C. 4．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）已知为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为钝角，所以，所以，则， 因为，所以， 则． 故选：D 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则， 解得， 则. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以， 所以. 故选：D 7．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 又因为， 故选：B. 8．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以． 故选:A． 9．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，即，， 解得，又，， 所以. 故选：A． 题型十四 三角函数性质的综合应用 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数，则下列正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在单调递减 C．在上单调递增 D．的最大值为 【答案】B 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，函数在单调递减，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在上不单调，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则是（   ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 【答案】A 【详解】因， 故为奇函数，且最小正周期为. 故选：A. 3．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】D 【详解】 对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减， 因此函数在区间上不单调，AB错误； 对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，C错误，D正确. 故选：D 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【详解】（1） 最小正周期， 由，， 得，， 单调递增区间为； （2），， ， 在上最大值为1（当时取到）， 最小值为（当时取到）. 5．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知，函数的最小值为0． (1)求常数m的值； (2)求函数的图象的对称中心． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， 因为，所以，所以. （2）由（1）可得：， 令，则， 所以函数的图象的对称中心为. 6．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知， (1)若，求的值； (2)在三角形ABC中，若，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）化简，根据题意，得到且，结合，结合两角和的余弦公式，即可求解； （2）由（1）得，求得，化简，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为，且，所以且， 所以， 则. （2）解：由（1）得， 因为，可得，即， 所以， 因为，所以，可得， 所以， 故当时，取最大值，最大值为． 强化训练 1．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 所以， 又因为，所以，， 所以. 故选：D. 2．（22-23高一下·江西·期末）的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以有 ， 故选：D． 3．（24-25高一下·湖北·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，则 故选：A． 4．（24-25高一下·北京海淀·阶段练习）函数是（   ） A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 【答案】D 【详解】函数 所以周期是，且函数是奇函数； 故选：D. 5．（24-25高一下·河南许昌·阶段练习）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，又， 且， 因为 所以，即. 故选：D 6．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ， 则. 故选：C. 7．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得或， 因为，所以，故. 因为，所以或， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以，所以. 故选：C 8．（24-25高一下·广东江门·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，解得， 所以 . 故选：C 9．（24-25高一下·山西·开学考试）已知，则（    ） A． B．-2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 解得或，因为，所以， 所以，可知. 故选：C. 10．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，即， 解得， 所以 . 故选：C 11．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则， 而，则， 所以. 故选：A 12．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意结合诱导公式得， 由二倍角的余弦公式得，故B正确. 故选：B 13．（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）若为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，， 因为， 所以，所以， 所以 因为，所以. 故选：B. 14．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 又因为， 故选：B. 15．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以． 故选:A． 16．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期中）下列四个等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，A正确； ，В错误； ，故С正确； ，D正确， 故选：ACD. 17．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 18．（多选）（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，且，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得， 所以，则，所以，A正确； 由，得，则，解得，B正确； 又，又，所以，C错误； 由，得， 所以，与联立，得，D正确. 故选：ABD 19．（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 20．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，且. (1)若，求的值；(2)若，求的值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由，得，而，， 则，， 所以 . （2）由（1）知，，， 由，得， 因此， 所以. 21．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知, (1)求函数的单调递减区间; (2)若,求函数的值域. 【答案】(1)；(2) （2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域. 【详解】（1）, 由，可得， 即函数的单调递减区间为. （2）当，，则， 故函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$