北京市西城区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷 高二数学 2025.7 本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。书生务必将答案写在答题卡上，在试 國 卷上作答无效。 第一部分（选择题共40分） 家 如 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中， 选出符合题 目要求的一项。 (1)已知函数f()=si血x,则f'(x)= 邮 (A)sinx (B)cosx (C)-si血x (D)-cosx 长 (2) 已知在等差数列{an)中，4=1,4g=8,则公差d的值为 (A)2 (B) 7-3 (D)3 区 (3)小华设计了一个抽奖活动： 袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个照球，从 袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为 纸 w益 (c) (D) (4)我国古代数学名蒡《算法统宗》中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 潮 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是，一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两 层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔顶层灯的数目是 御 (A)1 (B)2 (c)3 (D)4 (5)下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的是 靠 (A)f(x)=x-x (B)f)=x3+1 (C)f(x)=x+x (D)f)=x+x2 北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷 高二数学 第1页（共6页） (6)已知等差数列{a}满足4一4=4，且a2是4和a的等比中项，则a= (A)6 (B)8 (C)6或8 (D)10 (7)某工厂生产的产品分为优良品、合格品、次品三个等级，其中优良品率为 ，合格品 率为京，次品率为立，现从该厂生产的所有产品中任取三件，则三个等级的产品恰 好各取到1件的概率为 )壳 ) (c) (D) (8)若函数f(x)=(x2-)的两个极值点分别为，，，则|，一为的值为 (A)2 (B)√后 (C)22 (D)3 (9)若数列{a}是存在负数项的无穷等比数列，则“数列{a}有最小项”是“数列a,D 有最大项”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)若函数f()= o-D-md-20.x 在区间(o,+∞)上单调递增，则实数a的 mxi?-axt, x产1 取值范围是 a≥号 B)-3 (C)1≤a62 (D)2≤a≤e 北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11)已知函数似-三，则f因的定义域是一才0=一 (12)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,a,=9,则S,= (13)已知随机变量X的分布列如下： 0 1 2 3 P 品 P Pa P 则P(X≥0=； 若司AB成公比为3的等比数列，则乃一 (14)已知曲线C:y=x-6x2+11x-6,点A在曲线C上，则在点A处切线斜率的最小值 为 若点B为y轴的一个动点，且曲线C上至少有两条不同的切线经过 点B,则动点B的轨迹的长度为 (15)已知{a}是首项为a,公差为2的无穷等差数列，仍}是首项为1，公比为2的无穷 等比数列，记，=马+马十+凸，给出下列四个结论 ①当0<a<2时，有1<2<1： ②存在a∈R,使得2}的前2025项为单调递增数列； ⑧对于任意a>0,{}从第三项起均为单调递减数列： ④当且仅当a=2时，存在keN,使得4=. 其中所有正确结论的序号是一 北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共6页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 已知函数f(x)=2-nx+b,a,beR,且f')=0. (I)求a的值： (Ⅱ)求函数f()的单调区间： (Ⅲ)若对任意xE(0,∞)，都有f(x)≥1恒成立，求b的取值范围， (17)(本小题13分) 已知在等差数列(a}和等比数列亿}中，马=b=1,42=2≠1，等差数列{a的前n 项和为S,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列 (a}和b}存在，并解答下列问题， 条件①：S1=7%: 条件②：42,4，b3成等差数列： 条件⑧：4，b2,马2成答比数列， (I)求数列{a},毡n)的通项公式： (Ⅱ)若数列{c}的通项公式为c,=2an-17,求数列{c}的前n项和的最小值，以及此时 数列亿}的前”项和的值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 北京市西城区20242025学年度第二学期期末试卷高二数学第4页（共6页） (18)(本小题14分) 商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商 品的通胀或通缩趋势、市场供福变化和成本波动，下表是2024年某地区每个月苹果的价格 指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 (I)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率： (Ⅱ)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记X为随机抽 取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求X的分布列和数学期望； (Ⅲ)若从2024年1~4月、5-8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记XX2X3为这 个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则D(X人D(XD(X)中哪个最大？ (结论不要求证明) (19)(本小题15分) 甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的振率为子，乙每次投中的概率为宁， 丙每次投中 的概率为p(0<卫<)，设每人每次投篮是否命中相互之间设有影响， (I)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小： (Ⅱ)丙投篮3次，当P为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值， 北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷高二数学第5页（共6页） (20)(本小题15分) 已知函数f闪)=血x+a ir,qeR. (1)当a=时， (1)求曲线y=f(x)在乌，f)处的切线方程， (拉)求函数(x)的最大值： (Ⅱ)若函数f()的最大值为，求a的值. 学 烯 (21)(本小题15分) 团 已知数列{an},},{c,(dn}满足： ①4,4,9,4均为正整数且不全相等： ②对任意正整数%an=a,-bn,b1=b,-Ca,9n=C,-dn,dn=d,-a, (I)若41=1=29=3，d=4,求a2,b,2,4,马，，%，d4 (Ⅱ)是否存在正整数%使得an,b,Cn,dn全为0？证明你的结论； 烟 (Ⅲ)求证：存在正整数%，使得a,b,c,dn中有一个数的绝对值大于2025. 岭 潮 北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷高二数学第6页（共6页） 北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷 高二数学答案及评分参考 2025.7 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)B (2)B (3)B (4)C (5)C (6)A (7)D (8)c (9)C (10)B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)(0,+6o)1 (12)153 (13) 兽告 (14).-18 (15)①②③ 注：第11、13、14题第一空2分，第二空3分：第15题全部进对得5分，选对2个得4 分，进对1个得3分，不进或错选得0分 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(本小题13分) 解（1)f=2ax- n442分 因为f0=0,所以a= 4分 (Ⅱ)函数f(x)的定义域是(0，+∞)， 由(I)得，f)=号x2-lnx+b(xe(0,to). f=x-1--1_c+-2 …7分 随着x的变化，f(),)的变化情况如下： x (0,) 1 (1,+co) f'() 0 + f() 极小值 8分 所以f(x)的单调递增区间为L,∞)，单调递减区间为(0，). 北京市西城区20242025学年度第二学期期末试卷高二数学答案及评分参考第1页（共6页） (皿D由(I)得，-f0-+, ,1分 由题底，计阅， *4444e,12分 所以≥ 即b的取值范围是 , *,I3分 (17)(本小题13分) 解：选择条件①： （I)设a}的公差为d,,)的公比为9，品-+l=7a 2 则t3ae4g 即+3a=g, a+d=b44. 1+d=q m,3分 解得d=1,9=2. 41.5分 所以a=H,b=2. 7分 (Ⅱ)设伯，》的前n项和为T,{a)的前n项和为2，， 则7--2-1,25420-D-16a, 2 49分 所以当n=8时，2的最小值为64， 6}的前8项和为2'-1=255. ,13分 选择条件② (I)设(a)的公差为d,,)的公比为9， 由日知，24=4+4， 则 a+2=4+d+9,即 ∫20+2d)=1+d+g2, a+d=b9, 1+d=g, a443分 解得d-1,9=2. 5分 以下同选择条件①. 北京市西坡区2024一2025学年度第二半期期末试卷高二数学答案及钾分参考第2页（共6页） (18)(本小题14分) 解：(I)设2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150为件A, 由裘可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150， 所以0-是0 444444分 (Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. n45分 P(X=0= -1 201 Px=2)=cg-3 C%201 x==器-易 r-0-是-宽 n,9分 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 p 20 品 易 品 所以X的数学期望为EX=1×。 2x+*品48 1.11分 (Ⅲ)D(X). 14分 (19)(本小题15分) 解：（I)甲恰好投中1次的概率为c字骨器 64 4n43分 乙恰好投中1次的概率为c叫号分以号， 所以甲恰好投中1次的概率大， 7分 (Ⅱ)丙恰好投中1次的概率为Gp(-p)=3p(-p2. 9分 令f)=3x0-)2=3x3-6x2+3x,0<x<1. 40分 求导得，"()=9x2-12x+3. 4,44,11分 北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷 高二数学答案及评分参考第3页（共6页） 由闭>0，解得0<x<宁，故纠在0,3上单调递增。 由（纠<0，解得<x<1,故纠在分）上单调递减， l3分 所似了倒=-号 所以当P=时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为兮， l5分 (20)(本小题15分) 解：(I)函数f()的定义域是(0，∞). 】分 1.e3-28-40x+a) 1-21nx-2a )= e e22 nn2分 1-2hx-1 当a=吃时，闪 (1)因为0=之0=0， 4分 所以)=网在0,0)处的切线方程为y=号 (H)令g问=-2hx-1,x∈0，+o). 80树=子子0， 所以g()在区间(0，∞)上单调递减， 444,7分 随着x的变化，()，"()的变化情况如下： x (0,） 0,to) g(x) + 0 "倒 × 0 , 刀 极大值 y 9分 所以0=吃 北京市西城区2024一2025学年度第二学期期末试卷 高二数学答案及评分参考 第4页（共6页）