精品解析：湖南省长沙市雷锋学校2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

高二期末数学试卷 一、单选题 1. 不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果. 【详解】∵，则， 注意到，结合余弦函数图象解得 故选：D. 2. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程得集合A，再根据，结合包含关系求实数，即得结果. 【详解】, 因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数值为， 则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有， 故选：C. 3. 除以80余数为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】,由于且能被80整除， 所以除以80的余数为9， 故选：C 4 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正切的诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：D. 5. 设函数，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，舍去B,D，再根据函数值正负确定选项. 【详解】因为，所以是奇函数，排除B,D， 因为,所以选C. 故选: C. 【点睛】本题考查函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基本题. 6. 与分段函数的定义域和奇偶性均相同的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为定义域为 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 所以为奇函数. 对于A，的定义域为 ，所以为偶函数； 对于B，的定义域为 ，所以为奇函数； 对于C，的定义域为，且为奇函数； 对于D，的定义域为， ，为偶函数； 故选：B. 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得. 【详解】 设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，， 设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，， 当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以，结合图像知，即. 故选：D. 8. 已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得对于恰有两个不等式的实根，等价于方程 对于恰有两个不等式的实根，令，可转化为与两个函数图象在有两个不同的交点，对求导判断单调性，作出其函数图象，数形结合即可求解. 【详解】若函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则对于恰有两个不等式的实根， 即对于恰有两个不等式的实根， 可得对于恰有两个不等式的实根， 令， 则与两个函数图象在有两个不同的交点， ， 由可得，由可得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以图象如图所示： 当时，， 当时，， 若与两个函数图象在有两个不同的交点， 由图知， 所以实数的取值范围是， 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 9. 已知直角中有一个内角为，如果双曲线以为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别讨论、、 即可 【详解】当时 ; 当时 ; 当时 ； 故选: ACD 10. （多选题）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ） A. 当时，的定义域为 B. 一定有最小值 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对A，当时，求出函数的定义域，可判选项A；当时，函数的值域为，可判选项B，C；根据复合函数单调性可知，内函数递增且可求出的取值范围，可判断选项D. 【详解】对A，当时，解有，故A正确； 对B，当时，，此时，， 此时值域为，故B错误； 对C，同B，故C正确； 对D， 若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴， 且，解得且，故D正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的定义域、值域、最值、单调性 方法点睛： 对于复合函数的单调性问题，可先将函数分解成和，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断或求解. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 是的一个极小值点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件可知的图象关于直线对称，构造函数并求导得出函数单调性可得B错误，再由对称性计算可得C正确，利用单调性可判断不等式正确. 【详解】由，得，所以的图象关于直线对称，A正确. 当时，令，则. 因为，所以. 由，得，所以， 即，则. 令，得或（舍去， 当时，，单调递减， 当时，单调递增，B错误. 因为的图象关于直线对称，所以的一个极小值点为，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件构造函数并求导得出函数单调性，再利用极值点定义可判断得出结论. 三、填空题 12. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 13. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __． 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率的性质和全概率公式计算即可. 【详解】设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2， 显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组， 且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）． 由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）． 由贝叶斯公式得，P（A1|A2）． 故答案为：． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，，且在内恒成立（为的导函数），若不等式恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为奇函数和得到，构造函数，根据在内恒成立，得到在上单调递增，根据和的对称性和周期性得到的周期性和对称性，再结合在上单调递增，得到，将不等式整理为，在结合即可得到的取值范围. 【详解】因为， 为奇函数，所以，， 令，则，又在内恒成立，所以在上单调递增， 因为，所以是的一个周期， 因为，所以是的一条对称轴， 又在上单调递增，所以在上单调递减，当时，，又在上单调递增，所以当时，， 可整理为，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，集合． （1）若存在，使得，求的取值范围 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围； （2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为； 【小问2详解】 由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 17. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是. （1）求正方体石块的棱长； （2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设正方体石块的棱长为，求出每个截去的四面体的体积，再由等体积法列式求解值； （2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大，可得正方体的棱长正好是球的直径，再由球的表面积公式求解． 【详解】（1）设正方体石块的棱长为， 则每个截去的四面体的体积为． 由题意可得，解得． 故正方体石块的棱长为； （2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大． 此时正方体的棱长正好是球的直径， 球形石凳的表面积． 【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题． 18. 如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上的一个动点． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，若，求； （3）求的最小值. 【答案】（1）2 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，当时，利用向量数量积的坐标运算，求得. （2）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值. （3）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值. 【小问1详解】 以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 当时，,，， 因此， 【小问2详解】 设，即点P坐标为， 则，， ， 当时，，即， 【小问3详解】 设、，又， 则， ，当时取到等号， 因此的最小值为3. 19. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. （1）决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲 【解析】 【分析】（1）（i）计算第一局乙获胜的概率和第二局乙获胜的概率，相乘即可得结果. （ii）考虑比赛结束时乙获胜的所有情况，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得结果. （2）计算第一局乙对丙最终乙获胜的概率和第一局乙对甲最终乙获胜的概率，结合条件作差比较大小即可得到结果. 【小问1详解】 （i）. （ii） ， 【小问2详解】 设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故； 同理可得； ， 由于，故， 所以，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末数学试卷 一、单选题 1. 不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 3. 除以80的余数为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 4. （ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 与分段函数的定义域和奇偶性均相同的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直角中有一个内角为，如果双曲线以为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是（ ） A. B. 2 C. D. 10. （多选题）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ） A. 当时，定义域为 B. 一定有最小值 C. 当时，值域为 D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. 是的一个极小值点 D. 三、填空题 12. 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______． 13. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __． 14. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，，且在内恒成立（为的导函数），若不等式恒成立，则实数的取值范围为________. 四、解答题 15. 已知集合，集合． （1）若存在，使得，求的取值范围 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 17. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是. （1）求正方体石块的棱长； （2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积. 18. 如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上的一个动点． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，若，求； （3）求的最小值. 19. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. （1）决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$