广东省惠州市2026届高三第一次调研考试数学试题

惠州市2026届高三第一次调研考试 数学试题参考答案与评分细则 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 题号 I 2 5 6 7 答案 公 公 D 1.【解析】由A=x2<4x-2<x<2,又B={01,2,所以AnB={0,},故选C 2.【解析】因为它=3+1，所以：=34=1-3就，故2=1+3对.故选：B 3.【解析】（本题出自人教A版必修二第六章第23页） 【法-】a-=a2+62-2a6=16+4-2×4×2×=12.即后-=25.故选：C 【法二】由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若a=AC,AC=4,i=AB,AB=2,∠A=60,则∠B=90,G-i=BC, 故a-=√42-22=2W3.故选C 4.【解析】（本题出自人教A版必修二第八章第119页） 设圆锥的底面半径为r,圆锥的母线长为1，由π=2r,得1=2r,又S侧=m,2r=2π2=2π， 所以2=1，解得r=1:所以圆锥的高为h=√P-r严=√22-下=√5.故选：A. 5.【解析】（本题出自人教A版选择性必修二第四章第56页） 设杨，}的公差为d,则6=2，d"-2=3,故，=2+3-)=3训-1.故选：B, 44 6.【解析】（本题出自人教A版选择性必修一第二章第99页） 圆x2+y2=4的圆心坐标是O0.0),半径为2.圆上恰有三个点到直线1的距离等于1， 易知圆心0到直线1的距离d为，4-生.令以=，得6=士5，散选C √22 7.【解析】（本题出自人教A版必修一第二章第39页） 由题意可知，大正方形的边长为√3，小正方形的边长为1，设图中直角三角形较短的直 角边长为x,可得出直角三角形较长的直角边长为x+1,由勾股定理可得x2+(x+1)=13, 数学试题答聚，第1页，共10页 2x2 解得x=2。x+1-3,所以m0-子，因此m20 12 2 .故选：D 3 8.【解析】g(x)=f(x3-x-1)+f(-2x-)有三个零点等价于方程 八3-x-+八2x-)=0有三个不相等的实数根，又f(x)是奇函数，可得 f(x-x-)=f(2x+元)，由f(x)的导数可知f(x)单调递减，所以有x-x-1=2x+元， 即x-3x-1=元，所以问题等价于方程x-3x-1=1在R上有三个不同的实数根， 即函数g(x)=x3-3x-1的图象与直线y=1有三个不同的交点， 由g(x)=x3-3x-1,得g(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当x∈(-o,-1)时，g(x)>0,g(x)单调递增：当x∈(-1，)时，g'(x)<0,g(x)单调递减： 当x∈(1，+0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增：所以g(x)的极大值为g(-I)=1, 极小值为g(1)=-3,元的取值范围为(-3,1)，故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少 有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 【若全部正确选项有3个，则得分为0、2、4、6；若全部正确选项只有2个，则得分为0、 3、6】 题号 题9 题10 题11 全部正确选项 ABD BC ACD 9.【解析】 对于A,因为随机变量X~B(6,P),所以E(X)=p=6p=4.8,故p=0.8,故A正确： 对于B,因为随机变量服从正态分布N(0,),所以正态曲线关于直线5=0对称， 又因为PG>》=P,所以P5<-》=P,所以P-I<5<0)==p,故B正确 2 对于C,易知事件A,B可以同时发生，故A,B不互斥，故C错误 对于D,PKB=1-A=1-03=07,又P8)=以1=0.7=PB), P(A) 所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互独立，故D正确： 数学试题答案，第2页，共10页 故选：ABD. 10.【解析】因为点P,A在椭圆上，所以PF+PF=2a,AF+AF=2a, 故△PAF的周长为PA+A+PE=|PF+PE+AF+AF=4a=20, 解得a=5,因为左项点和上顶点的距离为√a2+b=√52+b=√41， 解得b=4,则c=√a2-b2=3,焦距为2c=6,故A错误： 。亏故B正确， e=-3 S所s=2×刘EEx少=csc=12, 当点P位于y轴上时，△PFF面积取得最大值12，故C正确： 设P(x,则+=l,即y2=16-62, 2516 25 因为E(3.0).53,0)所以所=式3k%=兰 x+3 x-3 故6k%=占广。5不是定值，故D错误 x+3x-3x2-925x2-9 (另根据圆锥曲线第三定义可判定D错误) 故选：BC 11.【解析】对于A,B,C⊥BC1,BC⊥CD,BC∩CD=C, BCC平面BCD,CDC平面BCD, ∴BC⊥平面BCD,又BDC平面BCD,.BC⊥BD,故A正确： 对于B:三棱锥C-B,CE的体积 么=ac兮行1名故B错碳： 对于C,设三棱锥C-BCE的外接球的半径为R, △CCE的外接圆半径为r,CE=CE=、 在△CCE中，由余弦定理得，cos∠CBC=CE+CE-CC3 2CE×CE 数学试题答聚，第3页，共10页 5 所以sin∠CEC CC1=4=8,R =，则有=2sinCc 2× 41π 三棱锥C-B,CE的外接球的表面积为4πR2=4π 16 故C正确。 对于D,如图，过B,C,E三点确定的平面与正方体相交形成 的截面为等腰梯形B,CEF(其中F为4，D,的中点，故等腰梯 形BCEF的周长为5+35故D正确， 2 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分。 a 13.24 14.错误(2分)，2x-y-4050=0(3分) 【注：14题第一个空格填“×”得0分】 2.【解折】因为包)=e,+7列小=2代2小=22=所以(2小)-}故答案为：是 13.【解析】（本题出自人教A版选择性必修三第六章第38页） 因为(3x-2)°展开式的通项为T=C(3x)(-2(re{01,2,3,4}), 所以(2x+1)(3x-2)展开式中含x2的项为2.xC(3x)'(-2°+C(3x)(-2'=24, 所以(2x+1)(3x-2)°展开式中x2的系数为24，故答案为：24 【注：用组合数表示的结果得0分】 14.【解析】抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点 的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线题设中“某学生”的解答依 据忽视了“定直线不经过定点”这一关键点，因而导致错误， 【法-】设点M(x),由题意得：V-2025+y_上+2y-202 V12+22 两边平方并整理得：4(x-2025)2-4(x-2025)y+y2=0 即：[2(x-2025)-y=0,所以2x-y-4050=0 故点M的轨迹是一条直线，该直线方程为2x-y-4050=0. 数学试题答聚，第4页，共10页 【法二】数形结合，得点M的轨迹是一条经过F(2025,0)且与x+2y-2025=0垂直的一 条直线.故M的轨迹为y-0=2(x-2025),化简，得2x-y-4050=0 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分，其中第一问8分，第二问5分) 【解析】(1)△4BC满足的条件是①③④.… …1分 若cosA=1 4∈0，)…2分【注：无角的范围本得分点不得分】 则A= 3 …3分 若cosB=号BE0)4分【陆：无角的范围本得分点不得分】 则B=2z 3 ，…5分 由A+B=π，所以条件①和②不可能同时满足，…6分 故③和④都满足，由a>b,所以A>B,……7分 所以B为锐角，应有c0sB>0,从而条件②不能满足，…8分 故△4BC满足的条件是①③④. 2)【法-】由D可得os4=方a=5.6=1, 由余弦定理a2=b2+c2-2 be cosA,…1分【注：须写出余弦定理的一般表达式】 所以1+C2-C=3,化简得c2-C-2=0…………3分 解得：C=2或-1（舍去），…4分【注：本得分点也可写成c>0】 故C=2…5分 【法二】因为0<A<π，所以sinA>0,又cosA= …1分 b 由正弦定理 视n万，得V3sinB,………2分 因为B为锐角，得：B= 6,放C= 2 小…3分 由勾股定理，得c2=a2+b2=(5)2+12=4,…4分 因为C>0,放C=2…5分 数学试题答聚，第5页，共10页 16.(本小题满分15分，其中第一问5分，第二问10分) 【解析】（本题出自人教A版选择性必修一第一章第49页） (1)因为PD⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,…1分 则AD⊥PD,…2分 因为∠ADC=90,即AD⊥CD, …3分 因为PDOCD=D,CDc面PCD,PDc面PCD·4分【注：须写全三个条件】 故AD⊥平面PDC.…5分 (2)【法一】PD⊥平面ABCD,，∠ADC=90, 以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别 为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，1分 因为AB=AD=PD=3.CD=2AB,CE=2EP, 所以B(33,0)、C(06,0)、D(0,00)、P(0,0,3)、E(0,2,2),2分 DB=(3,3,0DE=(0,2,2), 小小…3分 Cp=(0,-6.3CB=(3,-3,0)… 小…4分 设平面BDE的法向量为而=(x,,) 则@0丽-3新+3=0 ……5分 m·DE=24+2z1=0 取x=1,可得m=(1-1,1), …6分 设平面PBC的法向量为万=(2,2,2) 则2-可=6，+35=0 取2=1，可得万=(1，山2)， …7分 nCB=2x-2y=0 设平面BDE与平面PBC的夹角为B, 则cos0cos<m,n>= m.nl …8分 Iml-n 2 √3×V63 小…9分 所以平面BDE与平面PBC夹角的余弦值为V 。44444…10分 3 数学试题答聚，第6页，共10页 1 【法二】因为SDac=,×6×3=9 2 1 所以Vp-DC=写5a08cXPD=3X9X3=9,…1分 VE-DBC 2Vp-DMc-6 是8po2 *xBCxPB-x32x27=36.…2分 又SSERC=5SwP9c= 3 而E=nc,所以6=36-a 故h=√6，即D到平面PBC距离为√6.…3分 依题意，计算可得，在△DEB中，DB=3V2,BE=√14，DE=2√2，…4分 由余弦定理，得cos∠EDB= DB2+DE2-BE218+8-141 …5分 2×BDx DE 2×3w2×2W221 因为∠EDBe(Q,),所以im∠EDB=5 …6分 又5oB=5×3V5x2W5×5=35, 小…7分 2 设为点到交线BE的距离，则H.25_65 BE …8分 V14 设平面BDE与平面PBC的夹角为O, 所以n0 h 14 h 6518, 所以cos0= -4② ……9分 183 14 所以平面BDE与平面PBC夹角的余弦值为互 …10分 17.(本小题满分15分，其中第一问5分，第二问10分) 【解析】(1)当a=2时f(x)=2x+lnx-1, 则f(们)=1， …1分 f)=2+5 …2分 所以f"(1）=3,… …3分 所以函数f(x)在点(L,f()处的切线方程为y-1=3(x-1),…4分 即3x-y-2=0生…5分 数学试题答聚，第7页，共10页 (2)函数∫(x)=ar+nx-1的定义域为(0，+功)，…1分 1ax+1 又f"(x)=a+-= …2分 当a≥0时f'(x)>0恒成立，… …3分 f(x)在(0，+0)上单调递增，无极值.… …4分 当a<0时，由f'(x)>0,解得0<x< …5分 由'(x)<0,解得x>- …6分 a 所以f)在(0，-上单调递增，在(+四）上单调递减，…7分 故f)在x=-处取得极大值，极大值为f(-)=ln(--2.…8分 0 令n(-1)-2<0, 小…9分 a 解得a<-。,所以a的取值范围为(-0，-三 ）,…10分 18.(本小题满分17分，其中第一问()2分，()5分，第二问10分) 【解析】(1)0根据表格中的数据，可得x=6+8+9+1+12=9, …1分 5 解得1=10.………2分 6y5 194-5×9×4 425-5×81 …1分 2-52 6=0.7…2分 所以a=4-9×0.7=-2.3. …3分 故所求经验回归方程为少=0.7x-23…4分 当x=14时，y=0.7×14-2.3=7.5 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5：…5分 (2)该考生通过甲高校的考试科目数为X,则X~B3 小…1分 则E(x)=3x2-6 …2分 55 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3，…3分 PY=0=0-m0-x-3-0-m 数学试题答聚，第8页，共10页 r=m-0-+0-m0-+0-m0-号名- m,…4分 P=2=m0-+mx-号+0-网 1215 n 43612 121 P(Y=3)=m×二× =m,…5分 436 所以E()= 71 612m+3x 23m+2 +5 612 十阴。…6分 17 当Ex)=E四)时，此时；-2+m得m号 60 …7分 当E(X)小>E)时，此时号+m,又0<m<1,得0<m< 512 …8分 60 当x)<E)时，此时<+m,又0<m<1,得<m<1, 512 60 …9分 所以，当m=时，该考生报考甲高校或乙高校都可以： 60 当0<m< 时，该考生更应报考甲高校： 60 当？ <m<1时，该考生更应报考乙高校，…10分 60 19.(本小题满分17分，其中第一问4分，第二问4分，第三问9分) b= 【解析】(1)由已知得 …2分【注：写出1个方程得1分】 (2=a2+b 解得a=1,b=1… ………3分 故双曲线C的标准方程为：x2-y之=1：…4分 (2)证明：设M(y)N(),( 因为M,N为双曲线C上的两点，所以 x-=1 x-=1 小…1分 两式相减得：(-x2+x2)=-2y+y2), …2分 整理得， +2=-2 ,…3分 八+2-x2 y1+y2 则k3=为-业.。2=-业.当=1，得证.…4分 -2西+x2-2+x2 2 数学试题答聚，第9页，共10页 (3)设斜率为2且与双曲线右支相交于A,B两点的直线方程为 y=2x+mn(mn<0),n∈N,…1分 联立： 2十.整理得3r+4mx+m+1=0，…2分 因为该方程有两个正根，则△>0，解得：mn<5或m,>5(舍)，…3分 设A(x4y）B(xaa),由韦达定理得：x+xa=- ,…4分 3 3 直线A,P的方程为：y-y=-(-x） 因为y%=2x元十mn,所以y=一x+3x+m。,①…5分 直线BP的方程为y-yg=x-x, 因为y,=2xB+mn,所以y=x+xa+mn,② 3 联立02得y=%2+2+m== 2 所以P 3x-x3,1 22 +2g+m,， …6分 因为x+xa= 4， 3 31 31 _2+m=x%+ 所以.=2+2+m=224-3 m 3 4m) 3-34-4写2-2x+ …7分 xn 2 2 2mz =2(x4+ 3 3 所以yn=7…8分 则R乃…P.都在直线y=2上 故，P。共线。 9分 数学试题答聚，第10页，共10页数学试题 第 1页，共 5页 惠州市 2026届高三第一次调研考试 数 学 全卷满分 150 分，时间 120 分钟． 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、座位号等 考生信息填写在答题卡上，并按要求填涂试卷类型。 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应 题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷 上无效。 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置 上，写在本试卷上无效。 一、单选题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，选对得 5分，选错得 0分． 1．已知集合  2 4A x x  ，集合  0,1,2B  ，则 A B =（ ） A． 0 B.  1 C． 0,1 D． 0,1,2 2．已知复数 z满足 3i z i   （其中 i为虚数单位），则 =z （ ） A．1 3i B．1 3i C．3 i D．3 i 3．已知向量 a  ， b  满足| a  | 4 ，| b  | 2 ， a  与 b  的夹角为 3  ，则| a b   |=（ ） A．2 B．4 C． 2 3 D． 2 5 4．已知圆锥的侧面积为 2 ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（ ） A． 3 B． 6 2 C．2 D．3 5. 已知等差数列 na 的首项 1 2a  ，公差 12d ，在 na 中每相邻两项之间都插入 3 个数，组成一个新的等差数列 nb ，则 nb （ ） A． 24 n B． 13 n C． n3 D． 12 n 试卷类型：A 数学试题 第 2页，共 5页 6．已知圆 422  yx ，直线 bxyl : ，若圆上恰有三个点到直线 l的距离等于 1, 则 b的值为（ ） A．0 B． 1 C． 2 D． 3 2 7. 我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与 一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方 形的面积为 1，大正方形的面积为 13，直角三角形中较小 的锐角为 ，那么 2tan =（ ） A. 3 2 B． 4 3 C． 5 12  D． 12 5 8．已知   xxxf  sin ，若    3( ) 1 2g x f x x f x       有三个零点， 则实数 的取值范围是（ ） A．  13， B．    1 3   ， ， C．  31， D．    3 1   ， ， 二、多选题：本题共 3小题，每小题满分 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求．全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分． 9．下列选项正确的是（ ） A．若随机变量 ~ (6, )X B p ， ( ) 4.8E X  ，则 0.8p  ． B．设随机变量服从正态分布  0,1N ，若 ( 1)P p   ，则 1( 1 0) 2 P p     ． C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 A=“第一次出现 2 点”， 事件 B=“两次点数之和为奇数”，则事件 A与 B互斥． D．对于随机事件 A与 B，若 ( ) 0.3P B  ， ( ) 0.7P B A ∣ ，则事件 A与 B独立． 10．动点 P在椭圆 C上， 1F ， 2F 为 C的左、右焦点，直线 1PF和直线 2PF 分别交 C 于点 A，B，若 2PAF△ 的周长为 20，且C的左顶点和上顶点距离为 41，则（ ） A．椭圆焦距为 3 B．离心率 3 5 e  C． 1 2PFF 面积最大值为 12 D． 1PF和 2PF 斜率乘积为定值 数学试题 第 3页，共 5页 11．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1， E是 1DD 的中点，则（ ） A． 1 1BC BD B．三棱锥 1 1C BCE 的体积为 1 2 C．三棱锥 CEBC 11  的外接球的表面积为 16 41 D．由 1B ，C， E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 3 2 5 2  三、填空题：本题共 3小题，每题 5分，共 15分，其中第 14题第一空 2分，第二空 3分． 12．已知函数   3 2 1 log ( 7) 1 x x f x x x       ，， ，， 则     22 ff ． 13．在   42 1 3 2x x  的展开式中，含 2x 的项的系数是 ．（请用具体数字作答） 14．若动点M 到定点 )0,2025(F 的距离与它到直线 020252  yx 的距离相等，则 动点M 的轨迹是什么？某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等 的点的轨迹是抛物线。”由此判断动点M 的轨迹是抛物线。请问该学生的判断是 否正确？______（填“正确”或“错误”），点M 的轨迹方程是：_________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为 a， b c， ，已知 ABC 恰好满足下面 四个条件中的三个：① 1cos 2 A  ，② 1cos 2 B   ，③ 3a  ，④ 1b  ． （1）问 ABC 满足的是哪三个条件？请列举出来，并说明理由； （2）求 c． 数学试题 第 4页，共 5页 16．（本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD，四边形 ABCD为直角梯形， 90ADC  ， 3AB AD PD   ，且 2DC AB   ， 2CE EP   ． （1）证明： AD 平面 PDC ； （2）求平面 BDE与平面 PBC 夹角的余弦值． 17．（本小题满分 15 分） 已知函数   ln 1f x ax x   ， Ra ． （1）当 2a  时，求函数  f x 在点   1 1f， 处的切线方程； （2）若  xf 有极大值，且极大值小于 0，求 a的取值范围． 18．（本小题满分 17 分） 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科 知识整合能力指标 x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标 y（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取 5 名考生的测试结果如下表： （1）若学科知识整合能力指标的平均值 =9x ， (i)求 t的值； (ii)求 y关于 x的经验回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ，并估计学科知识整合能力指标为 14 时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目， 每门科目通过情况相互独立； x 6 8 9 t 12 y 2 3 4 5 6 数学试题 第 5页，共 5页 甲高校：每门科目通过的概率均为 2 5 ，通过科目数记为随机变量 X； 乙高校：第一门科目通过概率为 m(0<m<1)，第二门科目通过概率为 1 4 ，第三门 科目通过概率为 2 3 ，通过科目数记为随机变量 Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校． 附：经验回归方程 ˆˆ ˆy bx a  中 b̂和 â的最小二乘估计分别为：      1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                ， ˆâ y bx  ． 19．（本小题满分 17 分） 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的两条渐近线分别为 xyl :1 和 xyl :2 ， 右焦点坐标为  0,2 ，O为坐标原点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设 M，N是双曲线 C上不同的两点，Q是 MN的中点，直线 MN，OQ的斜 率分别为 1 2,k k ，证明： 1 2k k 为定值； （3）直线 2 3y x  与C的右支交于点 1 1,A B （ 1A在 1B 的上方），过点 1 1,A B 分别 作 2 1,l l 的平行线，交于点 1P，过点 1P且斜率为 2 的直线与C的右支交于点 2 2,A B （ 2A 在 2B 的上 方），再过点 2 2,A B 分别作 2 1,l l 的平行线，交于点 2 ,P ，这样一直操作下去，可以得到一系列点 * 1 2, , , , 3,nP P P n n N ，记 nP的坐标为  ,n nx y . 证明： 1 2, , , nP P P 共线．