第05讲 全等三角形及其性质2025-2026学年人教版数学八年级上册

第05讲 全等三角形及其性质 【人教版2024】 【知识点1 全等形的概念】 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 【微点拨】 （1）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【知识点2 全等三角形的概念和表示方法】 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【微点拨】 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 【典题练习】 【例1】如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 【练1】如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【知识点3 全等三角形的性质】 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等，周长相等，面积相等．但是面积相等、周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【典题练习】 【例2】如图，在和中，点在同一条直线上， ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【练2】如图，已知，，，则 ．    【能力闯关】 【基础关】 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 3．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，点在上，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．两个全等三角形对应边 ；对应边上的中线 6．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【提升关】 7．如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 8．若，，，则的边上的高为 cm． 9．如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ． 10．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 ． 11.如图所示，，，三点在同一条直线上，且， （1）证明：． （2）探究当满足什么条件时，？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全等三角形及其性质 【人教版2024】 【知识点1 全等形的概念】 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 【微点拨】 （1）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【知识点2 全等三角形的概念和表示方法】 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【微点拨】 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 【典题练习】 【例1】如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 【答案】．对应角是：与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解  ． 因为与是对应角，所以其余的对应角是： 与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键． 【练1】如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键． 【知识点3 全等三角形的性质】 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等，周长相等，面积相等．但是面积相等、周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【典题练习】 【例2】如图，在和中，点在同一条直线上， ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段的和差计算，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据，得出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 【练2】如图，已知，，，则 ．    【答案】/度 【分析】根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 【能力闯关】 【基础关】 1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 3．如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 4．如图，，点在上，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 5．两个全等三角形对应边 ；对应边上的中线 【答案】 相等 相等 【分析】根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：两个全等三角形对应边相等；对应边上的中线相等． 故答案为：相等；相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 6．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【提升关】 7．如图，的两条高相交于点F，若，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，求三角形的面积．由全等三角形面积相等、对应边相等，可得，，进而可得． 【详解】解： ，，是的高， ， ， ，， ， ， 故选B． 8．若，，，则的边上的高为 cm． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．利用的面积求出边上的高，再根据全等三角形的对应高相等可得边上的高等于边上的高，从而得解． 【详解】解：设边上的高为 ， 则，即， 解得， ，与是对应边， 边上的高为． 故答案为：4． 9．如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，推出，，求出，由的周长求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 的周长． 故答案为：． 10．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情形：①当≌时，可得：；②当≌时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：①当≌时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； ②当≌时， ，， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题． 11.如图所示，，，三点在同一条直线上，且， （1）证明：． （2）探究当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）满足时，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【小问1详解】 证明：， ，， ， 即； 【小问2详解】 解：满足时，， 理由是：， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$