2.3 从速度的倍数到向量的数乘 学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

授课主题 2.3从速度的倍数到向量的数乘 知 识 梳 理 一：数乘向量 1.向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： (1)； (2)①当时，的方向与的方向相同； ②当时.的方向与的方向相反； ③当时，. 2．向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 注意：（1）是一个向量，而却是一个非负实数。 （2）注意实数与向量的积的特殊情况：当时，，而当时，若，有。 3.向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 注意：（1）结合律中的均为实数，不能是向量。 （2） 数乘向量的运算类似于实数运算，先算小括号再算中括号，将相同的向量看作同类项进行合并。 二：向量共线的条件 1．向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2．向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3．向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 注意： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 三：用向量共线的定理证明三点共线和两直线平行的方法 两个向量共线的条件是由向量的数乘运算推出的，利用它有时很容易证明几何中的三点共线和两直线平行，证明三点共线时，只需证明；若证两直线平行，需（），且所在基线无公共点，并由此证明其他几何问题，如平行四边形的判定、梯形的判定、三角形的相似等。 例题讲解 考法一 平面向量的数乘 例1、计算下列各式： （1）(+)―(―)； （2）2(3―4+)―3(2+―3)； （3）． （4）4(+)―3(―)； （5）． 【答案】（1）；（2）11―11；（3）；（4）+7；（5） 【解析】（1）原式=+==． （2）原式=6―8+2―6―3+9=++（2+9）=11―11． （3）原式 = （4）原式=4―3+4+3=+7． （5）原式 例2、如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】在中 考法二 平面向量共线定理 例1、判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，(其中两个非零向量和不共线)； (3)，. 【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线. 【解析】(1)，，所以，所以，共线. (2)，,所以，所以，共线. (3)因为，，所以，所以.所以，共线. 例2、设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析(2)(3) 【解析】(1)证明：因为，所以与共线. 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线. (2)因为与共线，所以存在实数，使. 因为，不共线，所以所以. (3)假设与共线，则存在实数m，使. 因为，不共线，所以所以.因为与不共线，所以. 例3、如果、是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） ①可以表示平面内的所有向量；②对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个；③若向量与共线，则有且只有一个实数，使得；④若实数，使得，则． A．①② B．②③ C．③④ D．② 【答案】 B 【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量与均为零向量，即时，满足条件的实数有无数个．故选B． 例4、 如图所示，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，C为对角线的交点．又，，试用，表示，． 【答案】 【解析】 由题意，得，所以，则，， ． ． 考法三 平面向量在几何中应用 例1、．设两个非零向量和不共线． （1）如果，，，求证：A、C、D三点共线； （2）如果，，，且A、B、C三点共线，求k的值． 【解析】（1）证明：，，， ，∴与共线． 又∵与有公共点，∴A、C、D三点共线． （2）， ∵A、C、D三点共线，∴与共线，从而存在实数使得， 即3―2=(2―k)，由平面向量的基本定理，得，解之得，． 例2、设两非零向量和不共线， (1)如果求证三点共线. (2)试确定实数，使和共线. 【解析】(1)证明  　　共线，又有公共点，∴三点共线. (2)解  ∵ 和 共线，∴存在，使， 　　则由于 和不共线，只能有 则. 例3、如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点． 求证：． 【证明】取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如下图． ∵E是AD的中点，∴．∵F是BC的中点，∴， 又∵，∴． ∴． 例4、如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，. (1)用表示； (2)求证：B，E，F三点共线． 【答案】(1)，，，， (2)证明见解析 【解析】(1)解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， 则， 故，， ，； (2)证明：因为，，所以， 所以，又因有公共点，所以B，E，F三点共线． 例5、已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若，证明O是△ABC的重心． 【证明】 ∵， ∴，即是与方向相反且长度相等的向量． 如图所示，以OB、OC为相邻两边作OBDC，则， ∴． 在OBDC中，设BC与OD相交于E，则，， ∴AE是△ABC的BC边上的中线，且． 根据平面几何知识，知O是△ABC的重心． 举一反三 1．计算： (1)； (2)． (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)；(6)； (7)；(8). 【解析】(1)原式． (2)原式 (3)原式=. (4)原式= . (5) (6) (7) (8) 2．已知与为非零向量，，若三点共线，则(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意知，三点共线，故,且共线， 故不妨设，则，所以，解得，故选：D 3．设两个非零向量与不共线． (1)若，，，求证：，，三点共线； (2)试确定实数，使和同向． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】(1)证明：因为，，， 所以．所以，共线． 又因为，有公共点，所以，，三点共线． (2)解：因为与同向，所以存在实数，使， 即．所以． 因为，是不共线的两个非零向量，所以，解得，或，又因为，所以． 4.设是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值； (3)若，且三点共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析；(2).(3). 【解析】证明：(1)，所以. 又因为为公共点，所以三点共线. (2)设，则解得或所以实数的值为. (3)，因为三点共线，所以与共线. 从而存在实数使，即，得解得所以. 5.如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示：（1）；（2）；（3）. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）== == （2）= （3）在中，取 同理：；是的中点 == 6.如图，在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，试以a，b为基底表示． 【答案】 【解析】设（m，n∈R），则． ， ∵A、M、D三点共线，，∴，即m+2n=1． ① 而，， ∵C、M、B三点共线，，∴，即4m+n=1． ② 由，解得，∴． 7.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底a，b表示向量． 【答案】 【解析】易得，，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足 ． 由C、E、M三点共线知存在实数n，满足． 所以．即，解得，即． 8.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求. 【答案】4 G 【解析】设 又 …① 又而 ………………②比较①②，由平面向量基本定理得： 解得：或（舍） ，把代入得：. 9．如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 【答案】(1)菱形，理由见解析(2)答案见解析 【解析】(1)由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形． (2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示． 10.两个非零向量，不共线． （1）若，，，求证：A、B、D三点共线． （2）求实数k，使k+与2+k共线． 【解析】证明三点共线，一般转化为证明有共同起点的两个向量共线，可用向量的共线定理进行讨论． （1）证明：因为，所以与共线，又因为它们有公共起点A，所以A、B、D三点共线． （2）解：因为k+与2+k共线，所以存在实数使k+=(2+k)，即(k―2)+(1―k)=0．所以，解得或，所以． 11．设、、是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且． 【证明】（1）由三点共线m、n满足的条件． 若A、B、P三点共线，则与共线，由向量共线的条件知存在实数使，即，∴． 令，n=，则且m+n=1． （2）由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线． 若且m+n=1，则． 则，即． ∴与共线，∴A、B、P三点共线． 由（1）（2）可知，原命题是成立的． 课 后 作 业 1． 单选题 1．如果、是平面内所有向量的一组基底，那么（ ） A．若实数1、2使1+2=0，则1=2=0 B．空间任一向量可以表示为=1+2，这里1、2是实数 C．对实数1、2，1+2不一定在平面内 D．对平面中的任一向量，使=1+2的实数1、2有无数对 【答案】A 【解析】 平面内任一向量都可写面与的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量1+2一定在平面内；而对平面中的任一向量，实数1、2是唯一的。 2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，，则点P一定在（ ） A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 【答案】B 【解析】易得，即，从而，又，有一个公共点P，所以C、P、A三点共线，又，所以点P在直线AC上． 3.已知向量，若与共线，则( ) A. B. C. D.或 【答案】D 【解析】非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=；与任一向量共线. 4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝，＝，则＝ (　　) A.＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋ 【答案】B 【解析】如图所示，＝＋＝a＋＝＋(－)＝＋. 5．设是两个不共线的向量,若向量与共线,则(　　) A．λ=0 B．λ=-1 C．λ=-2 D．λ=- 【答案】D 【解析】由已知得存在实数k使,即,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-. 6．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】满足，∴为的重心，∴＝＝， 又∵，∴ ．故选：A． 7．设，为不共线的非零向量，，，那么（ ） A．与同向，且 B．与同向，且 C．与反向，且 D． 【答案】A 【解析】 由=， 又=。与同向，且。 8．已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由得， 即，即，故， 故与以为底，其高的比为，故． 故选：C． 9．(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量的运算法则，可得． 故选：A. 2． 多选题 10．下列命题正确的的有(    ) A． B． C．若，则共线 D．，则共线 【答案】ABC 【解析】对于A，，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，因为，所以，所以共线，故正确； 对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.故选：ABC. 11．下列说法不正确的是(    ) A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得 B．若向量共线，则点必在同一直线上 C．若且，则 D．若点为的重心，则 【答案】BC 【解析】由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的； 向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线， 只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，故B不正确； 由平面向量的数量积可知，若，则， 所以，无法得到，故C不正确； 设线段的中点为，若点为的重心， 则，而，所以，即D正确. 故选：BC． 12．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】BCD 【解析】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误； 由，所以正确，故B正确； 由正八边形知，，且, 根据向量加法法则可知： 为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，又， 与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确； 在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确. 故选：BCD 13．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    ) A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 【答案】ACD 【解析】对于A，，为等边三角形，故A正确； 对于B，，，、、三点不共线，故B错误； 对于C，设，，分别为，，的中点，则， ，， ，即，故C正确； 对于D，，，，，在的角平分线上，的轨迹一定通过的内心，故D正确． 故选：ACD． 3． 填空题 14．设，是两个不共线的向量，向量，共线，则 . 【答案】 【解析】与共线，，， 又，是两个不共线的向量，，解得. 故答案为：. 15．如图所示，在△ABC中，，若，，则________． 【答案】 【解析】 ． 16．若向量，，则 . 【答案】 【解析】； ； ； . 故答案为：. 4． 解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】(1) ； (2)； (3)； (4). 18．已知：如图所示，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，，若．求证：． 证明：设，，以，为基底；由已知得， ∵ ，∴ ．∴ ， ① ， ② ． ③ 将①②③代入，得，∴ ． 19．如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【答案】(1)(2) 【解析】（1)． (2) ．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.3从速度的倍数到向量的数乘 知 识 梳 理 一：数乘向量 1.向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： (1)； (2)①当时，的方向与的方向相同； ②当时.的方向与的方向相反； ③当时，. 2．向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 注意：（1）是一个向量，而却是一个非负实数。 （2）注意实数与向量的积的特殊情况：当时，，而当时，若，有。 3.向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 注意：（1）结合律中的均为实数，不能是向量。 （2） 数乘向量的运算类似于实数运算，先算小括号再算中括号，将相同的向量看作同类项进行合并。 二：向量共线的条件 1．向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2．向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3．向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 注意： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 三：用向量共线的定理证明三点共线和两直线平行的方法 两个向量共线的条件是由向量的数乘运算推出的，利用它有时很容易证明几何中的三点共线和两直线平行，证明三点共线时，只需证明；若证两直线平行，需（），且所在基线无公共点，并由此证明其他几何问题，如平行四边形的判定、梯形的判定、三角形的相似等。 例题讲解 考法一 平面向量的数乘 例1、计算下列各式： （1）(+)―(―)； （2）2(3―4+)―3(2+―3)； （3）． （4）4(+)―3(―)； （5）． 例2、如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示 考法二 平面向量共线定理 例1、判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，(其中两个非零向量和不共线)； (3)，. 例2、设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 例3、如果、是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） ①可以表示平面内的所有向量；②对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个；③若向量与共线，则有且只有一个实数，使得；④若实数，使得，则． A．①② B．②③ C．③④ D．② 例4、 如图所示，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，C为对角线的交点．又，，试用，表示，． 考法三 平面向量在几何中应用 例1、．设两个非零向量和不共线． （1）如果，，，求证：A、C、D三点共线； （2）如果，，，且A、B、C三点共线，求k的值． 例2、设两非零向量和不共线， (1)如果求证三点共线. (2)试确定实数，使和共线. 例3、如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点． 求证：． 例4、如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，. (1)用表示； (2)求证：B，E，F三点共线． 例5、已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若，证明O是△ABC的重心． 举一反三 1．计算： (1)； (2)． (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8). 2．已知与为非零向量，，若三点共线，则(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．设两个非零向量与不共线． (1)若，，，求证：，，三点共线； (2)试确定实数，使和同向． 4.设是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值； (3)若，且三点共线，求实数的值. 5.如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示：（1）；（2）；（3）. 6.如图，在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，试以a，b为基底表示． 7.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底a，b表示向量． 8.△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.G 9．如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 10.两个非零向量，不共线． （1）若，，，求证：A、B、D三点共线． （2）求实数k，使k+与2+k共线． 11．设、、是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且． 课 后 作 业 1． 单选题 1．如果、是平面内所有向量的一组基底，那么（ ） A．若实数1、2使1+2=0，则1=2=0 B．空间任一向量可以表示为=1+2，这里1、2是实数 C．对实数1、2，1+2不一定在平面内 D．对平面中的任一向量，使=1+2的实数1、2有无数对 2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，，则点P一定在（ ） A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上 3.已知向量，若与共线，则( ) A. B. C. D.或 4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝，＝，则＝ (　　) A.＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋ 5．设是两个不共线的向量,若向量与共线,则(　　) A．λ=0 B．λ=-1 C．λ=-2 D．λ=- 6．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 7．设，为不共线的非零向量，，，那么（ ） A．与同向，且 B．与同向，且 C．与反向，且 D． 8．已知是的边的中点，点在上，且满足，则与的面积之比为( ) A． B． C． D． 2． 多选题 9．(    ) A． B． C． D． 10．下列命题正确的的有(    ) A． B． C．若，则共线 D．，则共线 11．下列说法不正确的是(    ) A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得 B．若向量共线，则点必在同一直线上 C．若且，则 D．若点为的重心，则 12．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D．和不能构成一组基底 13．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是(    ) A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 3． 填空题 14．设，是两个不共线的向量，向量，共线，则 . 15．如图所示，在△ABC中，，若，，则________． 16．若向量，，则 . 4． 解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知：如图所示，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，，若．求证：． 19．如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 学科网（北京）股份有限公司 $$