2.3.2从速度的倍数到向量的数乘第2课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

一、课时教学内容 《从速度的倍数到向量的数乘》 3.2 向量的数乘与向量共线的关系 二、教学目标 1．理解向量共线定理，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线，体会数形结合思想. 2．在三点共线与向量共线的联系中，体会转化思想的价值，使学生初步意识到向量是解决几何问题的有力工具. 三、重点与难点 重点：共线向量基本定理 难点：直线的方向向量的表示 四、教学过程流程 本节课以“问题引导学习”为教学原则，将教学过程分为五个环节，即“复习引入、建构新知、应用强化、目标检测和回顾提升”，并通过8个主要问题将“五环节”有机联系起来. 本节从知识方面，没有新知探索，属于知识应用，在“建构新知”的环节里，主要是探索共线向量基本定理的全过程，以发展学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。 研究路径：复习——探究定理——应用 五、教学过程 环节一：复习引入， 【问题1】：上节课我们学习了向量的数乘运算，知道了一个实数 和一个向量 a 的乘积仍然是一个向量。 l a 是怎么定义的？ 学生活动：思考并给出定义，首先是模长， a a ；其次，当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， l a =0 方向任意； 设计意图：通过对数乘向量的定义复习，巩固上节课基本内容。同时为共线向量基本定理的探索奠定理论基础。 【问题2】：根据上节课数乘向量的定义，判断两个向量平行的条件是什么？师生活动：教师引导学生思考并尝试用不同语言给出结论：对于非零向量 a · b ， 是一个实数，若 b a ，则 b // a 设计意图：以问题的形式对上节课留下的作业进行检查，同时给出两个向量 共线的一个充分条件。为下面共线基本定理的形成分解难点。 【问题3】：如何求一个向量 a 的单位向量？ 师生活动：教师引导从单位向量的定义出发，学生动手计算出结果，并能叙述其求解过程。如果向量 a 的单位向量记作 e ，则 e a a 追问：如果向量 a =0 呢？上述表示严谨吗？ 学生活动：不严谨，如果向量 a ¹ 0 ， e a ，如果向量 a =0 ，单位向量是 a 任意的。 设计意图：通过求解一个向量的单位向量的分类讨论，让学生厘清解决向量共线问题时，注意讨论其中的向量是否为零向量。也为后续共线向量定理中的基向量为非零向量埋下伏笔。 【问题4】：如何用单位向量表示一个向量？ 学生活动：如果向量 a 的单位向量记作 e ，则 a a e 追问：用一个单位向量可以表示什么样的向量？ 学生活动：所有与该单位向量共线的向量。 设计意图：用单位向量来表示与其共线的向量，让学生领会共线向量基本定理的雏形，体会特殊到一般的思想。 环节二：建构新知 平行向量基本定理探究 【问题5】：如果任意给定两个共线向量 a ， b ，是否可以唯一确定一个 值，使得 b a ，这个 值是如何得到的？ 教师活动：组织学生分组，先思考，后小组讨论，最后代表汇报。 学生活动：分类讨论： · a =0 ，就没有满足条件的 ；那是因为若 b =0 ， 有无数多个值满足， · b ¹ 0 无论 取什么值，都不满足。 · a ¹ 0 ，则可以唯一确定一个 值，使得 b a 探究 的求解方式， r a r r b r a 若 b 与 a 方向相同，则 b 的单位向量可表示为： r ，此时 b = b r = r a ； a a a b 此时 l = r a a 若 b 与 a 方 向 相 相 反 ， 则 b 的 单 位 向 量 可 表 示 为 ： - ar ， 此 时 r r r b r b a b = b (- r ) =- r a ；此时， l =- r a a