1.3 正方形的性质与判定 课件 2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册 第3节 正方形的性质与判定 学习&目标 1．探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的性质条件进行有关的论证和计算 . 1.3.1 正方形的性质与判定 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 平行四边形 一组邻边相等 一个角是直角 正方形 情境&导入 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的定义 探索&交流 　议一议 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 探索&交流 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 探索&交流 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 探索&交流 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 探索&交流 　想一想 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 例题&解析 例题 ☞ 例1.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下： (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)． ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°. ∴∠BCE＝∠DCF. 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF. 例题&解析 (2)延长BE交DF于点M(如图)． ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF. ∵∠DCF＝90°， ∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF. 探索&交流 　议一议　 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 例题&解析 例题 ☞ 例2.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F 为BC延长线上一点，CE =CF. (1)求证：△BCE ≌△DCF； (2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数. 例题&解析 （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴ BC=DC，∠BCE =∠DCF =90° . 又∵ CE=CF， ∴△BCE ≌△DCF. （2）解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°， ∴∠ DFC= ∠ BEC=60° . ∵ CE=CF，∠ ECF=90°， ∴∠ CFE=45° . ∴∠ EFD=∠ DFC- ∠ CFE=60°-45°=15°. 证明： 练习&巩固 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 练习&巩固 2.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 学习&目标 1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . 3.了解中点四边形 3.2 正方形的判定 通过定义法判定正方形： 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠ADC=90° ∴所以四边形ABCD是正方形。 A B C D O 判定方法1：邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 【猜想1】当矩形的________________时，会变成一个正方形。 一组邻边相等 【猜想2】当矩形的________________时，会变成一个正方形。 对角线互相垂直 满足什么条件的矩形是正方形？ 归纳总结 通过矩形判定正方形： 判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形， AB=AD， 所以四边形ABCD是正方形。 判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形， AC⊥BD， 所以四边形ABCD是正方形。 A B C D O 【猜想1】当菱形的________________时，会变成一个正方形。 一个角是直角 【猜想2】当菱形的________________时，会变成一个正方形。 对角线相等 满足什么条件的菱形是正方形？ 通过菱形判定正方形： 判定方法1：有一个角是直角的菱形是正方形。 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∠ABC=90°， 所以四边形ABCD是正方形。 判定方法2：对角线相等的菱形是正方形。 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形， AC=BD， 所以四边形ABCD是正方形。 A B C D O 归纳总结 1 .定义法： 2.矩形法： 一邻边相等 一个直角 + + 平行四边形 = 正方形 3.菱形法： 一邻边相等 + 矩形 = 正方形 一个直角 + 菱形 = 正方形 对角线互相垂直 + 矩形 = 正方形 对角线相等 + 菱形 = 正方形 正方形判定方法 例题&解析 例题 ☞ 例1.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 45° 45° 例题&解析 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 中点四边形 1.任意画一个四边形，以四边中点为顶点可以组成一个什么四边形？说说你的理由？ 方法一 方法二 平行四边形 2.以平行四边形各边的中点为顶点的四边形是什么 四边形？说明你的理由？ 3.以菱形各边的中点为顶点的四边形是什么四边形？ 4.以矩形，正方形各边的中点为顶点呢？ 平行四边形 菱形 矩形 正方形 5.如图1，四边形ABCD的对角线互相垂直，以它各边的中点为顶点的四边形是什么四边形？说明你的理由？ 6.如图2，四边形ABCD的对角线相等，以它各边的中点为顶点的四边形又是什么四边形呢？ 图1 图2 矩形 菱形 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 归纳总结 练习&巩固 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 练习&巩固 2.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）． ②③或①④ 3. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形A′B′C′O 与正方形 ABCD 的边长相等. 在正方形A′B′C′O绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论. 解：S重叠部分 = S正方形ABCD 证明:如图,正方形 OA′B′C′ 分别交 AB、BC 于点 E、F． ∵OC ＝ OB, ∠C′OA′＝∠COB ＝ 90°, ∠OCB ＝∠OBA ＝ 45°, ∴ ∠COF ＝ ∠BOE, 则△OFC ≌ △OEB． ∴S重叠部分＝ S△OEB+ S△OBF = S△OFC + S△OBF = S△OBC = S正方形ABCD . E F $$