回归新教材系列——隐藏的欧拉函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

一、新教材中隐藏的欧拉函数 二、欧拉函数定义与计算 1、欧拉函数定义 2、欧拉函数的计算 拓展一下数论中的欧拉定理等内容 三、同余 1、同余相关定义 2、同余相关性质 四、费马小定理 五、欧拉定理 六、模考中的欧拉函数压轴 七、更多模考中的欧拉函数题 一、新教材中隐藏的欧拉函数 在人教 版新教材选择性必修二第 8 页课后习题第 1 题中介绍了欧拉函数的定义,如下习题 4.1 复习巩固 1. 写出下列数列的前 10 项, 并作出它们的图象: (1)素数按从小到大的顺序排列成的数列； (2)欧拉函数 的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列. 2. 根据下列条件,写出数列 的前 5 项: 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数的个数,例如, , . 解析: 图 1 图 2 二、欧拉函数定义与计算 1、欧拉函数定义 【欧拉函数定义】在数论中,对正整数 ,欧拉函数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目。 注: 此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为 函数 (由高斯所命名) 或是欧拉总计函数(totient function,由西尔维斯特所命名)。 例如, 欧拉函数部分值如下, 哪有没有统一的欧拉函数值的计算公式呢? 2、欧拉函数的计算 在介绍欧拉函数计算方法之前先介绍一下正整数的标准分解 【标准分解式】将质因数分解的结果, 按照质因数大小, 由小到大排列, 并将相同质因数的连乘积, 以指数形式表示, 此种表示法称为标准分解式。 例如, 2024 的标准分解式是 然后就可以介绍一下欧拉函数的计算方法了 【欧拉函数的计算公式】 (1)先化为标准分解式形式 (2)再依照下面的公式计算 例如, 注: 当 为合数,且不知道 的标准因数分解式时,通常很难求出 的欧拉函数值 , 但如果 为质数时,有计算式就可以得到很好的结论 I. 若 为质数,则 II. 若 为质数,且 ,则 形成了一个等比数列. 拓展一下数论中的欧拉定理等内容 三、同余 1、同余相关定义 同余定理是数论中的重要概念。 【定义 1: 整除】对于 ,其中 ,若存在 使得 ,则称 整除 , 是 的一个因子, 是 的一个倍数,并且记为 ,否则称 不能整除 ,记为 注: 对于所有整数 ,有 【定义 2: 同余】给定一个正整数 ,如果两个整数 和 满足 ,即 得到一个整数,那么就称整数 与 对模 同余,记作 ,读作 与 对模 同余。 注: 1. 若 ,则 ； 2. 等价于 与 分别用 去除,余数相同。 证明 充分性: 若 和 用 相除留下相同的余数 ,则 为某两个整数, 由此得 根据整除定义,我们有 ,由同余式定义得出结论 必要性: 若 和 用 相除留下相同的余数 ,则 ,所以 ,故 2、同余相关性质 (1)反身性: (2)对称性:若 ,则 (3)传递性:若 ,则 (4)同余式相加:若 ,则 (5)同余式相乘:若 ,则 (6)线性运算: 如果 ,那么 ,且 (7)除法:若 则 其中 表示 的最大公约数。特殊地, 则 (8)幂运算: 如果 ,那么 (9)若 则 (10) 若 则 ,其中 表示 的最小公倍数. 四、费马小定理 费马小定理是初等数论四大定理 (威尔逊定理, 欧拉定理 (数论中的欧拉定理), 中国剩余定理 (又称孙子定理), 费马小定理) 之一, 在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上,它是欧拉定理的一个特殊情况,即 引理 1: 若 为任意 3 个整数, 为正整数,且 ,则当 时,有 ,其中 表示 的最大公约数。 证明: 可得 可得 。因为 即 互质, 可以约去, 可得 。 【定义 1: 同余类】设 是一个给定的正整数,则可以将整数集划分为 个集合, 记作 ,这里 我们称 为模 的同余类. 【定义 2: 完全剩余系】如果整数 中没有两个数同属于模 的一个同余类,那么称 为模 的一个完全剩余系, 简称为模 的一个完系. 注: 这里 可视为 中各取一个 (作为代表) 形成的一个 元数组,显然最多只能各取一数才能保证任两数不同属于模 的一个同余类,又由于每一个同余类中都有一个代表, 因此称之为完全剩余 (代表) 系. 引理 2: 设 是一个整数且 是一个整数且 。如果 是模 的一个完全剩余系,则 也构成模 的一个完全剩余系。 证明: 若存在 2 个整数 和 同余即 ,根据引理 1 则有 。根据完全剩余系的定义可知这是不可能的,因此不存在 2 个整数 和 同余。所以 构成模 的一个完全剩余系。 【费马小定理】假如 是一个整数, 是一个质数,那么 是 的倍数,也可以表示为 。如果 不是 的倍数,可以改写为 证明: 构造素数 的完全剩余系 因为 ,由 引理 2 可得 也是 的一个完全剩余系。由完全剩余系的性质, 即 易知 ,同余式两边可约去 ,得到 五、欧拉定理 【欧拉定理】如果 ,则 证明: 取 为模 的一个最小正简化剩余系,则当 是满足 的整数时, 也为模 的一个简化剩余系,即 模 的最小正剩余是 的一个排列. 故乘积 模 的最小正剩余和乘积 模 的最小正剩余相等. 即 因此 又从 可推出 . 得到 六、模考中的欧拉函数压轴 【湖南长沙雅礼中学 25 届高三月考(四)T14】欧拉函数 表示不大于正整数 且与 互素 (互素: 公约数只有 1 ) 的正整数的个数. 已知 ,其中 是 的所有不重复的质因数 (质因数: 因数中的质数). 例如 . 若数列 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,则 _____. 解析: 由题意得 当 时, 当 时, 则 注: 若 为质数,且 ,则 形成了一个等比数列. 【浙南名校联盟 25 届高三一联 T19】密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学. 研究密码变化的客观规律, 应用于编制密码以保守通信秘密的, 称为编码学; 应用于破译密码以获取通信情报的, 称为破译学, 总称密码学. 20 世纪 70 年代, 一些学者提出了公开密钥体制, 即运用单向函数的数学原理, 以实现加、脱密密钥的分离. 加密密钥是公开的, 脱密密钥是保密的. 这种新的密码体制, 引起了密码学界的广泛注意和探讨. 某数学课外小组研究了一种编制密码的方法: 取任意的正整数 ,将小于等于 且与 互质的正整数从小到大排列,即为密码. 记符合上述条件的正整数的个数为 . (1)求数列 的前 5 项和； (2)求 的表达式和 的值； (3) 记 ,数列 的前 项和 ,证明 . 解析: (1) (2)2 为质数,则小于等于 的正整数中,只有 2 的倍数不与 2 互质,也即小于等于 的奇数满足条件,所以 在小于等于 的正整数中,31 的倍数有 37 个,37 的倍数有 31 个 (3) 由 (2) 设 则对等式右边通分可得 对比等式两边可得 解得 故 所以 注 1: 小于等于 且与 互质的正整数的个数其实就是欧拉函数 的值。 【24 届开封二模 T19】在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在 RSA 加密算法中的应用. 设 是两个正整数,若 的最大公约数是 1,则称 互素. 对于任意正整数 ,欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数,记为 . (1)试求 的值； (2)设 是一个正整数, , 是两个不同的素数. 试求 , 与 和 的关系； (3)RSA 算法是一种非对称加密算法, 它使用了两个不同的密钥: 公钥和私钥. 具体而言: ① 准备两个不同的、足够大的素数 ； ② 计算 ,欧拉函数 ； ③ 求正整数 ,使得 除以 的余数是 1 ； ④ 其中(n, q)称为公钥,(n, k)称为私钥. 已知计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是 (187,17). 若满足题意的正整数 从小到大排列得到一列数记为数列 ,数列 满足 ,求数列 的前 项和 . 解析: (1) (详解可以参考标答,群内分享) (2)在不大于 的正整数中,只有 3 的倍数不与 互素,而 3 的倍数有 个,因此 由 是两个不同的素数,得 在不超过 的正整数中, 的倍数有 个, 的倍数有 个, 于是 所以 ( 3 )计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布 公钥是 (187,17),则 ,从 而 由 (2) 得, 即正整数 满足的条件为: , ,令 则 令 ,则 取 ,则 , , ,于是 因此 ,即 所以 【24 届浙江天域名校协作体高三二模 T19】欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个数,例如: , ,数列 满足 (1)求 ,并求数列 的通项公式； (2) 记 ,求数列 的前 和 . 答案: (1) (详解群内分享) ( 2 )(详解群内分享) 解析: (1) 由题意可知 , 由题意可知,正偶数与 不互素,所有正奇数与 互素,比 小的正奇数有 个, 所以 ; ( 2 )由( 1 )知 ,所以 , 所以 , 所以 ,① ② 所以①一②得 所以 . 【24 届湖北高中毕业生四月模拟 T19】欧拉函数在密码学中有重要的应用. 设 为正整数,集合 ,欧拉函数 的值等于集合 中与 互质的正整数的个数; 记 表示 除以 的余数 ( 和 均为正整数) (1) 求 和 ； (2)现有三个素数 ,存在正整数 满足 ； 已知对素数 和 ,均有 ,证明: 若 ,则 (3)设 为两个未知素数的乘积, 为另两个更大的已知素数,且 ；又 ,试用 和 求出 的值. 解析: (1) 中,与 6 互质的数有 1 和 5,则 ; 中,与 15 互质的数有 和14,则 . (2)因为 和 为素数,则对 ,仅当 或 时, 和 不互质, 又 ,则 ,或 时, 与 不互质, 则 , 设 ,可知 不全为 0,下证 时, ; 由题知, , 又 , 所以 ,同理有 ; 于是记 , 即 ,同理 ,记 ,于是 , 则 ,因为 ,所以 ,所以 , 即 ; (i) 时,记 ,则 , 记 ,又 ,而 ,则 , 即 ,即 ; (ii) 若 ,不妨设 ,于是 , 所以 ,又 , 所以 ; 综上, ,得证: ( 3 )因为 ,所以 ,则 ,则 , 假设存在 ,使得 ; 记 , 令 ,那么 ,且 ,于是 ,使 ,则 , 从而数列 有且仅有 项, 考虑使 成立, 则对于相邻项有 , 将两式相加并整理得: , 令 ,得 ,又由于 及 均由 和 确定, 则数列 的各项也可根据 和 确定, 由上知 , 则 , 即 ,其中 是根据 和 唯一确定的. 七、更多模考中的欧拉函数题 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 回归新教材系列——隐藏的欧拉函数 一、新教材中隐藏的欧拉函数 二、欧拉函数定义与计算 1、欧拉函数定义 2、欧拉函数的计算 拓展一下数论中的欧拉定理等内容 三、同余 1、同余相关定义 2、同余相关性质 四、费马小定理 五、欧拉定理 六、模考中的欧拉函数压轴 七、更多模考中的欧拉函数题 1、原卷版（文末下载） 2、解析版（文末下载） 一、新教材中隐藏的欧拉函数 在人教 版新教材选择性必修二第 页课后习题第 题中介绍了欧拉函数的定义，如下 解析： 图 1 图 2 二、欧拉函数定义与计算 1、欧拉函数定义 【欧拉函数定义】 在数论中，对正整数 ，欧拉函数 是小于或等于 的正整数中与 互质的数的数目。 注： 此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为 函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数（totient function，由西尔维斯特所命名）。 例如，欧拉函数部分值如下， 哪有没有统一的欧拉函数值的计算公式呢？ 2、欧拉函数的计算 在介绍欧拉函数计算方法之前先介绍一下正整数的标准分解 【标准分解式】 将质因数分解的结果，按照质因数大小，由小到大排列，并将相同质因数的连乘积，以指数形式表示，此种表示法称为标准分解式。 例如， 的标准分解式是 然后就可以介绍一下欧拉函数的计算方法了 【欧拉函数的计算公式】 （1） 先化为标准分解式形式 （2） 再依照下面的公式计算 例如， 注： 当 为合数，且不知道 的标准因数分解式时，通常很难求出 的欧拉函数值 ，但如果 为质数时，有计算式就可以得到很好的结论 Ⅰ. 若 为质数，则 Ⅱ. 若 为质数，且 ，则 形成了一个等比数列. 拓展一下数论中的欧拉定理等内容 三、同余 1、同余相关定义 同余定理是数论中的重要概念。 【定义1：整除】 对于 ，其中 ，若存在 使得 ，则称 整除 ， 是 的一个因子， 是 的一个倍数，并且记为 ，否则称 不能整除 ，记为 注： 对于所有整数 ，有 【定义2：同余】给定一个正整数 ，如果两个整数 和 满足 ，即 得到一个整数，那么就称整数 与 对模 同余，记作 ，读作 与 对模 同余。 注： 1. 若 ，则 ； 1. 等价于 与 分别用 去除，余数相同。 证明 充分性： 若 和 用 相除留下相同的余数 ，则 ， ， 为某两个整数，由此得 根据整除定义，我们有 ，由同余式定义得出结论 必要性： 若 和 用 相除留下相同的余数 ，则 ， ，所以 ， 故 2、同余相关性质 （1）反身性： （2）对称性： 若 ，则 （3）传递性： 若 ，，则 （4）同余式相加： 若 ，，则 （5）同余式相乘： 若 ，，则 （6）线性运算： 如果 ，，那么 ，且 （7）除法： 若 则 其中 表示 的最大公约数。特殊地， 则 （8）幂运算： 如果 ，那么 （9） 若 ， 则 （10） 若 则 ，其中 表示 的最小公倍数. 四、费马小定理 费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理（又称孙子定理），费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况，即 引理1： 若 ，， 为任意 个整数， 为正整数，且 ，则当 时，有 ，其中 表示 的最大公约数。 证明： 可得 可得 。因为 即 互质， 可以约去， 可得 。 【定义 1：同余类】 设 是一个给定的正整数，则可以将整数集划分为 个集合，记作 ，，， ，这里 我们称 ，，， 为模 的同余类 . 【定义 2：完全剩余系】如果整数 ，，， 中没有两个数同属于模 的一个同余类，那么称 ，，， 为模 的一个完全剩余系，简称为模 的一个完系. 注： 这里 ，，， 可视为 ，，， 中各取一个（作为代表）形成的一个 元数组，显然最多只能各取一数才能保证任两数不同属于模 的一个同余类，又由于每一个同余类中都有一个代表，因此称之为完全剩余（代表）系 . 引理2： 设 是一个整数且 ， 是一个整数且 。如果 ，，， 是模 的一个完全剩余系，则 ，，， 也构成模 的一个完全剩余系。 证明： 若存在 个整数 和 同余即 ，根据 引理1 则有 。根据完全剩余系的定义可知这是不可能的，因此不存在 个整数 和 同余。所以 ，，， 构成模 的一个完全剩余系。 【费马小定理】假如 是一个整数， 是一个质数，那么 是 的倍数，也可以表示为 。如果 不是 的倍数 ， 可以改写为 证明： 构造素数 的完全剩余系 因为 ，由 引理2 可得 也是 的一个完全剩余系。由完全剩余系的性质， 即 易知 ，同余式两边可约去 ，得到 五、欧拉定理 【欧拉定理】如果 ，则 证明： 取 ，， 为模 的一个最小正简化剩余系，则当 是满足 的整数时，，， 也为模 的一个简化剩余系，即 模 的最小正剩余是 ，， 的一个排列. 故乘积 模 的最小正剩余和乘积 模 的最小正剩余相等. 即 因此 又从 ，， 可推出 . 得到 六、模考中的欧拉函数压轴 【湖南长沙雅礼中学25届高三月考（四）T14】欧拉函数 表示不大于正整数 且与 互素（互素：公约数只有 ）的正整数的个数. 已知 ，其中 ，，， 是 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）. 例如 . 若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ____ . 解析： 【浙南名校联盟25届高三一联T19】密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学. 研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学. 20 世纪 70 年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离. 加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的. 这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨. 某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数 ，将小于等于 且与 互质的正整数从小到大排列，即为密码. 记符合上述条件的正整数的个数为 . （1） 求数列 的前 项和； （2） 求 （ ） 的表达式和 的值； （3） 记 ，数列 的前 项和 ，证明 . 解析： （1） （2） （3） 注1： 小于等于 且与 互质的正整数的个数其实就是欧拉函数 的值。 【24 届开封二模T19】在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在 加密算法中的应用．设 ， 是两个正整数，若 ， 的最大公约数是 ，则称 ， 互素 ．对于任意正整数 ，欧拉函数是不超过 且与 互素的正整数的个数，记为 ． （1） 试求 ，，， 的值； （2） 设 是一个正整数， ， 是两个不同的素数 ．试求 ， 与 和 的关系； （3） 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ① 准备两个不同的、足够大的素数 ， ； ② 计算 ，欧拉函数 ； ③ 求正整数 ，使得 除以 的余数是 ； ④ 其中 称为公钥， 称为私钥． 已知计算机工程师在某 加密算法中公布的公钥是 ．若满足题意的正整数 从小到大排列得到一列数记为数列 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 解析： （1） （2） （3） 【24 届浙江天域名校协作体高三二模T19】欧拉函数 （ ） 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素的正整数的个数，例如： ， ， ，数列 满足 （ ） （1） 求 ， ，并求数列 的通项公式； （2） 记 ，求数列 的前 和 . 答案： （1） （2） 解析：（1） （2） 【24 届湖北高中毕业生四月模拟T19】 欧拉函数在密码学中有重要的应用. 设 为正整数，集合 ，欧拉函数 的值等于集合 中与 互质的正整数的个数；记 表示 除以 的余数（ 和 均为正整数） （1） 求 和 ； （2） 现有三个素数 ，，（ ）， ，存在正整数 满足 ；已知对素数 和 ，均有 ，证明：若 ，则 （3） 设 为两个未知素数的乘积，， 为另两个更大的已知素数，且 ；又 ， ， ，试用 ， 和 求出 的值. 答案： （1） （2）（3） 解析：（1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$