模考中的欧拉函数题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第 1 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 更多模考中的欧拉函数题 一、单选题 1．（2024·山东·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 二、多选题 2．（2024·湖北·模拟预测）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（ ） A．若n为质数，则 B．数列单调递增 C．数列的最大值为1 D．数列为等比数列 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 3．（2024·全国·模拟预测）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（    ） A．的定义域为，其值域也是 B．在其定义域上单调递增，无极值点 C．不存在，使得方程有无数解 D．，当且仅当是素数时等号成立【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 三、填空题 4．（2024高三下·全国·专题练习）若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的序号是 ． ①；②； ③； ④，是正整数． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 5．（2024·贵州黔南·二模）欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知，其中，，…，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则 .【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 【点睛】 6．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和 . 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 7．（2024·湖北武汉·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 四、解答题 8．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．(1)试求，，，的值； (2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系； (3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的素数p，q； ②计算，欧拉函数； ③求正整数k，使得kq除以的余数是1； ④其中称为公钥，称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 9．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足. (1)求，，，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前和. 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 10．（2024·湖北·模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），(1)求和； (2)现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则； (3)设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 更多模考中的欧拉函数题 一、单选题 1．（2024·山东·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】由欧拉函数的定义可求出，由错位相减法求出，可得，即，即可求出的最小值.【详解】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为， ， 所以，则， 所以， ， ， 两式相减可得： ， 所以， 因为，所以在在单调递增， 所以恒成立，所以， 所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题 2．（2024·湖北·模拟预测）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（ ） A．若n为质数，则 B．数列单调递增 C．数列的最大值为1 D．数列为等比数列 【答案】ACD 【知识点】判断数列的增减性、由定义判定等比数列、函数新定义 【分析】利用新定义，结合数列的单调性和等比数列的定义逐个判断即可. 【详解】因为为质数，故小于或等于的正整数中与互质的数的数目为 ，此时，故A正确.因为，所以，故数列不是单调递增，故B错误. 小于等于的正整数中与互质的数为，数目为， 所以在时递减，故当时，数列的最大值为1，故C正确. 小于等于的正整数中与互质的数的数为，数目为， 故，而，故数列为等比数列，故D正确. 故选： ACD. 【点睛】关键点点睛：从质数定义入手，结合题目信息，逐步解答. 3．（2024·全国·模拟预测）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（    ） A．的定义域为，其值域也是 B．在其定义域上单调递增，无极值点 C．不存在，使得方程有无数解 D．，当且仅当是素数时等号成立【答案】ACD 【知识点】函数新定义、素数和合数 【分析】根据欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系进行判断选项. 【详解】对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为，其值域也是，所以A正确； 对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如，所以B错误; 对于C，由于的值域为，所以不存在，使方程有无数解,故C正确; 对于D，因为的素因数都是大于1，，所以，当且仅当时素数时等号成立，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系. 三、填空题 4．（2024高三下·全国·专题练习）若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的序号是 ． ①；②； ③； ④，是正整数． 【答案】①③ 【知识点】求函数值、函数新定义 【分析】利用欧拉函数定义求解判断； 【详解】∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， 小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， ∴，故①正确； ∵当时，，故②不正确； ∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，， ，，，，，，，，，，，，共有个， ∴，故③正确； ∵当时，，故④不正确． 故答案为：①③ 5．（2024·贵州黔南·二模）欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知，其中，，…，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则 .【答案】 【知识点】函数新定义、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数计算即可得解. 【详解】由题意可得，则， 当时，， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分及进行讨论，结合题中公式求的通项公式. 6．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和 . 【答案】 【知识点】函数新定义、错位相减法求和 【分析】根据题意得到，从而有，再利用错位相减法，即可求出结果. 【详解】由欧拉函数的定义知：若为素数，则， 若为素数，，则， 所以，得到， 所以①，②， ①②得到， 即，整理得到. 故答案为：. 7．（2024·湖北武汉·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 4 【知识点】判断数列的增减性、函数新定义、确定数列中的最大（小）项 【分析】由欧拉函数定义，确定中与8互质的数的个数求，且，应用作差法判断的单调性，即可求最大值. 【详解】由题设，则中与8互质的数有，共4个数，故， 在中，与互质的数为范围内的所有奇数，共个，即， 所以，则， 当时，当时，即， 所以的最大值为. 故答案为：4， 四、解答题 8．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．(1)试求，，，的值； (2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系； (3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的素数p，q； ②计算，欧拉函数； ③求正整数k，使得kq除以的余数是1； ④其中称为公钥，称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)，； (3). 【知识点】裂项相消法求和、数列新定义、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求值. （2）利用欧拉函数的定义求出，进而分析计算. （3）根据给定信息求出，再利用差角的正切公式，借助裂项求和法求解即得. 【详解】（1）由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1，2，则， 不越过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则， 不越过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则， 不越过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则， 所以. （2）在不大于的正整数中，只有3的倍数不与互素，而3的倍数有个， 因此. 由，是两个不同的素数，得， 在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个， 于是， 所以. （3）计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是，则，从而 由（2）得，， 即正整数满足的条件为：， ，令，则， 令，则， 取，则，于是， 因此，即， ， . 【点睛】关键点睛：数列求和，利用差角的正切变式进行裂项是求解的关键. 9．（关注微信公众号：Hi数学派）（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足. (1)求，，，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前和. 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）根据题意理解可求，，，结合与互素的个数可求数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意可知，，， 由题意可知，正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个， 所以； （2）由（1）知，所以， 所以 ， ， 所以，① ，② 所以①－②得 ， 所以. 10．（2024·湖北·模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），(1)求和； (2)现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则； (3)设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【知识点】由递推关系式求通项公式、函数新定义、整除和余数问题 【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求出和. （2）分析求出x与n不互质的数的个数，求得，设，，结合二项式展开式证明，再按与分类求证即得. （3）利用的定义，记，，令，那么，且，，使，则，再探求数列项数及递推关系即可求得答案. 【详解】（1）中，与6互质的数有1和5，则； 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则8. （2）因为，p和q为素数，则对，仅当或时，x和n不互质， 又，则，，…，或，，…时，x与n不互质， 则， 设，，可知s，t不全为0，下证时，； 由题知，， 又， 所以，同理有； 于是记，， 即，同理，记，于是， 则，因为，所以，所以， 即； （i）时，记，则， 记，又，而，则， 即，即； （ii）若，不妨设，于是， 所以，又，， 所以； 综上，，得证： （3）因为，所以，则，则， 假设存在，，使得；记，， 令，那么，且，于是，使，则， 从而数列有且仅有项，考虑使成立， 则对于相邻项有， 将两式相加并整理得：， 令，得，又由于，，…，及均由和确定， 则数列的各项也可根据n和确定， 由上知，， 则， 即，其中是根据n和唯一确定的. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$