（温故知新篇）专题02 认识三角形和四边形（导图+知识梳理+12个高频考点+真题强化 共56题）-2025-2026学年北师大版数学四升五年级暑假衔接金牌培优讲义（原卷版+解析版）

四年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题02 认识三角形和四边形 专题02 认识三角形和四边形 北师大版 暑假衔接 导图+知识梳理+考点讲练+真题强化 （共56题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 知识梳理 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 梳理脉络 易错点拨 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，易错点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 知识点01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 易错指引 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 高频考点讲练01：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·广东揭阳·期中）如图，一架“人”字形梯子，常常在梯子中间系一根绳子，这是因为( )。 【演练1】（24-25四年级下·福建泉州·期中）工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD（如图），使其不变形，这种做法运用的数学知识是( )。 【演练2】（23-24四年级下·全国·随堂练习）用3根小棒围三角形，用4根小棒围四边形，看看各能围出几个。（小棒的长度都一样。） 你发现了什么？ 高频考点讲练02：三角形分类 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）在下面三角形中画一条线段。 （1）分成两个直角三角形。 （2）分成一个直角三角形和一个钝角三角形。 【演练1】（24-25四年级下·山西运城·期中）一个三角形最大的内角是88°，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【演练2】（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）剪一剪。 （1）沿图中虚线剪成的两个三角形是什么三角形？ （2）怎样剪出一个等腰三角形？ （3）沿图中虚线剪成的两个三角形是什么三角形？ 高频考点讲练03：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·福建泉州·期中）一个等边三角形，同时又是（    ）。 ①锐角三角形  ②直角三角形  ③钝角三角形  ④等腰三角形 A．① B．①④ C．② D．③④ 【演练1】（24-25四年级下·四川成都·期中）如图，一张正方形的纸，将A和B点重合折叠，相交于O，则∠COD＝( )度。 【演练2】（23-24四年级下·陕西西安·期末）王师傅把一根100厘米长的木条锯成三段，正好围成了一个等腰三角形，等腰三角形的底比腰短5厘米。这个等腰三角形的底是多少厘米？（先画出线段图表示条件和问题，再解答） 高频考点讲练04：画三角形 【典例精讲】．（24-25四年级下·河南商丘·期中）下图是一个锐角三角形的一部分。 （1）将下图中的三角形补充完整。 （2）将补全的三角形用一条线分为两个直角三角形。 【演练1】（23-24六年级下·浙江金华·期末）第一组小棒：4cm、4cm、4cm；第二组小棒：3cm、4cm、5cm；第三组小棒：5cm、6cm、7cm；第四组小棒：4cm、4cm、5cm。用上述四组小棒分别围一个三角形，可以围成一个直角三角形的是第( )组小棒。（用上圆规画一画、试一试）。 【演练2】（23-24四年级下·四川成都·期末）画出谜语中提到的两个图形。 我有一个大家族，兄弟姐妹无数个。个个都有稳定性，生活当中应用多。 虽说我们是家人，各有不同的特色，大哥有一个直角，小妹两腰一样多。 高频考点讲练05：三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·福建泉州·期中）灯塔A的位置如图所示，一艘轮船在码头B与码头C之间往返，这个过程中轮船所在点与图中A、B两点连接后围成的三角形可能是（    ）。 ①锐角三角形    ②钝角三角形    ③等腰直角三角形    ④等边三角形 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【演练1】（24-25四年级下·北京海淀·期末）淘气用一张长方形纸剪图形（如下图）。请你填出每次剪出的图形形状，并写出长方形和剪出图形的内角和的度数。 长方形             ( )形             ( )形 内角和( )°       内角和( )°      内角和( )° 【演练2】（24-25四年级下·陕西榆林·期中）（1）一个三角形中最大的角是直角，这个三角形按角分是( )三角形，若另一个角是45°，第三个角的度数是( )°。 （2）一个三角形的三条边长相等，这个三角形按边分是一个( )三角形。 高频考点讲练06：多边形的内角和 【典例精讲】23-24四年级下·浙江丽水·期末）在一张长方形纸上剪下一个角，剩下图形的内角和可能会发生变化。请根据以下提示画出剪切线，并将剩下图形用阴影表示出来。 【演练1】（24-25四年级下·广东茂名·期中）淘气把一张正方形纸沿着两条对角线剪了4个一样大的三角形（如下图）。下面说法正确的是（    ）。 A．4个三角形的内角和比长方形的内角和多了360°。 B．4个三角形的内角和比长方形的内角和少了360°。 C．每一个三角形的内角和是90°。 D．4个三角形的内角和与长方形的内角和一样大。 【演练2】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角哦。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少呢？我们一起来研究一下！ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°，又因为三角形的内角和是180°，所以三角形的外角和＝540°－180°＝360°。 【解答应用】探索四边形的外角和 由三角形内角和的推理方法可进一步得到：四边形的内角和＋外角和＝( )°，因为四边形的内角和＝( )°，所以四边形的外角和＝( )°。 高频考点讲练07：三角形三边关系 【典例精讲】（24-25四年级下·河北邯郸·期中）一个三角形的两条边的长分别是6cm和13cm，第三条边的长度可能是（    ）cm。 A．19 B．7 C．18 【演练1】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）王老师和李老师一样，都是骑行爱好者，上周末她们沿着一个三角形湖泊环湖骑行。李老师从A地出发，先向B地骑行，再向C地骑行；李老师出发半小时后王老师也从A地出发，先向C地骑行，再向B地骑行。 (1)请你选一选：A、C两地之间的距离可能是（    ）千米。 A．18 B．21 C．35 D．53 (2)如果李老师每小时骑行16千米，王老师每小时骑行24千米，王老师出发后几小时遇到李老师？ 【演练2】（23-24四年级下·浙江金华·期末）一根铁丝对折一次之后的长度是9.5厘米，现要把它围成一个等腰三角形，若接头处忽略不计，且每条边的长度都是整厘米数，则等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米？请说明理由。 高频考点讲练08：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·北京海淀·期末）同学们玩图形叠放游戏。将一张透明的长方形卡片的中心点与另一个图形的中心点固定在一起，长方形卡片两端超出另一个图形的边缘。转动长方形卡片，发现重叠的阴影部分可以形成一个新的四边形，如图1、图2所示。 （1）淘气将长方形卡片叠放在平行四边形上。当长方形卡片在图1所示位置时，重叠部分是（    ）形，转动到图2所示位置时，重叠部分是（    ）形。 （2） 根据笑笑的发现，在下面的点子图中画出长方形卡片的位置。 （3）“按照同样的规则，长方形卡片与什么图形重叠可以形成平行四边形？与什么图形重叠可以形成梯形呢？”为了进一步研究这个问题，同学们又尝试了以下图形。 以上图形中，与长方形卡片重叠可以形成平行四边形的是（    ），与长方形卡片重叠可以形成梯形的是（    ）。（填写序号，如果有需要，可以在图中画一画。） （4）结合以上探究过程，写出一个你的发现和一个想要继续研究的数学问题。 我的发现：____________________________________？ 我的问题：__________________________________。 【演练1】（24-25四年级下·山西运城·期中）有以下5根小棒： （1）用四根小棒摆成一个平行四边形，可以选（    ）（填序号）号小棒。剩下的小棒（    ）（填“可以”或“不可以”）把这个平行四边形分成两个三角形。 （2）任选三根小棒摆成一个等腰三角形，可以选（    ）（填序号）号小棒。算一算摆成的等腰三角形的周长是多少厘米？ （3）关于三角形的描述，淘气、笑笑、奇思三个人有不同的观点，谁的说法错误，为什么？ 【演练2】（24-25四年级下·湖北宜昌·期中）在点子图上画出一个平行四边形和一个直角梯形。 高频考点讲练09：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江金华·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 A．利用三角形的稳定性可以使相机三角架安全稳固 B．利用平行四边形的不稳定性可以使升降架伸缩自如 C．利用对边平行的特征可以推理出梯形是特殊的平行四边形 D．利用三角形的内角和可以推理出一个三角形中最多只有一个钝角 【演练1】（24-25四年级下·山西吕梁·期中）看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么发现？ （1）活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 （2）活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 （3）对比上面两个活动，你有什么发现？ 【演练2】（24-25四年级下·广东揭阳·期中）下面三种事例中，不是应用平行四边形易变形这一特点的是（    ）。 A． B． C． 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 【典例精讲】24-25四年级下·天津河西·期末）从下面的方格中选两个图形，使它们既能拼成平行四边形，又能拼成梯形。正确的答案是( )号和( )号。 【演练1】（24-25四年级下·四川成都·期中）在下图中各画一条线段，按要求把一个图形分成两个图形。                  分成一个锐角三角形和一个梯形    分成一个平行四边形和一个三角形 【演练2】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）数一数，下图中有（    ）个梯形。 A．2 B．3 C．4 D．5 高频考点讲练11：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）按要求在下面各图中画一条线段。 【演练1】（24-25四年级下·广东深圳·期中）按要求分别在下面的图中各画一条线段。 【演练2】19-20四年级下·辽宁·期中）如图所示，四边形ABDE是等腰梯形，四边形ABCE是平行四边形，三角形ECD是等腰三角形。已知CD＝2.5厘米，平行四边形ABCE的周长是17厘米，那么等腰梯形ABDE的周长是( )厘米。 高频考点讲练12：四边形的分类及关系 【典例精讲】（23-24四年级下·福建泉州·期末）下面各图中，能正确表示图形分类的是（    ）。 A． B． C． D． 【演练1】（23-24四年级下·广东深圳·期中）我们学习的数学知识有着密切的联系。用序号填一填，表示出图形之间的关系。 【演练2】（23-24四年级下·辽宁·课后作业）把下列图形分类后，填在相应的括号内。 平面图形有（    ）；四边形有（    ）；梯形有（    ）；平行四边形有（    ）；长方形有（    ）；正方形有（    ）。 请把以上提到的六种图形名称，填到下面的圆圈内。 1．（24-25四年级下·河北邯郸·期中）一个等腰三角形，如果其中两条边的长度分别是3厘米和8厘米，那么另一条边的长度是（    ）厘米。 A．3 B．7 C．8 2．（24-25四年级下·北京海淀·期末）下面四组小棒，能摆成等腰三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25四年级下·福建泉州·期中）将一根长的吸管（如图）剪成三段围成三角形，如果第一次在处剪了一刀，那么第二次在（    ）处剪才能围成三角形。 A．H B．E C．F D．G 4．（18-19四年级下·辽宁·期中）一个三角形中，有一个角是80°，这个三角形是（   ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角、钝角或直角三角形 5．（24-25四年级下·安徽宿州·期中）在一个三角形中，一条边长8厘米，一条边长3厘米，另一条边的范围在( )厘米到( )厘米之间。 6．（24-25四年级下·福建泉州·期中）下图是三角形纸撕去一个角后留下的部分，你知道它们原来是什么三角形吗？（按角分） ( )三角形     ( )三角形       ( )三角形 7．（24-25四年级下·甘肃定西·期中）一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是( )；如果它的顶角是，那么它的一个底角是( )。 8．（22-23四年级下·河南郑州·期末）如下图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)图中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是4cm，那么三角形的周长是( )cm。 9．（24-25四年级下·陕西榆林·期中）被遮住的三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 10．（23-24四年级下·辽宁沈阳·阶段练习）一个三角形三个内角不相等，最小的角为45°，这个三角形是锐角三角形。( )（判断对错） 11．（24-25四年级下·河南商丘·期中）有钝角的三角形是钝角三角形，那么有锐角的三角形就是锐角三角形。( )（判断对错） 12．（24-25四年级下·广东揭阳·期中）如图，三角形是直角三角形，三角形是等腰三角形。已知，，求和的度数。 13．（24-25四年级下·广东惠州·期中）求出下图∠1的度数。 14．（24-25四年级下·陕西西安·期中）三根同样长的木棒首尾相连拼成一个三角形，这个三角形的周长是126厘米。 （1）每根木棒长多少厘米？ （2）围成的三角形各角的度数分别是多少？ 15．（24-25四年级下·广东河源·期中）神舟十二号飞船于2021年6月17日发射升空，三名航天员先后进入天和核心舱，标志着中国人首次进入自己的空间站。神舟十二号飞船里面一个等腰三角形支架，它的底边长16厘米，腰长10厘米。这个支架的周长是多少厘米？ 16．（23-24四年级下·安徽六安·期末）某县很多学校开展了“红领巾奖章”争章活动，少先队员们都积极踊跃参加。每次开展活动同学们都学到了很多的知识，活动结束后老师和同学们都会佩戴红领巾合影纪念。老师和同学们佩戴的红领巾都是等腰三角形而且分为大号和小号，大号红领巾底边长120厘米，腰长72厘米；小号红领巾底边长100厘米，腰长60厘米。红领巾的底角都是30°。 （1）大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长多少厘米？ （2）红领巾中另外两个角分别是多少度？ 17．（24-25四年级下·广东深圳·期中）乐乐想制作一个三角形框架，他找到两根木条，想把其中一根锯成两段。 A 木条7厘米         B 木条15厘米 （1）你认为乐乐应该锯断哪根木条？写出你的理由。 （2）锯成的两段木条应该分别长多少厘米（取整厘米数），才能和另一根木条围成一个三角形？（至少写出两个方案） 18．（24-25四年级下·福建泉州·期中）将下图画完整，使①②图成为一个梯形，③④图成为一个平行四边形。 19．（23-24四年级下·陕西铜川·期末）按要求在下面各图中画一条直线。 分成一个钝角三角形和一个锐角三角形       分成一个平行四边形和一个梯形 20．（24-25四年级下·辽宁锦州·期中）在下面各图中画一条线段。 把图①分成两个直角三角形。 把图②分成一个三角形和一个平行四边形。 把图③分成一个2个平行四边形。 $$四年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题02 认识三角形和四边形 专题02 认识三角形和四边形 北师大版 暑假衔接 导图+知识梳理+考点讲练+真题强化 （共56题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 知识梳理 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 梳理脉络 易错点拨 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，解题技巧点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 知识点01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 易错指引 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 高频考点讲练01：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·广东揭阳·期中）如图，一架“人”字形梯子，常常在梯子中间系一根绳子，这是因为( )。 【答案】三角形具有稳定性 【思路引导】在梯子中间结一条绳子构成了三角形，因为三角形具有稳定性，可以使梯子更加的稳定。 【规范解答】由分析可知：一架“人”字形梯子，常常在梯子中间系一根绳子，这是因为三角形具有稳定性。 【演练1】（24-25四年级下·福建泉州·期中）工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD（如图），使其不变形，这种做法运用的数学知识是( )。 【答案】三角形具有稳定性 【思路引导】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，生活中很多物品的设计都利用这一特性设计的，据此作答。 【规范解答】根据上述分析可知，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD（如图），使其不变形，这种做法运用的数学知识是三角形具有稳定性。 【演练2】（23-24四年级下·全国·随堂练习）用3根小棒围三角形，用4根小棒围四边形，看看各能围出几个。（小棒的长度都一样。） 你发现了什么？ 【答案】一个三角形；无数个四边形；发现：三角形具有稳定性，四边形容易变形 【思路引导】用3根小棒围三角形，只能摆出一种三角形；用4根小棒围四边形，能摆出正方形、平行四边形等，无数种四边形。 进而发现：三角形3条边的长度确定，三角形的形状和大小也就确定，说明三角形具有唯一性，也就是稳定性。 四边形虽然四条边长度确定，但形状和大小并不确定，因此四边形不具有唯一性，容易变形。 【规范解答】通过摆一摆，会发现用三根同样长度的小棒摆三角形时，只能摆出一种三角形，用四根同样长度的小棒摆四边形时，可以摆出无数种四边形。这说明三角形具有稳定性，而四边形容易变形。 高频考点讲练02：三角形分类 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）在下面三角形中画一条线段。 （1）分成两个直角三角形。 （2）分成一个直角三角形和一个钝角三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形，过顶点作底边的垂线，即可将这个三角形分成两个直角三角形。 （2）顶点是一个钝角，可以在钝角的这个角里画一个直角并和底边连接，此时即可将这个三角形分成一个直角三角形和一个钝角三角形。 【规范解答】 （1）如图： （2）如图：或 【演练1】（24-25四年级下·山西运城·期中）一个三角形最大的内角是88°，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；据此选择。 【规范解答】88°的角是锐角，一个三角形最大的内角是88°，那么它的三个角都只能是锐角，这个三角形是锐角三角形。 故答案为：A 【演练2】（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）剪一剪。 （1）沿图中虚线剪成的两个三角形是什么三角形？ （2）怎样剪出一个等腰三角形？ （3）沿图中虚线剪成的两个三角形是什么三角形？ 【答案】（1）直角三角形 （2）见详解 （3）等腰直角三角形 【思路引导】（1）三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 长方形四个角都是直角，据此判断剪成的两个三角形是什么三角形。 （2）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形。 （3）既是直角三角形又是等腰三角形的三角形叫做等腰直角三角形；既是锐角三角形又是等腰三角形的三角形叫做等腰锐角三角形；既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形叫做等腰钝角三角形。 正方形四条边都相等，四个角都是直角，据此判断剪成的两个三角形是什么三角形。 【规范解答】（1）沿图中虚线剪成的两个三角形有一个角是直角，是直角三角形。 （2）将长方形纸对折，对折后的纸仍然是一个长方形，连接长方形两个顶点，沿连接长方形两个顶点的线段剪纸，展开后的图形就是一个等腰三角形，折痕就是这个等腰三角形的对称轴。 （3）沿图中虚线剪成的两个三角形有两条边相等，是等腰三角形；有一个角是直角，是直角三角形。沿图中虚线剪成的两个三角形是等腰直角三角形。 高频考点讲练03：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·福建泉州·期中）一个等边三角形，同时又是（    ）。 ①锐角三角形  ②直角三角形  ③钝角三角形  ④等腰三角形 A．① B．①④ C．② D．③④ 【答案】B 【思路引导】等边三角形的三个角均为60°，属于锐角三角形；同时，等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。据此选择即可。 【规范解答】三个角均为60°，均为锐角，因此属于锐角三角形，①正确。 等边三角形三个角均为60°，无90°角，不是直角三角形，②错误。 等边三角形三个角均为60°，无大于90°的角，③错误。 三条边长度相等，满足等腰三角形“至少两条边相等”的定义，因此属于等腰三角形，④正确。 故答案为：B 【演练1】（24-25四年级下·四川成都·期中）如图，一张正方形的纸，将A和B点重合折叠，相交于O，则∠COD＝( )度。 【答案】60 【思路引导】根据题意，已知正方形的4个边相等，那么AD＝DC＝BC＝AB，将A和B点重合折叠，相交于O，可知AD＝DO，BC＝OC，可以推断CD＝OD＝OC，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角相等，都是60度。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： AD＝DC＝BC＝AB AD＝DO BC＝OC CD＝OD＝OC △OCD是等边三角形，三个角相等，都是60度。 如图，一张正方形的纸，将A和B点重合折叠，相交于O，则∠COD＝60度。 【演练2】（23-24四年级下·陕西西安·期末）王师傅把一根100厘米长的木条锯成三段，正好围成了一个等腰三角形，等腰三角形的底比腰短5厘米。这个等腰三角形的底是多少厘米？（先画出线段图表示条件和问题，再解答） 【答案】 图见详解；30厘米 【思路引导】根据题意，把一根100厘米长的木条锯成三段，围成一个等腰三角形，那么木条的全长等于这个三角形的周长；因为等腰三角形的两条腰相等，那么这个等腰三角形的周长＝腰×2＋底； 已知底比腰短5厘米，给底补上5厘米，则（100＋5）厘米相当于腰长的3倍，据此求出腰长，再用腰长减去5厘米，即可求出底的长度。 【规范解答】如图： （厘米） （厘米） 答：这个等腰三角形的底是30厘米。 高频考点讲练04：画三角形 【典例精讲】．（24-25四年级下·河南商丘·期中）下图是一个锐角三角形的一部分。 （1）将下图中的三角形补充完整。 （2）将补全的三角形用一条线分为两个直角三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，据此特征画图。 （2）有一个角是直角的三角形为直角三角形。从顶点向对边画出合适的线，使这条线与对边形成直角即可。 【规范解答】（1）（2）作图如下： 【演练1】（23-24六年级下·浙江金华·期末）第一组小棒：4cm、4cm、4cm；第二组小棒：3cm、4cm、5cm；第三组小棒：5cm、6cm、7cm；第四组小棒：4cm、4cm、5cm。用上述四组小棒分别围一个三角形，可以围成一个直角三角形的是第( )组小棒。（用上圆规画一画、试一试）。 【答案】二 【思路引导】用圆规量出小棒的长度，再用三角板上的直角比一比，即可判断。 【规范解答】 第一组小棒：4cm、4cm、4cm   这是一个等边三角形； 第二组小棒：3cm、4cm、5cm 这是一个直角三角形； 第三组小棒：5cm、6cm、7cm 这是一个锐角三角形； 第四组小棒：4cm、4cm、5cm 这是一个等腰三角形。 所以，用上述四组小棒分别围一个三角形，可以围成一个直角三角形的是第二组小棒。 【演练2】（23-24四年级下·四川成都·期末）画出谜语中提到的两个图形。 我有一个大家族，兄弟姐妹无数个。个个都有稳定性，生活当中应用多。 虽说我们是家人，各有不同的特色，大哥有一个直角，小妹两腰一样多。 【答案】见详解 【思路引导】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。直角三角形中有一个直角，等腰三角形的两条腰相等。则谜语中大哥是直角三角形，小妹是等腰三角形。据此画图。 【规范解答】 （答案不唯一） 高频考点讲练05：三角形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·福建泉州·期中）灯塔A的位置如图所示，一艘轮船在码头B与码头C之间往返，这个过程中轮船所在点与图中A、B两点连接后围成的三角形可能是（    ）。 ①锐角三角形    ②钝角三角形    ③等腰直角三角形    ④等边三角形 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。据此解答。 【规范解答】由题意得，当轮船比较接近点B时，形成的三角形是钝角三角形（如下图）。 当轮船所在的位置与A点的连线垂直于线段BC时，形成的三角形是直角三角形（如下图）。这个直角三角形有一个锐角是60°，那么另一个锐角是30°，所以这个三角形不可能是等腰直角三角形。 当轮船离点B较远且比较靠近点C时，形成的三角形是锐角三角形（如下图）。 当轮船到点B的距离等于B点到A点的距离时，形成的三角形是等腰三角形且这个三角形的顶角是60°。 （180°－60°）÷2＝120°÷2＝60°，即这个三角形的两个底角也等于60°，这个三角形是等边三角形。 综上所述，轮船所在点与图中A、B两点连接后围成的三角形可能是锐角三角形、钝角三角形或等边三角形，而不可能是等腰直角三角形。 故答案为：B 【演练1】（24-25四年级下·北京海淀·期末）淘气用一张长方形纸剪图形（如下图）。请你填出每次剪出的图形形状，并写出长方形和剪出图形的内角和的度数。 长方形             ( )形             ( )形 内角和( )°       内角和( )°      内角和( )° 【答案】 三角 三角 360 180 180 【思路引导】观察长方形，因为长方形的四个角都是直角，根据直角＝90°，所以长方形的内角和＝4×90°＝360°。第二个图形有三条边，由三条线段首尾相连围成，根据三角形的定义，它是三角形，即三角形的内角和是180°，第三个图形同样有三条边，由三条线段首尾相连围成，根据三角形的定义，所以它也是三角形，即三角形的内角和是180°。 【规范解答】淘气用一张长方形纸剪图形（如下图）。请你填出每次剪出的图形形状，并写出长方形和剪出图形的内角和的度数。 【演练2】（24-25四年级下·陕西榆林·期中）（1）一个三角形中最大的角是直角，这个三角形按角分是( )三角形，若另一个角是45°，第三个角的度数是( )°。 （2）一个三角形的三条边长相等，这个三角形按边分是一个( )三角形。 【答案】 直角 45 等边 【思路引导】（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。三角形的内角和是180°，用180°减去已知两个角的度数，就是第三个角的度数。 （2）三条边都相等的三角形是等边三角形。据此解答。 【规范解答】（1）一个三角形中最大的角是直角，剩下两个角都是锐角，这个三角形按角分是直角三角形。 180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° 若另一个角是45°，第三个角的度数是45°。 （2）根据等边三角形定义，一个三角形的三条边长相等，这个三角形按边分是一个等边三角形。 高频考点讲练06：多边形的内角和 【典例精讲】23-24四年级下·浙江丽水·期末）在一张长方形纸上剪下一个角，剩下图形的内角和可能会发生变化。请根据以下提示画出剪切线，并将剩下图形用阴影表示出来。 【答案】见详解 【思路引导】长方形的内角和是360°，三角形的内角和是180°，五边形的内角和是540°。要使内角和变小，剩下图形应该是三角形，连接长方形的对角线即可。要使内角和不变，剩下图形仍是四边形，连接长方形一个顶点以及这顶点对边的任意一点（顶点除外）即可。要使内角和变大，剩下的图形应该是五边形，连接相邻两条边上的一点（顶点除外）即可。 【规范解答】 （答案不唯一） 【演练1】（24-25四年级下·广东茂名·期中）淘气把一张正方形纸沿着两条对角线剪了4个一样大的三角形（如下图）。下面说法正确的是（    ）。 A．4个三角形的内角和比长方形的内角和多了360°。 B．4个三角形的内角和比长方形的内角和少了360°。 C．每一个三角形的内角和是90°。 D．4个三角形的内角和与长方形的内角和一样大。 【答案】A 【思路引导】三角形的内角和为180°。长方形的四个角都是直角，直接用90°乘4即可算出长方形的内角和。据此解答。 【规范解答】180°×4＝720°，即4个三角形的内角和为720°。90°×4＝360°，即长方形的内角和为360°。 A．720°－360°＝360°，即4个三角形的内角和比长方形的内角和多了360°。该选项说法正确。 B．720°－360°＝360°，即4个三角形的内角和比长方形的内角和多了360°。该选项说法错误。 C．每一个三角形的内角和是180°，而不是90°。该选项说法错误。 D．4个三角形的内角和比长方形的内角和大。该选项说法错误。 故答案为：A 【演练2】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角哦。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少呢？我们一起来研究一下！ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°，又因为三角形的内角和是180°，所以三角形的外角和＝540°－180°＝360°。 【解答应用】探索四边形的外角和 由三角形内角和的推理方法可进一步得到：四边形的内角和＋外角和＝( )°，因为四边形的内角和＝( )°，所以四边形的外角和＝( )°。 【答案】 720 360 360 【思路引导】由三角形的外角和计算过程可知，是几边形，外角和与内角和之和就等于几个180°；四边形的内角和为（4－2）×180°；所以四边形的外角和就是2个180°。 【规范解答】4×180°＝720° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 720°－360°＝360° 四边形的内角和＋外角和＝720°，因为四边形的内角和＝360°，所以四边形的外角和＝360°。 高频考点讲练07：三角形三边关系 【典例精讲】（24-25四年级下·河北邯郸·期中）一个三角形的两条边的长分别是6cm和13cm，第三条边的长度可能是（    ）cm。 A．19 B．7 C．18 【答案】C 【思路引导】根据题意，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和。已知两边为6cm和13cm，先确定第三边的取值范围，再选择正确的答案。 【规范解答】13＋6＝19（cm） 13－6＝7（cm） 第三边长度必须满足：7cm＜第三边＜19cm 一个三角形的两条边的长分别是6cm和13cm，第三条边的长度可能是18cm。 故答案为：C 【演练1】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）王老师和李老师一样，都是骑行爱好者，上周末她们沿着一个三角形湖泊环湖骑行。李老师从A地出发，先向B地骑行，再向C地骑行；李老师出发半小时后王老师也从A地出发，先向C地骑行，再向B地骑行。 (1)请你选一选：A、C两地之间的距离可能是（    ）千米。 A．18 B．21 C．35 D．53 (2)如果李老师每小时骑行16千米，王老师每小时骑行24千米，王老师出发后几小时遇到李老师？ 【答案】(1)C (2)2小时 【思路引导】（1）三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 （2）根据题意可知，若两人同时出发，两人相遇时，两人路程和等于这个三角形湖泊的周长。实际上李老师先出发半小时，行驶了16÷2＝8千米。则两人路程和等于这个三角形湖泊的周长再减去8千米。根据时间＝路程和÷速度和解答。 【规范解答】（1）16＋37＝53（千米） 37－16＝21（千米） A．18＜21 B．21＝21 C．53＞35＞21 D．53＝53 A、C两地之间的距离可能是35千米。 故答案为：C （2）16÷2＝8（千米） （16＋37＋35－8）÷（16＋24） ＝80÷40 ＝2（小时） 答：王老师除法后2小时遇到李老师。 【演练2】（23-24四年级下·浙江金华·期末）一根铁丝对折一次之后的长度是9.5厘米，现要把它围成一个等腰三角形，若接头处忽略不计，且每条边的长度都是整厘米数，则等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米？请说明理由。 【答案】9厘米；5厘米；见详解 【思路引导】根据题意，对折一次分成两份，所以用对折后的长度乘2就是原来铁丝的长度。也是等腰三角形的周长。对折一次之后的长度是9.5厘米，那么围成的三角形的最长边是9厘米。等腰三角形的两腰相等。从腰长是9厘米开始，用列表的方式排列出所有的等腰三角形的情况，据此可知等腰三角形的腰最长可达多少厘米？最短可至多少厘米。 【规范解答】9.5×2＝19（厘米） 三角形最长的边是9厘米。那么可以围成的等腰三角形如下所示： 腰 9厘米 8厘米 7厘米 6厘米 5厘米 腰 9厘米 8厘米 7厘米 6厘米 5厘米 底 1厘米 3厘米 5厘米 7厘米 9厘米 答：等腰三角形的腰最长可达9厘米，最短可至5厘米。 高频考点讲练08：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级下·北京海淀·期末）同学们玩图形叠放游戏。将一张透明的长方形卡片的中心点与另一个图形的中心点固定在一起，长方形卡片两端超出另一个图形的边缘。转动长方形卡片，发现重叠的阴影部分可以形成一个新的四边形，如图1、图2所示。 （1）淘气将长方形卡片叠放在平行四边形上。当长方形卡片在图1所示位置时，重叠部分是（    ）形，转动到图2所示位置时，重叠部分是（    ）形。 （2） 根据笑笑的发现，在下面的点子图中画出长方形卡片的位置。 （3）“按照同样的规则，长方形卡片与什么图形重叠可以形成平行四边形？与什么图形重叠可以形成梯形呢？”为了进一步研究这个问题，同学们又尝试了以下图形。 以上图形中，与长方形卡片重叠可以形成平行四边形的是（    ），与长方形卡片重叠可以形成梯形的是（    ）。（填写序号，如果有需要，可以在图中画一画。） （4）结合以上探究过程，写出一个你的发现和一个想要继续研究的数学问题。 我的发现：____________________________________？ 我的问题：__________________________________。 【答案】（1）平行四边；平行四边； （2）见详解； （3）②；①③ （4）当一个图形与长方形重叠时，若有两组对边能分别平行则可形成平行四边形，若只有一组对边平行则可形成梯形。 还有哪些图形与长方形重叠能形成特殊的四边形？（答案不唯一） 【思路引导】（1）观察图1位置，重叠部分的两组对边分别平行，根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以此时重叠部分是平行四边形。观察图2位置，重叠部分只有一组对边平行，根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，所以此时重叠部分是梯形。 （2）根据平行四边形和梯形的定义，先找出有两组对边平行的点，再与梯形卡片重合放置。再先找出有一组对边平行的点，再与梯形卡片重合放置。 （3）观察图形可知，图形②与长方形卡片重叠后，相对的边平行且相等，可以形成平行四边形。图形①和③与长方形卡片重叠后，有一组对边平行，另一组对边不平行，可以形成梯形。 （4）观察发现当一个图形与长方形重叠时，若有两组对边能分别平行则可形成平行四边形，若只有一组对边平行则可形成梯形。 【规范解答】同学们玩图形叠放游戏。将一张透明的长方形卡片的中心点与另一个图形的中心点固定在一起，长方形卡片两端超出另一个图形的边缘。转动长方形卡片，发现重叠的阴影部分可以形成一个新的四边形，如图1、图2所示。 （1）淘气将长方形卡片叠放在平行四边形上。当长方形卡片在图1所示位置时，重叠部分是（平行四边）形，转动到图2所示位置时，重叠部分是（平行四边）形。 （2） 根据笑笑的发现，在下面的点子图中画出长方形卡片的位置。 重叠部分是平行四边形          重叠部分是梯形 （3）“按照同样的规则，长方形卡片与什么图形重叠可以形成平行四边形？与什么图形重叠可以形成梯形呢？”为了进一步研究这个问题，同学们又尝试了以下图形。 以上图形中，与长方形卡片重叠可以形成平行四边形的是（②），与长方形卡片重叠可以形成梯形的是（①③）。（填写序号，如果有需要，可以在图中画一画。） （4）结合以上探究过程，写出一个你的发现和一个想要继续研究的数学问题。 我的发现：观察发现当一个图形与长方形重叠时，若有两组对边能分别平行则可形成平行四边形，若只有一组对边平行则可形成梯形。   我的问题：还有哪些图形与长方形重叠能形成特殊的四边形？（答案不唯一） 【演练1】（24-25四年级下·山西运城·期中）有以下5根小棒： （1）用四根小棒摆成一个平行四边形，可以选（    ）（填序号）号小棒。剩下的小棒（    ）（填“可以”或“不可以”）把这个平行四边形分成两个三角形。 （2）任选三根小棒摆成一个等腰三角形，可以选（    ）（填序号）号小棒。算一算摆成的等腰三角形的周长是多少厘米？ （3）关于三角形的描述，淘气、笑笑、奇思三个人有不同的观点，谁的说法错误，为什么？ 【答案】（1）①②④⑤；可以 （2）①②③；10厘米（答案不唯一） （3）奇思；理由见详解 【思路引导】（1）平行四边形对边平行且相等，用四根小棒摆成一个平行四边形，则需要选出2组分别相等的小棒即可；要想分成两个三角形，则三角形其中的两条边分别是平行四边形的两条邻边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断剩下的小棒可不可以把这个平行四边形分成两个三角形。 （2）等腰三角形两条腰相等，则选的三根小棒必须两根一样长，再根据三角形三边关系，找出另一条边需要的长度范围后，选出合适的小棒即可；将三角形三条边相加即可求出三角形的周长。 （3）有一个钝角的三角形是钝角三角形；有一个直角的三角形是直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此分析每个人的观点，选出说法错误的即可。 【规范解答】 （1）如图： 3＋6＝9（厘米），9＞4，6－3＝3（厘米），3＜4，能围成三角形。 用四根小棒摆成一个平行四边形，可以选①②④⑤号小棒。剩下的小棒可以把这个平行四边形分成两个三角形。 （2）当腰长是3厘米时：3＋3＝6（厘米），3－3＝0，0＜第三边的长度＜6，0＜4＜6，可以围成等腰三角形。 3＋3＋4 ＝6＋4 ＝10（厘米） 任选三根小棒摆成一个等腰三角形，可以选①②③号小棒。摆成的等腰三角形的周长是10厘米。（答案不唯一） （3）淘气：有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形，说法正确； 笑笑：有一个角是直角的三角形一定是直角三角形，说法正确； 奇思：直角三角形和钝角三角形都有一个角是锐角，因此有一个角是锐角的三角形不一定是锐角三角形，说法错误。 答：奇思的说法错误，因为所有的三角形都有一个锐角，但不是所有的三角形都是锐角三角形。 【演练2】（24-25四年级下·湖北宜昌·期中）在点子图上画出一个平行四边形和一个直角梯形。 【答案】见详解 【思路引导】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形。有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。据此解答。 【规范解答】 （答案不唯一） 高频考点讲练09：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江金华·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 A．利用三角形的稳定性可以使相机三角架安全稳固 B．利用平行四边形的不稳定性可以使升降架伸缩自如 C．利用对边平行的特征可以推理出梯形是特殊的平行四边形 D．利用三角形的内角和可以推理出一个三角形中最多只有一个钝角 【答案】C 【思路引导】三角形具有稳定性，例如三角形房架、相机三脚架都是利用了三角形的稳定性，起到加固作用。 平行四边形具有不稳定性，即易变形，生活中的电动伸缩门、升降架都是利用了平行四边形的不稳定性制作的。 梯形是只有一组对边平行的四边形，平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形。 三角形的内角和是180°，钝角是大于90°小于180°的角。可以利用反例方法说明一个三角形中最多只有一个钝角。 据此分析四个选项，看哪个正确即可。 【规范解答】A．相机三角架的每两个脚和地面构成一个三角形，利用三角形的稳定性可以使相机三角架安全稳固。原题正确。 B．利用平行四边形的不稳定性，容易变形。可以使升降架伸缩自如。原题正确。 C．梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边平行。它们仅仅都是四边形，梯形不是特殊的平行四边形。原题表述错误。 D．如果三角形里面钝角个数大于1个。而钝角度数大于90°小于180°，两个钝角的和肯定大于180°。与三角形的内角和是180°互相矛盾。所以利用三角形的内角和可以推理出一个三角形中最多只有一个钝角。是正确的。 故答案为：C 【演练1】（24-25四年级下·山西吕梁·期中）看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么发现？ （1）活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 （2）活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 （3）对比上面两个活动，你有什么发现？ 【答案】见详解 【思路引导】（1）（2）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此量出各个角的度数。观察发现，拼成的三角形只有一种，拼成的四边形有有很多种。 （3）通过对比，围绕内角和以及三角形的稳定性、四边形的不稳定性提出合理发现即可。 【规范解答】 （3）对比上面两个活动，我发现用3根同样长的小棒只能拼成一种三角形，而用4根同样长的小棒能拼成很多种四边形。进而可知三角形具有稳定性，而四边形有易变形性。三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。（答案不唯一） 【演练2】（24-25四年级下·广东揭阳·期中）下面三种事例中，不是应用平行四边形易变形这一特点的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】平行四边形具有不稳定性，容易变形。据此解答。 【规范解答】A．伸缩门工作时，内部的平行四边形会发生变形，利用了平行四边形易变形的特点。 B．升降机工作时，内部的平行四边形会发生变形，利用了平行四边形易变形的特点。 C．停车位虽然是平行四边形的形状，但它不会变形。它没有利用到平行四边形易变形的特点。 故答案为：C 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 【典例精讲】24-25四年级下·天津河西·期末）从下面的方格中选两个图形，使它们既能拼成平行四边形，又能拼成梯形。正确的答案是( )号和( )号。 【答案】 ③ ④ 【思路引导】根据题意，要选出方格纸中的两个图形既可以拼成平行四边形又可以拼成梯形，通过观察我们可以发现③号和④号符合题意，我们可以画出拼成的图形。 【规范解答】根据分析可得： 拼成平行四边形如下图：长方形是特殊的平行四边形 拼成梯形如下图： （答案不唯一） 【演练1】（24-25四年级下·四川成都·期中）在下图中各画一条线段，按要求把一个图形分成两个图形。                  分成一个锐角三角形和一个梯形    分成一个平行四边形和一个三角形 【答案】见详解 【思路引导】（1）从平行四边形的左上顶点连接平行四边形下边的中点即可得到一个锐角三角形和一个梯形； （2）过梯形的左上顶点，作梯形右边腰的平行线和梯形的下底相交一点，即可得到一个平行四边形和一个三角形。 【规范解答】如图：                （答案不唯一） 【演练2】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）数一数，下图中有（    ）个梯形。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】根据梯形的概念找出图中的梯形。只有一组对边平行的四边形是梯形。 【规范解答】 ，图中有梯形AEGD，梯形AFHD、梯形EFHG、梯形FBCH、梯形EBCG，共5个梯形。 故答案为：D 高频考点讲练11：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）按要求在下面各图中画一条线段。 【答案】见详解 【思路引导】图一：从平行四边形的对边作高（顶点除外），即可分成两个直角梯形； 图二：作梯形腰的平行线段（顶点除外），即可分成一个平行四边形和一个梯形； 图三：连接平行四边形钝角的对角线，即可分成两个锐角三角形；据此解答。 【规范解答】据分析作图如下： （前2图答案不唯一） 【演练1】（24-25四年级下·广东深圳·期中）按要求分别在下面的图中各画一条线段。 【答案】见详解 【思路引导】左图把等腰梯形分成两个等腰梯形，根据等腰梯形的特征：只有一组对边平行，而且两腰相等，所以在上底和下底之间画一条平行于上下底的线段即可。 右图是一个等腰三角形，两腰相等，只要从底所对的顶点向底边作一条垂直线段，这时线段垂直于底边形成直角，而且左右两个三角形是完全相同的直角三角形。 【规范解答】如图： 【演练2】19-20四年级下·辽宁·期中）如图所示，四边形ABDE是等腰梯形，四边形ABCE是平行四边形，三角形ECD是等腰三角形。已知CD＝2.5厘米，平行四边形ABCE的周长是17厘米，那么等腰梯形ABDE的周长是( )厘米。 【答案】19.5 【思路引导】根据题意，平行四边形ABCE的周长17cm＝AB×2＋BC×2，根据四边形ABDE是等腰梯形，则AB＝DE，所以平行四边形ABCE的周长＝DE×2＋BC×2，等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋AE＋BD，BD＝BC＋2.5，即等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋AE＋BC＋2.5，根据四边形ABCE是平行四边形AE＝BC，所以等腰梯形ABDE的周长DE×2＋BC×2＋2.5，由此解答。 【规范解答】由分析可知：平行四边形ABCE的周长＝DE×2＋BC×2＝17cm 等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋BC×2＋2.5 ＝17＋2.5 ＝19.5（cm） 【考点剖析】本题考查梯形周长的计算，正确地观察图形之间存在的相等关系是解决本题的关键。 高频考点讲练12：四边形的分类及关系 【典例精讲】（23-24四年级下·福建泉州·期末）下面各图中，能正确表示图形分类的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由不在同一直线的三条边首尾相连围成的图形叫做三角形；有2条边相等的三角形叫做等腰三角形；有3条边相等的三角形叫做等边三角形；等腰三角形和等边三角形都属于三角形；等边三角形属于特殊的等腰三角形；三角形根据角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 四边形包括平行四边形和梯形；在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的两组对边平行且相等，长方形的两组对边平行且相等，4个角都是直角，则长方形是特殊的平行四边形。正方形的两组对边平行，4条边相等，4个角都是直角，则正方形是特殊的长方形，据此解答。 【规范解答】 A．三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；等边三角形三个内角都是60°，等边三角形是锐角三角形；这个关系不正确。 B． 图中平行四边形包含了梯形，两者应该是相互独立的，这个关系不正确； C．图中等腰三角形和等边三角形是并列关系，没有包含关系，这个关系不正确；     D．长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形；这个关系正确。 故答案为：D 【演练1】（23-24四年级下·广东深圳·期中）我们学习的数学知识有着密切的联系。用序号填一填，表示出图形之间的关系。 【答案】见详解 【思路引导】只有一组对边平行的四边形是梯形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。长方形不仅两组对边分别平行且四个角都是直角，所以长方形是特殊的平行四边形。正方形不仅两组对边分别平行、四个角都是直角且四条边都相等，所以正方形是特殊的长方形。据此解答。 【规范解答】 【演练2】（23-24四年级下·辽宁·课后作业）把下列图形分类后，填在相应的括号内。 平面图形有（    ）；四边形有（    ）；梯形有（    ）；平行四边形有（    ）；长方形有（    ）；正方形有（    ）。 请把以上提到的六种图形名称，填到下面的圆圈内。 【答案】①②③④⑤⑥⑦⑧；①③④⑥⑦⑧；⑥⑧；①③④；①；④ 填图见详解 【思路引导】根据平行四边形、梯形、长方形和正方形的含义：两组对边都平行的四边形是平行四边形；一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；有一个角是直角的平行四边形是长方形，一组邻边相等的长方形是正方形；可知：正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形；梯形和平行四边形都是四边形；在平面内所画出的图形都属于平面图形。据此解答即可。 【规范解答】 平面图形有①②③④⑤⑥⑦⑧；四边形有①③④⑥⑦⑧；梯形有⑥⑧；平行四边形有①③④；长方形有①；正方形有④。 请把以上提到的六种图形名称，填到下面的圆圈内。 1．（24-25四年级下·河北邯郸·期中）一个等腰三角形，如果其中两条边的长度分别是3厘米和8厘米，那么另一条边的长度是（    ）厘米。 A．3 B．7 C．8 【答案】C 【思路引导】有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫作腰，第三条边叫底边；题干中没有明确说明哪条边是腰，因此需要分两种情况进行讨论，再根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，判断是否可以组成一个三角形。 【规范解答】根据分析可知： ①当3厘米为底边时，则两条腰的长度为8厘米，此时3＋8＝11（厘米），11＞8，符合三角形的三边关系； ②当8厘米为底边时，则两条腰的长度为3厘米，此时3＋3＝6（厘米），6＜8，不符合三角形三边关系； 所以另一条边的长度是8厘米。 故答案为：C 2．（24-25四年级下·北京海淀·期末）下面四组小棒，能摆成等腰三角形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】三角形任意两边之和大于第三条边，等腰三角形的两腰相等。据此判断四个选项哪个可以围成即可。 【规范解答】A．2＋2＝4，所以2cm、2cm、4cm不能围成三角形。 B．2＋3＞4，所以2cm、3cm、4cm能围成三角形。但是它没有相等的两条边，所以不能围成等腰三角形。 C．2＋2＜5，所以2cm、2cm、5cm不能围成三角形。 D．2＋6＞6，所以2cm、6cm、6cm能围成三角形。又因为6＝6，所以能围成等腰三角形。 故答案为：D 3．（24-25四年级下·福建泉州·期中）将一根长的吸管（如图）剪成三段围成三角形，如果第一次在处剪了一刀，那么第二次在（    ）处剪才能围成三角形。 A．H B．E C．F D．G 【答案】B 【思路引导】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第一次在M处剪了一刀，根据图片可以发现，这根13cm的吸管被分为13小段，1小段即为1cm，则第一刀将这根吸管分成3cm和10cm的两段。分别分析第二刀剪在各处时每一段的长度，并要求其符合三角形三边关系即可。 【规范解答】A．第二刀剪在H处时，分成3cm、2cm、8cm三段，3＋2＝5＜8，不满足两边之和大于第三边，该选项错误； B．第二刀剪在E处时，分成3cm、6cm、4cm三段，3＋6＝9＞4，3＋4＝7＞6，6＋4＝10＞3，6－3＝3＜4，6－4＝2＜3，4－3＝1＜6，均满足条件，该选项正确； C．第二刀剪在F处时，分成3cm、7cm、3cm三段，3＋3＝6＜7，不满足两边之和大于第三边，该选项错误； D．第二刀剪在G处时，分成1cm、2cm、10cm三段，1＋2＝3＜10，不满足两边之和大于第三边，该选项错误； 故答案为：B 4．（18-19四年级下·辽宁·期中）一个三角形中，有一个角是80°，这个三角形是（   ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角、钝角或直角三角形 【答案】D 【规范解答】略 5．（24-25四年级下·安徽宿州·期中）在一个三角形中，一条边长8厘米，一条边长3厘米，另一条边的范围在( )厘米到( )厘米之间。 【答案】 5 11 【思路引导】三角形三边关系是：第三条边小于两边之和，大于两边之差。先算出已知的两条边8厘米和3厘米的和以及它们的差，再判断第三条边的范围。 【规范解答】8＋3＝11（厘米） 8－3＝5（厘米） 第三条边要小于11厘米，大于5厘米。 所以，第三条边的范围在5厘米到11厘米之间。 6．（24-25四年级下·福建泉州·期中）下图是三角形纸撕去一个角后留下的部分，你知道它们原来是什么三角形吗？（按角分） ( )三角形     ( )三角形       ( )三角形 【答案】 钝角 直角 锐角 【思路引导】根据三角形的内角和为180°，分别计算出每个三角形中的第三个角的度数；然后根据三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此解此题。 【规范解答】第一个三角形： 180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 120°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形； 第二个三角形： 180°－36°－54° ＝144°－54° ＝90° 90°是直角，所以这个三角形是直角三角形； 第三个三角形： 180°－65°－60° ＝115°－60° ＝55° 65°、60°、55°都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 综上可知，题干中的三个三角形按角分从左往右依次是钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。 7．（24-25四年级下·甘肃定西·期中）一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是( )；如果它的顶角是，那么它的一个底角是( )。 【答案】 110 30 【思路引导】等腰三角形的两个底角度数相等，已知一个底角是35°，那么另一个底角也是35°，根据三角形内角和等于180°，用180°－35°×2，即可求出它的顶角是多少度；如果它的顶角是120°，用180°－120°，求出两个底角的度数和，再用两个底角的度数和除以2，即可求出它的一个底角是多少度。 【规范解答】180°－35°×2 ＝180°－70° ＝110° 180°－120°＝60° 60°÷2＝30° 一个等腰三角形的一个底角是，它的顶角是110°；如果它的顶角是，那么它的一个底角是30°。 8．（22-23四年级下·河南郑州·期末）如下图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)图中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是4cm，那么三角形的周长是( )cm。 【答案】(1) 30 60 (2)12 【思路引导】   （1）根据折纸过程和图上所示可知：斜折上去的那条边b就是正方形下面那条边c，因为点A在对折的折痕上，所以a和b也相等，也就是a、b、c三条边相等，所以三角形是等边三角形，三个角都是60°。而∠2等于2个∠1，所以，∠1度数是∠2度数的一半，即60°除以2得30°。 （2）如果正方形的边长是4厘米，那么等边三角形的边长也是4厘米，所以三角形的周长就是4乘3得12厘米。据此解答。 【规范解答】（1）∠1＝60°÷2＝30°，∠2＝60° 所以，图中∠1等于30°，∠2等于60°。 （2）4×3＝12（厘米） 所以，三角形的周长是12厘米。 【考点剖析】本题主要考查角的综合计算及周长的计算。要仔细观察图中各边和各角之间的关系， 抓住等边三角形的特点解答问题。 9．（24-25四年级下·陕西榆林·期中）被遮住的三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】三角形按角分类： 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 直角三角形：有一个角是直角的三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 观察图形可知，图中露出来的角是一个锐角，那么三角形的另外两个角可能都是锐角，也可能有一个是直角或钝角；据此解答。 【规范解答】如图： 图中遮住的三角形可能是一个锐角三角形、可能是一个直角三角形也可能是一个钝角三角形。原题说法错误。 故答案为：× 10．（23-24四年级下·辽宁沈阳·阶段练习）一个三角形三个内角不相等，最小的角为45°，这个三角形是锐角三角形。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】在一个三角形的三个内角中，最小的角是45°，则另外两个角应该大于或等于45°。但三个内角又不相等，说明另外两个角应该大于45°。要想判断这个三角形是什么三角形，需要求出这个三角形的最大内角是多少度。根据三角形的内角和是180°，已知最小的角是45°，要使其中一个内角最大，则另外两个内角应该最小，最小为45°和46°，据此求出最大的内角度数，进而判断出三角形是什么三角形。 【规范解答】180°－45°－46° ＝135°－46° ＝89°，即第三个角最大是89°。这个三角形是锐角三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 11．（24-25四年级下·河南商丘·期中）有钝角的三角形是钝角三角形，那么有锐角的三角形就是锐角三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】钝角三角形：必须有且仅有一个钝角（＞90°），其余两个为锐角。锐角三角形：必须三个角都是锐角（＜90°）。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 所有三角形都至少有两个锐角，钝角三角形和直角三角形也包含锐角，但它们并非锐角三角形。 只有当三角形三个角均为锐角时，才是锐角三角形。原题说法错误。 故答案为：× 12．（24-25四年级下·广东揭阳·期中）如图，三角形是直角三角形，三角形是等腰三角形。已知，，求和的度数。 【答案】； 【思路引导】根据题意，明确三角形的内角和是180°。三角形是直角三角形，三角形是等腰三角形。已知，那么三角形是等腰三角形的两个底角的度数就是用180°减去90°，再减去70°，等于20°；再用180°减去两个20°求出∠3的度数；又知，在三角形BCD中，；以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知：    ＝180°－40° ＝140° 13．（24-25四年级下·广东惠州·期中）求出下图∠1的度数。 【答案】47° 【思路引导】根据题图可知∠2与一个93°的角、一个54°的角是同一个三角形的内角，三角形的内角和是180°，用180°减90°再减54°即可求出∠2；∠2与∠1组成一个平角，平角的度数是180°，用180°减∠2即可求出∠1。 【规范解答】180°－93°－54° ＝87°－54° ＝33° 180°－33°＝147° 则∠1＝147°。 14．（24-25四年级下·陕西西安·期中）三根同样长的木棒首尾相连拼成一个三角形，这个三角形的周长是126厘米。 （1）每根木棒长多少厘米？ （2）围成的三角形各角的度数分别是多少？ 【答案】（1）42厘米； （2）60度 【思路引导】（1）三根同样长的木棒首尾相连拼成一个三角形，所以这是一个等边三角形，用三角形的周长除以3，即可求出每根木棒长多少厘米。 （2）三角形内角和等于180度，等边三角形三个内角的度数相等，三个角都是60度，据此解答即可。 【规范解答】（1）126÷3＝42（厘米） 答：每根木棒长42厘米。 （2）180÷3＝60（度） 答：围成的三角形各角的度数分别是60度。 15．（24-25四年级下·广东河源·期中）神舟十二号飞船于2021年6月17日发射升空，三名航天员先后进入天和核心舱，标志着中国人首次进入自己的空间站。神舟十二号飞船里面一个等腰三角形支架，它的底边长16厘米，腰长10厘米。这个支架的周长是多少厘米？ 【答案】36厘米 【思路引导】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边，据此把等腰三角形支架的2个腰长和底边的长度相加，即可求出这个支架的周长是多少厘米。 【规范解答】10×2＋16 ＝20＋16 ＝36（厘米） 答：这个支架的周长是36厘米。 16．（23-24四年级下·安徽六安·期末）某县很多学校开展了“红领巾奖章”争章活动，少先队员们都积极踊跃参加。每次开展活动同学们都学到了很多的知识，活动结束后老师和同学们都会佩戴红领巾合影纪念。老师和同学们佩戴的红领巾都是等腰三角形而且分为大号和小号，大号红领巾底边长120厘米，腰长72厘米；小号红领巾底边长100厘米，腰长60厘米。红领巾的底角都是30°。 （1）大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长多少厘米？ （2）红领巾中另外两个角分别是多少度？ 【答案】（1）44厘米； （2）另外两个角分别是30°和120° 【思路引导】（1）首先分别计算出大号红领巾和小号红领巾的周长，然后用大号红领巾的周长减去小号红领巾的周长，即可得到它们的周长差。等腰三角形的周长＝底边长＋腰长×2。 （2）等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。已知底角是30°，用180°减去两个底角的度数就可以得到顶角的度数。 【规范解答】（1）120＋72×2 ＝120＋144 ＝264（厘米） 100＋60×2 ＝100＋120 ＝220（厘米） 264－220＝44（厘米） 答：大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长44厘米。 （2）等腰三角形底角是30°，所以另一个底角也是30°。 顶角的度数为180°－30°×2＝180°－60°＝120° 答：红领巾中另外两个角分别是30°和120°。 17．（24-25四年级下·广东深圳·期中）乐乐想制作一个三角形框架，他找到两根木条，想把其中一根锯成两段。 A 木条7厘米         B 木条15厘米 （1）你认为乐乐应该锯断哪根木条？写出你的理由。 （2）锯成的两段木条应该分别长多少厘米（取整厘米数），才能和另一根木条围成一个三角形？（至少写出两个方案） 【答案】（1）应该锯断B木条，因为三角形的两边之和要大于第三条边。 （2）锯成的两段木条应该分别长6厘米和9厘米或7厘米和8厘米。 【思路引导】（1）因为三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，乐乐应该锯断B木条。理由是：如果锯断 7 厘米的木条，那么两段长度之和只有 7 厘米，7 厘米无法再与 15 厘米的另一根木条组成一个三角形（因为两段相加不可能大于 15）。 （2）把B木条锯成两段，可以是6厘米和9厘米，根据三角形的两边之和大于第三条边，6厘米、9厘米和7厘米围成三角形，也可以是7厘米和8厘米，由此解答即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）乐乐应该锯断B木条，B木条可以和A木条围成三角形。因为三角形的两边之和要大于第三条边。 （2）方案一：B木条锯成长是6厘米和9厘米的两段；6＋9＞7，9－7＜6；6厘米和9厘米和A木条组成三角形。 方案二：B木条锯成长是7厘米和8厘米的两段；7＋8＞7，8－7＜7；7厘米和8厘米和A木条组成三角形。 （答案不唯一） 18．（24-25四年级下·福建泉州·期中）将下图画完整，使①②图成为一个梯形，③④图成为一个平行四边形。 【答案】见详解 【思路引导】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形（答案不唯一）。 【规范解答】 （梯形答案不唯一） 19．（23-24四年级下·陕西铜川·期末）按要求在下面各图中画一条直线。 分成一个钝角三角形和一个锐角三角形       分成一个平行四边形和一个梯形 【答案】见详解 【思路引导】有一个钝角的三角形叫做钝角三角形，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。过三角形一个顶点以及对边的一点（顶点除外）画一条线段，只要这条线段不是三角形的高即可。 平行四边形的两组对边平行，梯形只有一组对边平行。过梯形上底一点（顶点除外）作腰的平行线即可。 【规范解答】 （答案不唯一） 20．（24-25四年级下·辽宁锦州·期中）在下面各图中画一条线段。 把图①分成两个直角三角形。 把图②分成一个三角形和一个平行四边形。 把图③分成一个2个平行四边形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）在长方形的任意一对对角之间画一条对角线，即可将长方形分成分成两个直角三角形； （2）过下底左边的端点，作梯形右边腰的平行线，平行线和上底交于一点，这条线段会将梯形分成一个三角形和一个平行四边形； （3）任选一组对边（如左边与右边）的中点，用线段连接这两个中点。这样即可把原平行四边形分成两个新的平行四边形。 【规范解答】如图： $$