（温故知新篇）专题04 认识方程（导图+知识梳理+11个高频考点+真题强化 共53题）-2025-2026学年北师大版数学四升五年级暑假衔接金牌培优讲义（原卷版+解析版）

四年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题04 认识方程 专题04 认识方程 北师大版 暑假衔接 导图+知识梳理+考点讲练+真题强化 （共53题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 知识梳理 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 梳理脉络 易错点拨 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，易错点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 知识点01：方程与等式的关系: 方程与等式的关系是：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。换句话说，方程是等式的一个子集，等式的范围更大，而方程的范围更小。 具体来说，一个等式如果含有未知数，那么它就是方程；如果不含有未知数，那么它就是一般的等式。例如，5 = 5 是一个等式，但它不是方程，因为它不含有未知数；而 x + 2 = 5 既是一个等式，又是一个方程，因为它不仅表示两边的值相等，还含有一个未知数 x。 当然，以下是小学数学中等式的性质、方程的意义以及方程求解过程的详细阐述： 知识点02：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a + c = b + c 或 a - c = b - c（c 为任意实数或式子）。 等式两边同时乘或除以同一个非零数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a × c = b × c 或 a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 等式的传递性：如果 a = b 且 b = c，那么 a = c。 知识点03：方程的意义: 方程是数学中用来表示两个量或表达式相等，并且至少含有一个未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。方程是数学中的一个重要工具，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。 知识点04：方程求解的过程 识别方程：首先，我们需要识别出一个给定的数学表达式是否为方程。方程必须包含等号，并且等号两边至少有一个未知数。 去括号：如果方程中含有括号，我们需要按照先小括号、再中括号、最后大括号的顺序去除括号。这通常涉及到分配律和结合律的应用。 移项：将含有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧。这可以通过等式的性质（加或减同一个数或式子）来实现。 合并同类项：将方程中的同类项合并成一个项。这可以使方程更加简洁，并有助于后续的求解。 系数化为1：将未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。这可以通过等式的性质（乘或除以同一个非零数或式子）来实现。 北师大版小学数学四年级下册中，列方程解应用题的相关知识点主要包括以下几个方面： 知识点05：列方程解应用题 审题：理解题意，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别是要弄清题目中涉及的一些概念术语，如增加、减少、倍数等。 确定未知数：用x表示所求的数量或有关的未知量。通常，我们需要根据题目中的条件，直接将要求的数量设为未知数。 等量关系：是列方程必不可少的条件。在应用题中，我们需要从题目中找出已知数与未知数之间的等量关系。 列出方程：根据找到的等量关系，我们可以列出一个含有未知数的等式，即方程。在列方程时，应尽量将未知数放在等式的左侧，以便于后续求解。 解方程：通过等式的性质，对方程进行变形和求解，从而找出未知数的值。在解方程时，需要注意将等号对齐，确保每一步都是等价的变换。 检验：求出未知数的值后，我们需要将其代入原方程进行检验，确保所求得的解满足原方程的条件。 易错指引 易错知识点01：小数点的位置 在小数乘法中，学生经常容易在结果中小数点的位置出错。特别是在涉及多个小数相乘时，需要正确确定小数点后有几位，这往往需要看所有因数中小数位数之和。例如，0.2（1位小数）乘以0.03（2位小数），结果应该有3位小数，即0.006。 易错知识点02：整数与小数的乘法混淆 有时学生会把整数与小数的乘法混淆，忘记在结果中添加小数点。例如，将3乘以0.2错误地计算为6，而不是0.6。 易错知识点03：与整数乘法的区别 学生可能会混淆小数乘法和整数乘法的规则。虽然基本步骤相似，但小数乘法需要特别注意小数点的位置，以及可能需要的补零操作。 易错知识点04：乘法运算顺序 在涉及连乘、乘加、乘减的混合运算中，学生可能会忘记先乘后加减的运算顺序，或者在有括号的情况下，先算括号里的数。 易错知识点05：乘法分配律的误用 乘法分配律在小数乘法中同样适用，但学生可能会在应用时出错。例如，将(a+b)×c错误地展开为a×c+b，而不是a×c+b×c。 易错知识点06：四舍五入求近似数 在求积的近似数时，学生可能会忘记使用四舍五入的方法，或者四舍五入时出错。例如，在保留两位小数时，可能会错误地忽略第三位小数的大小，而直接截断。 易错知识点07：对小数乘法意义的理解 学生可能没有完全理解小数乘法的意义，即求几个相同加数的和的简便运算，或者求一个数的几分之几是多少。这可能会导致在解决实际问题时出现偏差。 高频考点讲练01：用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（19-20五年级上·全国·课后作业）电影院里座位的总排数是m排，若第一排的座位数是a，并且后一排总比前一排的座位数多1个，则电影院里第m排有多少个座位？ 【演练1】（24-25四年级下·天津河西·期末）用含有字母的式子表示题目中的数量。 (1)一个长方形的长是35厘米，宽是x厘米，面积是( )平方厘米。 (2)如图，在第一层摆了2个圆片，在第二层摆了3个圆片，在第n层摆了( )个圆片。 【演练2】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）笑笑用纽扣按下面的方式摆正方形。 （1）根据上面纽扣的摆放规律，将下表填完整。 第1个 第2个 第3个 … 第6个 纽扣数量（颗） 4 8 … （2）按照这样的方式，第n个正方形共用（    ）颗纽扣。 （3）84颗纽扣摆出的正方形，一条边上有（    ）颗纽扣。 高频考点讲练02：用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（23-24四年级下·河南商丘·期末）三个连续的双数，中间的数是a，这三个数的和用字母表示是( )，如果a＝14，那么这三个数的和是( )。 【演练1】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）乘法分配律用字母表示为（    ）。 A．a×b＝b×a B．a×b×c＝a×（b×c） C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c D．a＋b＋c＝a＋（b＋c） 【演练2】2014五年级·全国·课后作业）利用运算定律将式子变形。 （5.3＋a）＋4.7＝ ＝ 2.4×（a＋0.5）＝ ＝ （a•b）•c＝ 高频考点讲练03：用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（23-24四年级下·山西运城·期末）商店原来有120千克苹果，又运来了箱，每箱重15千克，商店现在有( )千克苹果；如果运来了6箱，商店现在有( )千克苹果。 【演练1】（22-23四年级下·河南驻马店·期中）如图所示： ​ 一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，10张桌子并起来一共可以坐（    ）人。 A．40 B．60 C．42 【演练2】（18-19四年级下·辽宁·单元测试）摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒，摆3个三角形要7根小棒．那么，摆n个三角形要( )根小棒。 高频考点讲练04：含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）一根绳子长10米，第一次剪去2.5米，第二次剪去c米，两次共剪去( )米。如果c＝3.78，那么这根绳子还剩( )米。 【演练1】（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）某希望小学四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多名学生，四（3）班比四（2）班少名学生。 （1）四（2）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （2）四（3）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （3）当，时，四（3）班有多少名学生？ 【演练2】（23-24四年级下·福建泉州·期末）请你帮小敏把数学日记补充完整。（请你在括号里填上含有字母的式子） 今天，我们班级组织研学活动。车上有老师2人，男生a人，女生22人，车上师生共有( )人。我们来到种植基地采收蔬菜，我们团队拔了m千克萝卜，摘了n千克黄瓜，两种蔬菜都以每千克3.6元的价格卖给了研学基地，卖两种蔬菜一共收入( )元。 高频考点讲练05：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）梧桐树的棵数比杨树棵数的3倍少12棵，下列等量关系中，不正确的是（    ）。 A．杨树的棵数×3－12棵＝梧桐树的棵数 B．杨树的棵数×3＝梧桐树的棵数＋12棵 C．（杨树的棵数－12棵）×3＝梧桐树的棵数 【演练1】（22-23四年级下·四川成都·期末）表示下图情境中的等量关系，（    ）是错误的。 A．科技书的本数×2＝图画书的本数 B．故事书的本数－科技书的本数＝500本 C．故事书的本数＋500本＝科技书的本数 【演练2】（2024四年级下·辽宁·专题练习）画线段图可以很直观地看出物体数量之间的关系。如图，用线段图表示了梅花鹿、野猪和斑马之间的体重关系。根据线段图写出如下等量关系式，其中错误的是（    ）。 A．梅花鹿的体重×4＝野猪的体重 B．斑马的体重－105千克＝梅花鹿的体重 C．野猪的体重÷4＝斑马的体重＋105千克 D．斑马的体重－野猪的体重÷4＝105千克 高频考点讲练06：方程的认识 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课前预习）下列式子中，是方程的在括号里画“√”，不是的在括号里画“×”。 （1）。( ) （2）。( ) （3）。( ) （4）。( ) （5）。( ) （6）。( ) 【演练1】（24-25四年级下·全国·课后作业）在X＝0，X－5，X－1＞，5－＝，2X＝0.3中，是方程的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【演练2】（21-22四年级下·辽宁·单元测试）分一分。 ①a＋12＝22    ②6.7－2.1＝4.6    ③2b＝c     ④x＋100 ⑤m－n＝30    ⑥60.9－x    ⑦17＋x＞62    ⑧2.2＋1＝x 高频考点讲练07：列简易方程 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）根据下图写关系式，下列选项中正确的有（    ）个。 ①200＋3x＝2000    ②2000÷3＝x＋200     ③2000－200＝3x     ④2000－200÷x＝3 A．4 B．3 C．2 D．1 【演练1】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读1.5小时。如果笑笑平均每小时阅读m个字，一天一共阅读了4050个字，列出方程是( )。 【演练2】（22-23四年级下·辽宁·课前预习）看图解答。    分析与解答：用( )表示樱桃的质量。天平保持平衡，说明天平左右两边物体的质量( )，就是10＝( )＋2。 高频考点讲练08：应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（23-24四年级下·陕西西安·期末）哥哥有95本课外书，哥哥课外书的本数比妹妹课外书本数的3倍少19本。妹妹有多少本课外书？（列方程解） 【演练1】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）开化凤凰塔的高度是49.7米，比衢州钟灵塔的2倍少16.3米，衢州钟灵塔高约多少米？（先写出等量关系，再列方程解答） （1）等量关系：（    ）。 （2）列方程解答。 【演练2】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）解方程。 x＋23.8＝30.6    17.8－3x＝11.8 高频考点讲练09：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（23-24四年级下·陕西铜川·期末）6月5日是“世界环境日”。在这一天，五（3）班的同学分成10组，一共收集48千克可回收垃圾。其中4个女生小组平均每组收集3千克可回收垃圾，剩余6个男生小组平均每组收集多少千克可回收垃圾？（列方程解答） 【演练1】（23-24四年级下·广东湛江·期末）果园里有52棵桃树，有6行梨树，梨树比桃树多20棵，平均每行梨树有多少棵？（列方程解答） 【演练2】（23-24四年级下·广东揭阳·期末）奇思和笑笑进行投篮比赛。奇思得了69分，奇思得分是笑笑的2倍多5分，笑笑得了多少分？（列方程解答） 高频考点讲练10：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（22-23四年级下·四川成都·期末）善于观察是我们在解决数学问题重非常重要的好习惯，请认真观察下图，联系所学知识与方法解决问题。下图是由两个完全相同的长方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？ 【演练1】（23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 【演练2】（22-23四年级下·辽宁·单元测试）天天和爸爸通过手机扫一扫一共得到福卡54张，天天的福卡数量是爸爸的2倍，要求天天和爸爸分别得到多少张福卡，应设____________为x张，列方程为____________。下面的选项正确的是（    ）。 A．天天得到的福卡数量；2x＋x＝54 B．爸爸得到的福卡数量；2x＋x＝54 C．天天得到的福卡数量；2x＋1＝54 D．爸爸得到的福卡数量；x＋0.5x＝54 高频考点讲练11：列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁·课后作业）下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子的单价吗？ 【演练1】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【演练2】（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 1．（23-24四年级下·广东湛江·期末）下列选项中，能用2a＋4表示的是（    ）。 A．线段1的总长度 B．线段2的总长度 C．长方形1的周长 D．整个大长方形2的面积 2．（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是6，这个两位数的大小是（    ）。 A．a＋6 B．10a＋6 C．6a D．a6 3．（23-24四年级下·广东揭阳·期末）买4支铅笔比买1支中性笔多花1.6元，每支中性笔3.6元。如果设每支铅笔x元，那么下面方程正确的是（    ）。 A．x－3.6＝1.6 B．4x－3.6＝1.6 C．x－3.6×4＝1.6 4．（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）无人机除了用于航拍之外，还可以用于喷洒农药等功能。一架无人机每小时喷洒农药a平方米，上午喷洒了3小时，下午喷洒了t小时，这架无人机一天喷洒了（    ）平方米的农药。 A．3a＋at B．a＋3t C．3a＋3t 5．（23-24四年级下·浙江衢州·期末）把边长为1厘米的小正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。 (1)用( )个小正方形拼成的长方形周长是12厘米。 (2)用n个小正方形拼成的长方形周长是( )厘米。 6．（23-24四年级下·陕西铜川·期末）如图是由一个正方形（甲）和一个长方形（乙）组成的大长方形，则正方形（甲）的周长是( )，长方形（乙）的周长是( )。（用含有字母的式子表示） 7．（23-24四年级下·陕西宝鸡·期末）某电视机厂要装配a台电视机，如果每天能装配280台，装配了6天，还有( )台没有装配。 8．（23-24四年级下·陕西西安·期末）聪聪设计了一个计算小程序，当先后输入3和2时，输出的结果11；当先后输入2和4时，输出的结果是10；当先后输入5和8时，输出的结果是23；当先后输入7和5时，输出的结果是26；当先后输入a和b时，输出的结果是( )。 9．（18-19五年级下·四川成都·期末）如下图，要把1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6六个数填入圆中，使每条边上的三个数之和都相等。笑笑已经填了三个，那么A处应填( )。 10．（24-25四年级下·北京海淀·期末）淘气用小棒摆出了下面的图案。 如果用n表示三角形的个数，则3n表示： ；请你再写出一个可以用3n表示的生活中的规律： 。 11．（23-24四年级下·广东韶关·期末）45－m＝13中没有未知数x，所以它不是方程。( )（判断对错） 12．（23-24四年级下·甘肃白银·期末）a与b的和乘16，用式子表示是a＋b×16。( )（判断对错） 13．（24-25四年级下·天津河西·期末）解方程。（要有解答过程）                14．（23-24四年级下·广东茂名·期末）世界上最小的海是马尔马拉海，面积为11000平方千米。比我们国家太湖面积的4倍多1400平方千米。求太湖的面积是多少平方千米？（列方程解答） 15．（23-24四年级下·陕西西安·期末）一天，明明碰到了下面这道题： 如图，一个长方形被两条线段分成四个小长方形，其中三个的面积分别为6平方厘米、10平方厘米和12平方厘米。左下角长方形的面积是多少平方厘米？ 明明想：长方形的面积长×宽，在这道题中，几个长方形的长、宽都不知道，也求不出来，怎么求左下角长方形的面积？ 明明曾假设右边两个长方形的公共边是2厘米，推出来左下角长方形的面积是20平方厘米。明明觉得这个结果是对的，但他想，这只是自己假设的一种情况，会不会还有其他可能？带着这个困惑，他去和好朋友聪聪进行探讨。 聪聪说，这四个长方形的长、宽不好确定，但相邻长方形有公共边。为了便于交流，我们可以把上层两个长方形的公共边用a表示，类似的，其他两个长方形的公共边分别用b、c、d表示，如图。 这样表示之后，根据长方形的面积公式就有： 12＝ab，6＝ac，很显然，12是6的2倍，而a公用，所以b是c的（    ）倍。 b、c又是下层两个长方形的边，下层两个长方形有公共边d，从b与c的倍数关系，可以推知下层两个长方形的面积也具有相应的倍数关系，所以左下角长方形的面积是右下角长方形面积的（    ）倍，从而所求长方形的面积是（    ）平方厘米。 亲爱的同学们，与明明和聪聪一同经历了这个过程，你有何感悟？ 16．（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 17．（23-24四年级下·陕西汉中·期末）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举办了以“礼赞新时代·奋进新征程”为主题的合唱表演。张老师给参加这次合唱表演的同学购买服装，买了16件衬衫和9条西裤，一共花了986元。已知衬衫的单价是38元／件，西裤的单价是多少元／条？（列方程解答） 18．（23-24四年级下·广东惠州·期末）中国拥有最庞大的高铁网络、最复杂的高铁运行环境和最庞大的高铁乘客数量，中国高铁平均时速为350千米/时，比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时。普通小轿车每小时行驶多少千米？ 19．（23-24四年级下·江西九江·期末）为了保护环境减少碳排放，我国大力研发并推广新能源汽车。下面是2019年和2023年全国新注册登记新能源汽车数量关系图。 （1）根据线段图，补充括号里的信息，再写出等量关系。 等量关系：______ （2）2019年全国新注册登记新能源汽车有多少万辆？列方程并解答。 20．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）因为a2表示2个a相乘，所以a2一定比2a大。( )（判断对错） $$四年级/下册 小学数学 · 2025-2026学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题04 认识方程 专题04 认识方程 北师大版 暑假衔接 导图+知识梳理+考点讲练+真题强化 （共53题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 知识梳理 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 梳理脉络 易错点拨 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，易错点拨，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等5大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识梳理 知识点01：方程与等式的关系: 方程与等式的关系是：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。换句话说，方程是等式的一个子集，等式的范围更大，而方程的范围更小。 具体来说，一个等式如果含有未知数，那么它就是方程；如果不含有未知数，那么它就是一般的等式。例如，5 = 5 是一个等式，但它不是方程，因为它不含有未知数；而 x + 2 = 5 既是一个等式，又是一个方程，因为它不仅表示两边的值相等，还含有一个未知数 x。 当然，以下是小学数学中等式的性质、方程的意义以及方程求解过程的详细阐述： 知识点02：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a + c = b + c 或 a - c = b - c（c 为任意实数或式子）。 等式两边同时乘或除以同一个非零数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a × c = b × c 或 a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 等式的传递性：如果 a = b 且 b = c，那么 a = c。 知识点03：方程的意义: 方程是数学中用来表示两个量或表达式相等，并且至少含有一个未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。方程是数学中的一个重要工具，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。 知识点04：方程求解的过程 识别方程：首先，我们需要识别出一个给定的数学表达式是否为方程。方程必须包含等号，并且等号两边至少有一个未知数。 去括号：如果方程中含有括号，我们需要按照先小括号、再中括号、最后大括号的顺序去除括号。这通常涉及到分配律和结合律的应用。 移项：将含有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧。这可以通过等式的性质（加或减同一个数或式子）来实现。 合并同类项：将方程中的同类项合并成一个项。这可以使方程更加简洁，并有助于后续的求解。 系数化为1：将未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。这可以通过等式的性质（乘或除以同一个非零数或式子）来实现。 北师大版小学数学四年级下册中，列方程解应用题的相关知识点主要包括以下几个方面： 知识点05：列方程解应用题 审题：理解题意，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别是要弄清题目中涉及的一些概念术语，如增加、减少、倍数等。 确定未知数：用x表示所求的数量或有关的未知量。通常，我们需要根据题目中的条件，直接将要求的数量设为未知数。 等量关系：是列方程必不可少的条件。在应用题中，我们需要从题目中找出已知数与未知数之间的等量关系。 列出方程：根据找到的等量关系，我们可以列出一个含有未知数的等式，即方程。在列方程时，应尽量将未知数放在等式的左侧，以便于后续求解。 解方程：通过等式的性质，对方程进行变形和求解，从而找出未知数的值。在解方程时，需要注意将等号对齐，确保每一步都是等价的变换。 检验：求出未知数的值后，我们需要将其代入原方程进行检验，确保所求得的解满足原方程的条件。 易错指引 易错知识点01：小数点的位置 在小数乘法中，学生经常容易在结果中小数点的位置出错。特别是在涉及多个小数相乘时，需要正确确定小数点后有几位，这往往需要看所有因数中小数位数之和。例如，0.2（1位小数）乘以0.03（2位小数），结果应该有3位小数，即0.006。 易错知识点02：整数与小数的乘法混淆 有时学生会把整数与小数的乘法混淆，忘记在结果中添加小数点。例如，将3乘以0.2错误地计算为6，而不是0.6。 易错知识点03：与整数乘法的区别 学生可能会混淆小数乘法和整数乘法的规则。虽然基本步骤相似，但小数乘法需要特别注意小数点的位置，以及可能需要的补零操作。 易错知识点04：乘法运算顺序 在涉及连乘、乘加、乘减的混合运算中，学生可能会忘记先乘后加减的运算顺序，或者在有括号的情况下，先算括号里的数。 易错知识点05：乘法分配律的误用 乘法分配律在小数乘法中同样适用，但学生可能会在应用时出错。例如，将(a+b)×c错误地展开为a×c+b，而不是a×c+b×c。 易错知识点06：四舍五入求近似数 在求积的近似数时，学生可能会忘记使用四舍五入的方法，或者四舍五入时出错。例如，在保留两位小数时，可能会错误地忽略第三位小数的大小，而直接截断。 易错知识点07：对小数乘法意义的理解 学生可能没有完全理解小数乘法的意义，即求几个相同加数的和的简便运算，或者求一个数的几分之几是多少。这可能会导致在解决实际问题时出现偏差。 高频考点讲练01：用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（19-20五年级上·全国·课后作业）电影院里座位的总排数是m排，若第一排的座位数是a，并且后一排总比前一排的座位数多1个，则电影院里第m排有多少个座位？ 【答案】（a＋m－1）个 【规范解答】因为共有m排座位，且后面一排总比前一排的座位数多1个，所以第一排有a个座位，第二排有（a＋1）个座位，第三排有（a＋2）个座位，…，所以第m排有（a＋m－1）个座位。 【演练1】（24-25四年级下·天津河西·期末）用含有字母的式子表示题目中的数量。 (1)一个长方形的长是35厘米，宽是x厘米，面积是( )平方厘米。 (2)如图，在第一层摆了2个圆片，在第二层摆了3个圆片，在第n层摆了( )个圆片。 【答案】(1)35x (2)n＋1 【思路引导】（1）长方形面积＝长×宽，已知长和宽中的一个量为字母时，直接用乘法表示即可。 （2）观察层数与图片数量的规律，通过前两层的摆放数量，推导出第n层的圆片数与层数n的关系式。 第一层：2个圆片 第二层：3个圆片 每增加一层，圆片数量增加1个，因此第n层的圆片数为（n＋1）个。 【规范解答】（1）一个长方形的长是35厘米，宽是x厘米，面积是35x平方厘米。 （2）第一层摆了2个圆片，即（1＋1）个；第二层摆了3个圆片，即（2＋1）个。以此类推，第n层摆的圆片数量为（n＋1）个。 在第一层摆了2个圆片，在第二层摆了3个圆片，在第n层摆了（n＋1）个圆片。 【演练2】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）笑笑用纽扣按下面的方式摆正方形。 （1）根据上面纽扣的摆放规律，将下表填完整。 第1个 第2个 第3个 … 第6个 纽扣数量（颗） 4 8 … （2）按照这样的方式，第n个正方形共用（    ）颗纽扣。 （3）84颗纽扣摆出的正方形，一条边上有（    ）颗纽扣。 【答案】（1）12；24      （2）4n     （3）22 【思路引导】（1）第1个正方形用了（4×1＝4）颗纽扣，第2个正方形用了（4×2＝8）颗纽扣，第3个正方形用了（4×3＝12）颗纽扣。可以看出，第几个正方形就用（几×4）颗纽扣。 （2）按照这样的方式，第n个正方形共用（n×4）颗纽扣。在含有字母的乘法算式里，可以省略乘号，但是数字要写在字母前面。 （3）第1个正方形一条边上有2颗纽扣，第2个正方形一条边上有3颗纽扣，第3个正方形一条边上有4颗纽扣，由此可知第几个正方形的一条边上就有（几＋1）颗纽扣。 84颗纽扣摆出的正方形是第（84÷4）个正方形，那么84颗纽扣摆出的正方形的一条边上有（84÷4＋1）颗纽扣。 【规范解答】（1）4×1＝4（颗） 4×2＝8（颗） 4×3＝12（颗） …… 4×6＝24（颗） 填表如下： 第1个 第2个 第3个 … 第6个 纽扣数量（颗） 4 8 12 … 24 （2）按照这样的方式，第n个正方形共用（4n）颗纽扣。 （3）84÷4＋1 ＝21＋1 ＝22（颗） 84颗纽扣摆出的正方形，一条边上有（22）颗纽扣。 高频考点讲练02：用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（23-24四年级下·河南商丘·期末）三个连续的双数，中间的数是a，这三个数的和用字母表示是( )，如果a＝14，那么这三个数的和是( )。 【答案】 3a 42 【思路引导】根据题意，中间数是a，则左边的数是a－2，右边的数是a＋2，相加即可求出这三个数的和；代入当a＝14时，三个数的和是多少。 【规范解答】（a－2）＋a＋（a＋2） ＝a－2＋a＋a＋2 ＝a＋a＋a ＝3a 3×14＝42 三个连续的双数，中间的数是a，这三个数的和用字母表示是3a，如果a＝14，那么这三个数的和是42。 【演练1】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）乘法分配律用字母表示为（    ）。 A．a×b＝b×a B．a×b×c＝a×（b×c） C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c D．a＋b＋c＝a＋（b＋c） 【答案】C 【思路引导】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘， 可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此选择即可。 【规范解答】A．a×b＝b×a，表示的是乘法交换律，不符合题意； B．a×b×c＝a×（b×c），表示的是乘法结合律，不符合题意； C．（a＋b）×c＝a×c＋b×c，表示的是乘法分配律，符合题意； D．a＋b＋c＝a＋（b＋c），表示的是加法结合律，不符合题意。 乘法分配律用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 故答案为：C 【演练2】2014五年级·全国·课后作业）利用运算定律将式子变形。 （5.3＋a）＋4.7＝ ＝ 2.4×（a＋0.5）＝ ＝ （a•b）•c＝ 【答案】 （5.3＋4.7）＋a 10＋a 2.4a＋2.4×0.5 2.4a＋1.2 a•（b•c） 【思路引导】 ①先去掉括号，然后根据加法交换律进行解答； ②运用乘法分配律进行解答； ③运用乘法结合律进行解答。 【规范解答】①（5.3＋a）＋4.7 ＝（5.3＋4.7）＋a ＝10＋a ②2.4×（a＋0.5） ＝2.4a＋2.4×0.5 ＝2.4a＋1.2 ③（a•b）•c＝a•（b•c） 【考点剖析】灵活掌握和理解加法交换律、加法结合律，乘法分配律，是解答此类题的关键。 高频考点讲练03：用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（23-24四年级下·山西运城·期末）商店原来有120千克苹果，又运来了箱，每箱重15千克，商店现在有( )千克苹果；如果运来了6箱，商店现在有( )千克苹果。 【答案】 15a＋120 210 【思路引导】先用运来的箱数乘每箱的重量，求出运来苹果的重量，再加上商店原有苹果的重量，即可求出商店现在有苹果的重量；把a＝6代入式子，即可解答。 【规范解答】15×a＋120＝（15a＋120）千克 当a＝6时 15a＋120 ＝15×6＋120 ＝90＋120 ＝210（千克） 商店原来有120千克苹果，又运来了箱，每箱重15千克，商店现在有（15a＋120）千克苹果；如果运来了6箱，商店现在有210千克苹果。 【演练1】（22-23四年级下·河南驻马店·期中）如图所示： ​ 一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，10张桌子并起来一共可以坐（    ）人。 A．40 B．60 C．42 【答案】C 【思路引导】根据一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人可以发现每多一张桌子，人数就会多4人，即坐的人数等于桌子的数量乘4，再加上2即可。 【规范解答】10×4＋2 ＝40＋2 ＝42（人） 即10张桌子并起来一共可以坐42人。 故答案为：C 【演练2】（18-19四年级下·辽宁·单元测试）摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒，摆3个三角形要7根小棒．那么，摆n个三角形要( )根小棒。 【答案】2n＋1 【思路引导】观察图形可知，摆1个、2个、3个三角形分别要小棒的数量是3根、5根、7根……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律。 【规范解答】观察图形可知： 摆1个三角形要3根小棒，3＝1×2＋1； 摆2个三角形要5根小棒，5＝2×2＋1； 摆3个三角形要7根小棒，7＝3×2＋1； …… 按此规律摆下去，摆n个三角形要（2n＋1）根小棒。 高频考点讲练04：含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）一根绳子长10米，第一次剪去2.5米，第二次剪去c米，两次共剪去( )米。如果c＝3.78，那么这根绳子还剩( )米。 【答案】 2.5＋c 3.72 【思路引导】用第一次剪去的长度加上第二次剪去的长度即为两次共剪去的长度；再用绳子总长减去两次共剪去的长度求出这根绳子还剩多少米，代入数据计算。 【规范解答】2.5＋c＝（2.5＋c）米 10－（2.5＋3.78） ＝10－6.28 ＝3.72（米） 即一根绳子长10米，第一次剪去2.5米，第二次剪去c米，两次共剪去（2.5＋c）米，如果c＝3.78，那么这根绳子还剩3.72米。 【演练1】（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）某希望小学四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多名学生，四（3）班比四（2）班少名学生。 （1）四（2）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （2）四（3）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （3）当，时，四（3）班有多少名学生？ 【答案】（1）46＋x （2）46＋x－a （3）48名 【思路引导】（1） 已知四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多x名学生， 那么四（2）班的学生人数为四（1）班的人数加上多的人数，即（46＋x） 名。 （2） 因为四（3）班比四（2）班少a名学生，四（2）班有（46＋x）名学生，所以四（3）班的学生人数为四（2）班的人数减去少的人数，即（46＋x−a）名。 （3）把x＝3， a＝1代入 即可解答。 【规范解答】（1）四（2）班有（46＋x）人； （2）四（3）班有（46＋x－a）人； （3）当x＝3，a＝1时； 46＋3－1 ＝49－1 ＝48（名） 答：四（3）班有48名学生。 【演练2】（23-24四年级下·福建泉州·期末）请你帮小敏把数学日记补充完整。（请你在括号里填上含有字母的式子） 今天，我们班级组织研学活动。车上有老师2人，男生a人，女生22人，车上师生共有( )人。我们来到种植基地采收蔬菜，我们团队拔了m千克萝卜，摘了n千克黄瓜，两种蔬菜都以每千克3.6元的价格卖给了研学基地，卖两种蔬菜一共收入( )元。 【答案】 24＋a/a＋24 3.6m＋3.6n 【思路引导】车上有老师2人，男生a人，女生22人，将老师的人数与男生和女生的人数相加，即可得到车上师生共有多少人；拔了m千克萝卜，摘了n千克黄瓜，两种蔬菜都以每千克3.6元的价格卖给了研学基地，分别用萝卜和黄瓜的质量乘两种蔬菜的单价，再将两者相加，即可得到卖两种蔬菜一共收入多少元。 【规范解答】2＋a＋22＝（24＋a）人 m×3.6＋n×3.6＝（3.6m＋3.6n）元 今天，我们班级组织研学活动。车上有老师2人，男生a人，女生22人，车上师生共有（24＋a）人。我们来到种植基地采收蔬菜，我们团队拔了m千克萝卜，摘了n千克黄瓜，两种蔬菜都以每千克3.6元的价格卖给了研学基地，卖两种蔬菜一共收入（3.6m＋3.6n）元。 高频考点讲练05：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）梧桐树的棵数比杨树棵数的3倍少12棵，下列等量关系中，不正确的是（    ）。 A．杨树的棵数×3－12棵＝梧桐树的棵数 B．杨树的棵数×3＝梧桐树的棵数＋12棵 C．（杨树的棵数－12棵）×3＝梧桐树的棵数 【答案】C 【思路引导】梧桐树的棵数比杨树棵数的3倍少12棵，则杨树棵数乘3减去12棵即为梧桐树的棵数，也可以转换为梧桐树的棵数再加12棵即为杨树棵数的3倍，据此判断。 【规范解答】由分析可知：等量关系可以是杨树的棵数×3－12棵＝梧桐树的棵数，或杨树的棵数×3＝梧桐树的棵数＋12棵。所以（杨树的棵数－12棵）×3＝梧桐树的棵数不正确。 故答案为：C 【演练1】（22-23四年级下·四川成都·期末）表示下图情境中的等量关系，（    ）是错误的。 A．科技书的本数×2＝图画书的本数 B．故事书的本数－科技书的本数＝500本 C．故事书的本数＋500本＝科技书的本数 【答案】C 【思路引导】根据题意可知，科技书的本数＋500本＝故事书的本数，计算一个数的几倍是多少，用乘法计算；依此即可选择。 【规范解答】A．科技书的本数×2＝图画书的本数，此等量关系正确。 B．故事书的本数－科技书的本数＝500本，此等量关系正确。 C．故事书的本数－500本＝科技书的本数，即原等量关系错误。 故答案为：C 【演练2】（2024四年级下·辽宁·专题练习）画线段图可以很直观地看出物体数量之间的关系。如图，用线段图表示了梅花鹿、野猪和斑马之间的体重关系。根据线段图写出如下等量关系式，其中错误的是（    ）。 A．梅花鹿的体重×4＝野猪的体重 B．斑马的体重－105千克＝梅花鹿的体重 C．野猪的体重÷4＝斑马的体重＋105千克 D．斑马的体重－野猪的体重÷4＝105千克 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了根据线段图分析数量关系的能力。观察线段图，梅花鹿的体重看作1份，则野猪的体重是梅花鹿的4倍，斑马的体重比梅花鹿重105千克；据此逐项分析，选出错误的说法即可。 【规范解答】根据分析： A．梅花鹿的体重×4＝野猪的体重，关系式正确； B．斑马的体重－105千克＝梅花鹿的体重，关系式正确； C．野猪的体重÷4＝斑马的体重＋105千克，关系式错误，应为：野猪的体重÷4＝斑马的体重－105千克； D．斑马的体重－野猪的体重÷4＝105千克，关系式正确。 故答案为：C 高频考点讲练06：方程的认识 【典例精讲】（24-25四年级下·全国·课前预习）下列式子中，是方程的在括号里画“√”，不是的在括号里画“×”。 （1）。( ) （2）。( ) （3）。( ) （4）。( ) （5）。( ) （6）。( ) 【答案】 √ × × √ √ × 【思路引导】根据题意，含有未知数的等式叫做方程。根据方程的意义可知，方程必须满足两个条件：一是含有未知数；二是等式。据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）8−3x＝5， 既含有未知数，又是等式，所以是方程。（√）　　　　　　   （2）4.5＋2.3＝6.8，是等式，但不含未知数，所以不是方程。（×）　　　　   （3）2.1b＜d，含未知数，但不是等式，所以不是方程。（×）　　　　　   （4）4c＝0，既含有未知数，又是等式，所以是方程。（√）　　　　　　   （5）f ÷5＝3.6÷4，既含有未知数，又是等式，所以是方程。（√）　　　　　　   （6）9＋2＝15−4，既不含未知数，又不是等式，所以不是方程。（×） 【演练1】（24-25四年级下·全国·课后作业）在X＝0，X－5，X－1＞，5－＝，2X＝0.3中，是方程的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】含有未知数的等式叫做方程，根据方程的意义直接选择。 【规范解答】已知含有未知数的等式叫做方程，题目中只有X＝0和2X＝0.3是方程，故只有两个方程。 故答案为：B 【演练2】（21-22四年级下·辽宁·单元测试）分一分。 ①a＋12＝22    ②6.7－2.1＝4.6    ③2b＝c     ④x＋100 ⑤m－n＝30    ⑥60.9－x    ⑦17＋x＞62    ⑧2.2＋1＝x 【答案】见详解 【思路引导】等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式。 【规范解答】 【考点剖析】此题考查等式与方程的意义的理解，必须是含有未知数的等式才是方程。 高频考点讲练07：列简易方程 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）根据下图写关系式，下列选项中正确的有（    ）个。 ①200＋3x＝2000    ②2000÷3＝x＋200     ③2000－200＝3x     ④2000－200÷x＝3 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【思路引导】图中表示等长的线段x米，有这样的3份，再加200米总共是2000米，可知3个x米＋200米＝2000米，列式为200＋3x＝2000；也可以看作2000米－还剩的200米＝3个x米，列式为2000－200＝3x。 【规范解答】由分析可知：3个x米＋200米＝2000米，列式为200＋3x＝2000； 2000米－还剩的200米＝3个x米，列式为2000－200＝3x； ②2000÷3＝x＋200式子错误，2000米没有平均分成3份；④2000－200÷x＝3式子错误，应该是2000米－200米后再平均分成3份，列式为（2000－200）÷x＝3；选项中正确的有2个，即①③。 故答案为：C 【演练1】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读1.5小时。如果笑笑平均每小时阅读m个字，一天一共阅读了4050个字，列出方程是( )。 【答案】（1.2＋1.5）m＝4050 【思路引导】根据题意可得出等量关系：（笑笑上午的阅读时间＋笑笑下午的阅读时间）×笑笑平均每小时阅读的字数＝笑笑一天阅读的总字数，据此列出方程即可。 【规范解答】（1.2＋1.5）m＝4050 解：2.7 m＝4050 m＝4050÷2.7 m＝1500 列出方程是（1.2＋1.5）m＝4050。（答案不唯一） 【演练2】（22-23四年级下·辽宁·课前预习）看图解答。    分析与解答：用( )表示樱桃的质量。天平保持平衡，说明天平左右两边物体的质量( )，就是10＝( )＋2。 【答案】 x 相等 x 【思路引导】天平保持平衡，说明天平左右两边物体的质量相等，樱桃质量＋2克＝10克，在不知道樱桃质量情况下，可以设樱桃质量是x克，把等量关系式中的樱桃质量换成x即可。 【规范解答】分析与解答：用（x）表示樱桃的质量。天平保持平衡，说明天平左右两边物体的质量（相等），就是10＝（x）＋2。 【考点剖析】解答此题关键是找出题中等量关系式再根据等量关系式列方程。 高频考点讲练08：应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（23-24四年级下·陕西西安·期末）哥哥有95本课外书，哥哥课外书的本数比妹妹课外书本数的3倍少19本。妹妹有多少本课外书？（列方程解） 【答案】38本 【思路引导】根据题意，我们可以列出等量关系式：妹妹书本的3倍－19＝哥哥的书本，据此列方程解答即可。 【规范解答】解：设妹妹有本书。 3－19＝95 3－19＋19＝95＋19 3＝114 3÷3＝114÷3 ＝38 答：妹妹有38本课外书。 【演练1】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）开化凤凰塔的高度是49.7米，比衢州钟灵塔的2倍少16.3米，衢州钟灵塔高约多少米？（先写出等量关系，再列方程解答） （1）等量关系：（    ）。 （2）列方程解答。 【答案】（1）衢州钟灵塔的高度×2－16.3米＝开化凤凰塔的高度 （2）33米 【思路引导】（1）根据“比衢州钟灵塔的2倍少16.3米”可知，衢州钟灵塔的高度×2－16.3米＝开化凤凰塔的高度。据此作答即可。 （2）现将问题设为未知数，再根据等量关系列出方程，根据等式性质解方程即可。 【规范解答】（1）等量关系：衢州钟灵塔的高度×2－16.3米＝开化凤凰塔的高度 （2）解：设衢州钟灵塔高约x米。 2x－16.3＝49.7 2x－16.3＋16.3＝49.7＋16.3 2x＝66 2x÷2＝66÷2 x＝33 答：衢州钟灵塔高约33米。 【演练2】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）解方程。 x＋23.8＝30.6    17.8－3x＝11.8 【答案】x＝6.8；x＝2 【思路引导】（1）根据等式的性质1，将x＋23.8＝30.6两边同时减去23.8，即可求解； （2）根据等式的性质1，将17.8－3x＝11.8两边同时加上3x，再根据等式的性质1，将方程两边同时减去11.8，最后根据等式的性质2，将方程两边同时除以3，即可求解。 【规范解答】x＋23.8＝30.6 解：x＋23.8－23.8＝30.6－23.8 x＝6.8 17.8－3x＝11.8 解：17.8－3x＋3x＝11.8＋3x 17.8＝11.8＋3x 17.8－11.8＝11.8＋3x－11.8 6＝3x 6÷3＝3x÷3 x＝2 高频考点讲练09：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（23-24四年级下·陕西铜川·期末）6月5日是“世界环境日”。在这一天，五（3）班的同学分成10组，一共收集48千克可回收垃圾。其中4个女生小组平均每组收集3千克可回收垃圾，剩余6个男生小组平均每组收集多少千克可回收垃圾？（列方程解答） 【答案】6千克 【思路引导】设剩余6个男生小组平均每组收集x千克可回收垃圾，根据女生小组组数×每组收集的可回收垃圾质量＋男生小组组数×每组收集的可回收垃圾质量＝收集的可回收垃圾总质量，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设剩余6个男生小组平均每组收集x千克可回收垃圾。 4×3＋6x＝48 12＋6x＝48 12＋6x－12＝48－12 6x＝36 6x÷6＝36÷6 x＝6 答：剩余6个男生小组平均每组收集6千克可回收垃圾。 【演练1】（23-24四年级下·广东湛江·期末）果园里有52棵桃树，有6行梨树，梨树比桃树多20棵，平均每行梨树有多少棵？（列方程解答） 【答案】12棵 【思路引导】根据题意可知，设平均每行梨树有x棵，等量关系式为：梨树行数乘每行梨树棵数－桃树棵数＝20棵，据此列出方程并解方程即可。 【规范解答】解：设平均每行梨树有x棵。 6x－52＝20 6x－52＋52＝20＋52 6x＝72 6x÷6＝72÷6 x＝12 答：平均每行梨树有12棵。 【演练2】（23-24四年级下·广东揭阳·期末）奇思和笑笑进行投篮比赛。奇思得了69分，奇思得分是笑笑的2倍多5分，笑笑得了多少分？（列方程解答） 【答案】32分 【思路引导】由题意得，奇思得了69分，奇思得分是笑笑的2倍多5分，据此列出等量关系式为：笑笑的分数×2＋5＝69。可以设笑笑的得分为x，然后根据等量关系式列方程并根据等式的性质解方程即可。 【规范解答】解：设笑笑得了x分。 x×2＋5＝69 2x＋5＝69 2x＋5－5＝69－5 2x＝64 2x÷2＝64÷2 x＝32 答：笑笑得了32分。 高频考点讲练10：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（22-23四年级下·四川成都·期末）善于观察是我们在解决数学问题重非常重要的好习惯，请认真观察下图，联系所学知识与方法解决问题。下图是由两个完全相同的长方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？ 【答案】72厘米 【思路引导】根据图意可知，长比宽多6厘米，长加宽的和是22厘米。可以通过解方程来解决这个问题，设宽是x厘米，则长就是（x＋6）厘米。根据长加宽的和是22厘米，这个数量关系列出方程。再求出相应的宽和长的厘米数。解方程时，根据等式的性质：在等式两边同时加上或者减去一个数（式子），结果仍为等式。以及在等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0的数，结果仍为等式。而这个不规则图形可以通过平移法，变成一个新长方形，长方形的长是22厘米，宽是小长方形的长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可以算出这个图形的周长。 平移后的图形如下： 【规范解答】解：设长方形的宽是x厘米，则长方形的长是（x＋6）厘米。 x＋6＋x＝22 x＋x＋6－6＝22－6 x＋x＝16 2x＝16 2x÷2＝16÷2 x＝8 长：8＋6＝14（厘米） （22＋14）×2 ＝36×2 ＝72（厘米） 答：这个图形的周长是72厘米。 【演练1】（23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 【答案】小份套餐的单价 【思路引导】由题意得，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，据此列出等量关系式为：（小份套餐的单价＋正常套餐的单价）×27＝594。其中，正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍，那么等量关系式变为：（小份套餐的单价＋小份套餐的单价×1.2）×27＝594。对比方程“27（x＋1.2x）＝594”可知，x表示小份套餐的单价。 【规范解答】方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示小份套餐的单价。 【演练2】（22-23四年级下·辽宁·单元测试）天天和爸爸通过手机扫一扫一共得到福卡54张，天天的福卡数量是爸爸的2倍，要求天天和爸爸分别得到多少张福卡，应设____________为x张，列方程为____________。下面的选项正确的是（    ）。 A．天天得到的福卡数量；2x＋x＝54 B．爸爸得到的福卡数量；2x＋x＝54 C．天天得到的福卡数量；2x＋1＝54 D．爸爸得到的福卡数量；x＋0.5x＝54 【答案】B 【思路引导】此题的等量关系式是爸爸的福卡数量＋天天的福卡数量＝54，如果设爸爸得到的福卡数量是x张，则天天得到的福卡数量是2x张，列方程为2x＋x＝54；如果设天天得到的福卡数量是x张，则爸爸得到的福卡数量是0.5x张，列方程为x＋0.5x＝54。 【规范解答】A．如果设天天得到的福卡数量为x张，方程是x＋0.5x＝54，方程2x＋x＝54不正确； B．如果设爸爸得到的福卡数量为x张，方程是x＋2x＝54，方程正确； C．如果设天天得到的福卡数量为x张，方程是x＋0.5x＝54，方程2x＋1＝54不正确； D．如果设爸爸得到的福卡数量为x张，方程是x＋2x＝54，方程x＋0.5x＝54不正确。 故答案为：B 【考点剖析】找出题中的等量关系式再根据等量关系式列方程是解题关键。 高频考点讲练11：列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁·课后作业）下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子的单价吗？ 【答案】30元 【思路引导】设每把椅子为x元，根据等量关系，椅子的钱数＋桌子的钱数＝总钱数，列方程解答即可。 【规范解答】解：设每把椅子为x元。 5x＋80＝230 5x－80＝230－80 5x＝150 5x÷5＝150÷5 x＝30（元） 答：每把椅子的单价是30元。 【演练1】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【答案】上层180本；中层140本；下层130本 【思路引导】根据题意可知，下层放书的数量＋50本＝上层放书的数量，下层放书的数量＋10本＝中层放书的数量，上层放书的数量＋中层放书的数量＋下层放书的数量＝450本，故设下层放书x本，进而就可知上层放书（x＋50）本，下层放书（x＋10）本，根据等量关系式列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【规范解答】解：设下层放书x本 x＋50＋x＋10＋x＝450 3x＋60＝450 3x＋60－60＝450－60 3x＝390 3x÷3＝390÷3 x＝130 130＋50＝180（本） 130＋10＝140（本） 答：这个书架上层放书180本，中层放书140本，下层放书130本。 【演练2】（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【思路引导】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【规范解答】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【考点剖析】本题首先要抓住“多少天后两人做的兰花数量同样多”找到等量关系；解方程时，要根据等式的性质把方程两边的数字和未知数分别合并到一起，再根据乘法分配律把两个未知数变成一个未知数，从而把复杂的方程逐步变得简单。 1．（23-24四年级下·广东湛江·期末）下列选项中，能用2a＋4表示的是（    ）。 A．线段1的总长度 B．线段2的总长度 C．长方形1的周长 D．整个大长方形2的面积 【答案】C 【思路引导】把三个小线段的长度加起来就是线段的总长度。长方形的周长＝（长＋宽）×2，也可以用2个长加上两个宽也是长方形的周长。长方形的面积＝长×宽。据此分析四个选项即可。 当字母和数字相乘，数字在前，字母在后，中间乘号可以省略。 【规范解答】A．2＋a＋4＝a＋6，是线段1的总长度。不能用2a＋4表示。 B．a＋4＋4＝a＋8，是线段2的总长度。不能用2a＋4表示。 C．用两个长＋两个宽＝长方形的周长。即a×2＋2×2＝2a＋4，符合题目要求。 D．长方形2的长是2＋4＝6，再用6×a＝6a，是长方形的面积。不能用2a＋4表示。 故答案为：C 2．（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是6，这个两位数的大小是（    ）。 A．a＋6 B．10a＋6 C．6a D．a6 【答案】B 【思路引导】个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；所以这个两位数由a个十和6个一组成，据此解答。 【规范解答】十位的数字是a表示：10×a＝10a； 个位上的数字6表示：1×6＝6； 这个两位数就可以表示为：10a＋6。 故答案为：B 3．（23-24四年级下·广东揭阳·期末）买4支铅笔比买1支中性笔多花1.6元，每支中性笔3.6元。如果设每支铅笔x元，那么下面方程正确的是（    ）。 A．x－3.6＝1.6 B．4x－3.6＝1.6 C．x－3.6×4＝1.6 【答案】B 【思路引导】如果设每支铅笔x元，4支铅笔花费4x元。根据4支铅笔的钱数－1支中性笔的钱数＝1.6元，据此列出方程。 【规范解答】A．x－3.6＝1.6，表示买1支铅笔比1支中性笔多花1.6元，列方程错误； B．4x－3.6＝1.6，表示买4支铅笔比买1支中性笔多花1.6元，列方程正确； C．x－3.6×4＝1.6，表示买1支铅笔比4支中性笔多花1.6元，列方程错误； 故答案为：B 4．（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）无人机除了用于航拍之外，还可以用于喷洒农药等功能。一架无人机每小时喷洒农药a平方米，上午喷洒了3小时，下午喷洒了t小时，这架无人机一天喷洒了（    ）平方米的农药。 A．3a＋at B．a＋3t C．3a＋3t 【答案】A 【思路引导】这架无人机每小时喷洒农药面积乘上午喷洒时间，可以算出上午喷洒了a×3平方米；这架无人机每小时喷洒农药面积乘下午喷洒时间，可以算出下午喷洒了a×t平方米；上午喷洒面积加上下午喷洒面积，即可算出这架无人机一天喷洒了（a×3＋a×t）平方米。 字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写，书写时，把数字放在前面，字母放在后面。 【规范解答】a×3＋a×t＝（3a＋at）平方米 无人机除了用于航拍之外，还可以用于喷洒农药等功能。一架无人机每小时喷洒农药a平方米，上午喷洒了3小时，下午喷洒了t小时，这架无人机一天喷洒了（3a＋at）平方米的农药。 故答案为：A 5．（23-24四年级下·浙江衢州·期末）把边长为1厘米的小正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。 (1)用( )个小正方形拼成的长方形周长是12厘米。 (2)用n个小正方形拼成的长方形周长是( )厘米。 【答案】(1)5 (2)2n＋2/2＋2n 【思路引导】（1）拼成的长方形周长是12厘米时，长与宽的和是12÷2＝6（厘米）。又因为长方形的宽是1厘米，故长方形的长是6－1＝5（厘米），因此用5个小正方形拼成的长方形周长是12厘米。 （2）用n个小正方形拼成的长方形的长是n厘米，宽是1厘米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此用含字母的式子表示拼成长方形的周长。 【规范解答】（1）12÷2＝6（厘米） 长：6－1＝5（厘米） 5÷1＝5（个） 用（5）个小正方形拼成的长方形周长是12厘米。 用5个小正方形拼成的长方形周长是12厘米。 （2）2×（n＋1）＝（2n＋2）厘米 用n个小正方形拼成的长方形周长是（2n＋2）厘米。 6．（23-24四年级下·陕西铜川·期末）如图是由一个正方形（甲）和一个长方形（乙）组成的大长方形，则正方形（甲）的周长是( )，长方形（乙）的周长是( )。（用含有字母的式子表示） 【答案】 4x 2x＋2y 【思路引导】正方形（甲）的边长是x，根据正方形的周长＝边长×4解答。长方形（乙）的长是y，宽是x，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2解答。 【规范解答】4×x＝4x （x＋y）×2＝2x＋2y 正方形（甲）的周长是4x，长方形（乙）的周长是（2x＋2y）。 7．（23-24四年级下·陕西宝鸡·期末）某电视机厂要装配a台电视机，如果每天能装配280台，装配了6天，还有( )台没有装配。 【答案】a－1680 【思路引导】先算出6天装配的台数＝每天能装配280台×装配了6天，再用要装配a台电视机减去6天装配的台数，代入数据表示。 【规范解答】a－280×6＝（a－1680）台 即某电视机厂要装配a台电视机，如果每天能装配280台，装配了6天，还有（a－1680）台没有装配。 8．（23-24四年级下·陕西西安·期末）聪聪设计了一个计算小程序，当先后输入3和2时，输出的结果11；当先后输入2和4时，输出的结果是10；当先后输入5和8时，输出的结果是23；当先后输入7和5时，输出的结果是26；当先后输入a和b时，输出的结果是( )。 【答案】3a＋b 【思路引导】由题意得，仔细分析输入的数和输出的结果可知，3×3＋2＝9＋2＝11，2×3＋4＝6＋4＝10，5×3＋8＝15＋8＝23，7×3＋5＝21＋5＝26，即第一个数乘3再加上第二个数即可算出输出的结果。所以输入a和b时，输出的结果等于a乘3再加上b。 【规范解答】a×3＋b＝3a＋b 故当先后输入a和b时，输出的结果是3a＋b。 9．（18-19五年级下·四川成都·期末）如下图，要把1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6六个数填入圆中，使每条边上的三个数之和都相等。笑笑已经填了三个，那么A处应填( )。 【答案】1.2 【思路引导】如图： 因为每条边上的三个数之和相等，所以1.3＋A＋C＝1.1＋1.4＋ C，由等式性质，两边同时减去（1.3＋C），即可得解。 【规范解答】由分析可得： 故A＝1.2。 【考点剖析】考查了小数的加减法灵活运用以及等式的性质。 10．（24-25四年级下·北京海淀·期末）淘气用小棒摆出了下面的图案。 如果用n表示三角形的个数，则3n表示： ；请你再写出一个可以用3n表示的生活中的规律： 。 【答案】 n个三角形中小棒数量 一本笔记本3元，n本笔记本3n元 【思路引导】一个三角形中有3根小棒。n个三角形中有（3×n＝3n）根小棒，那么3n就表示n个三角形中小棒数量。要想用3n表示生活中的规律，可以根据总价＝单价×数量，用3表示单价，n表示数量。据此解答。 【规范解答】如果用n表示三角形的个数，则3n表示：n个三角形中小棒数量；再写出一个可以用3n表示的生活中的规律：一本笔记本3元，n本笔记本3n元。（答案不唯一） 11．（23-24四年级下·广东韶关·期末）45－m＝13中没有未知数x，所以它不是方程。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；由此进行判断。 【规范解答】45－m＝13，既含有未知数m，又是等式，具备了方程的条件，因此是方程，原题说法错误。 故答案为：× 12．（23-24四年级下·甘肃白银·期末）a与b的和乘16，用式子表示是a＋b×16。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】a与b的和乘16，说明需要先计算a＋b，然后再用它们的和乘上16，列式为：（a＋b）×16。 【规范解答】由分析得，a与b的和乘16，用式子表示是：（a＋b）×16。原题说法错误。 故答案为：× 13．（24-25四年级下·天津河西·期末）解方程。（要有解答过程）                【答案】；； 【思路引导】根据等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 等式中只有减法，根据被减数＝减数＋差，则在等式两边同时加上17，即可求出x等于多少。 等式中有乘法和加法，先把5x看成一个整体，根据被减数＝减数＋差，在等式两边同时减去18，求出5x，最后根据因数＝积÷另一个因数，即在等式两边同时除以5，即可求出x等于多少。 等式中，只有除法，根据被除数＝除数×商，则在等式两边同时乘0.6，即可求出x等于多少。 【规范解答】 解： 解： 解： 14．（23-24四年级下·广东茂名·期末）世界上最小的海是马尔马拉海，面积为11000平方千米。比我们国家太湖面积的4倍多1400平方千米。求太湖的面积是多少平方千米？（列方程解答） 【答案】2400平方千米 【思路引导】根据题意，马尔马拉海的面积等于太湖面积的4倍加上1400平方千米。马尔马拉海的面积＝太湖面积×4＋1400平方千米。设太湖面积为x平方千米，也就是4x＋1400＝11000相等，然后利用等式的性质1和2进行解方程即可。 【规范解答】解：设太湖面积为x平方千米。 4x＋1400＝11000 4x＋1400－1400＝11000－1400 4x＝9600 4x÷4＝9600÷4 x＝2400 答：我国太湖的面积约是2400平方千米。 15．（23-24四年级下·陕西西安·期末）一天，明明碰到了下面这道题： 如图，一个长方形被两条线段分成四个小长方形，其中三个的面积分别为6平方厘米、10平方厘米和12平方厘米。左下角长方形的面积是多少平方厘米？ 明明想：长方形的面积长×宽，在这道题中，几个长方形的长、宽都不知道，也求不出来，怎么求左下角长方形的面积？ 明明曾假设右边两个长方形的公共边是2厘米，推出来左下角长方形的面积是20平方厘米。明明觉得这个结果是对的，但他想，这只是自己假设的一种情况，会不会还有其他可能？带着这个困惑，他去和好朋友聪聪进行探讨。 聪聪说，这四个长方形的长、宽不好确定，但相邻长方形有公共边。为了便于交流，我们可以把上层两个长方形的公共边用a表示，类似的，其他两个长方形的公共边分别用b、c、d表示，如图。 这样表示之后，根据长方形的面积公式就有： 12＝ab，6＝ac，很显然，12是6的2倍，而a公用，所以b是c的（    ）倍。 b、c又是下层两个长方形的边，下层两个长方形有公共边d，从b与c的倍数关系，可以推知下层两个长方形的面积也具有相应的倍数关系，所以左下角长方形的面积是右下角长方形面积的（    ）倍，从而所求长方形的面积是（    ）平方厘米。 亲爱的同学们，与明明和聪聪一同经历了这个过程，你有何感悟？ 【答案】用字母表示数或数量关系，可以为我们解决问题带来方便。（答案不唯一，合理即可） 【思路引导】根据题意，明明和聪聪用字母表示各边后（见图），利用长方形的面积＝长×宽，得出了上面两个长方形面积的数量关系：12＝ab，6＝ac，观察两个关系式，根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数乘一个数或除以一个不为0的数，积也乘或除以相同的数，即一个因数a不变，积12是6的2倍，则另一个因数b也是c的2倍；然后左下角长方形的面积＝bd，右下角长方形的面积是cd＝10，因b是c的2倍，公共边d相同，则左下角长方形的面积是右下角长方形的面积的2倍，即10×2＝20（平方厘米）。由此，把未知的各边用字母表示后，清晰地表示出了各边与面积之间的倍数关系，使问题得到方便地解决。（感悟不唯一，合理即可） 【规范解答】根据分析可知： 用字母表示之后，根据长方形的面积公式就有： 12＝ab，6＝ac，很显然，12是6的2倍，而a公用，所以b是c的2倍。 b、c又是下层两个长方形的边，下层两个长方形有公共边d，从b与c的倍数关系，可以推知下层两个长方形的面积也具有相应的倍数关系，所以左下角长方形的面积是右下角长方形面积的2倍，从而所求长方形的面积是20平方厘米。 我的感悟是：用字母表示数或数量关系，可以为我们解决问题带来方便。（答案不唯一，合理即可） 16．（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【答案】16个月 【思路引导】假设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多，可知淘气攒了20x元，再加上淘气本来的零花钱数，淘气一共有（230＋20x）元。同样的，笑笑攒了15x元，再加上笑笑本来的零花钱数，笑笑一共有（310＋15x）元。据此列出方程为230＋20x＝310＋15x，再解方程即可。 【规范解答】解：设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多。 230＋20x＝310＋15x 230＋20x－230＝310＋15x－230 20x＝80＋15x 20x－15x＝80＋15x－15x 5x＝80 5x÷5＝80÷5 x＝16 答：淘气16月后的零花钱能和笑笑一样多。 17．（23-24四年级下·陕西汉中·期末）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举办了以“礼赞新时代·奋进新征程”为主题的合唱表演。张老师给参加这次合唱表演的同学购买服装，买了16件衬衫和9条西裤，一共花了986元。已知衬衫的单价是38元／件，西裤的单价是多少元／条？（列方程解答） 【答案】42元／条 【思路引导】可以设西裤的单价是x元，然后找到等量关系式，总价＝单价×数量，据此列出衬衫的总价和西裤的总价，然后再根据总价＝衬衫的总价＋西裤的总价进行列方程，然后再利用等式的性质解方程，据此解题。 【规范解答】解：设西裤的单价是x元／条。 9x＋38×16＝986 9x＋608＝986 9x＋608－608＝986－608 9x＝378 9x÷9＝378÷9 x＝42 答：西裤的单价是42元／条。 18．（23-24四年级下·广东惠州·期末）中国拥有最庞大的高铁网络、最复杂的高铁运行环境和最庞大的高铁乘客数量，中国高铁平均时速为350千米/时，比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时。普通小轿车每小时行驶多少千米？ 【答案】95千米 【思路引导】高铁平均时速比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时，高铁的时速＝小轿车的时速×3＋65，可以设普通小轿车每小时行驶x千米，然后3x＋65＝350，再根据等式的性质1和2来解方程。 【规范解答】解：设普通小轿车每小时行驶x千米。 3x＋65＝350 3x＋65－65＝350－65 3x＝285 3x÷3＝285÷3 x＝95 答：普通小轿车每小时行驶95千米。 19．（23-24四年级下·江西九江·期末）为了保护环境减少碳排放，我国大力研发并推广新能源汽车。下面是2019年和2023年全国新注册登记新能源汽车数量关系图。 （1）根据线段图，补充括号里的信息，再写出等量关系。 等量关系：______ （2）2019年全国新注册登记新能源汽车有多少万辆？列方程并解答。 【答案】（1）6；23；2019 年全国新注册登记新能源汽车数量×6＋23万辆＝743万辆 （2）120万辆 【思路引导】（1）观察线段图，2023年对应的线段长度是2019年对应线段长度的6倍还多出一小段，这一小段表示23万辆，所以2023年全国新注册登记新能源汽车743万辆，比2019年的6倍还多23万辆。那么等量关系就是：2019年新能源汽车数量×6＋23万辆＝2023年新能源汽车数量，已知2023年新能源汽车数量是743万辆，即2019年新能源汽车数量×6＋23万辆＝743万辆。 （2）设2019年全国新注册登记新能源汽车有 x 万辆，根据（1）中得到的等量关系可列出方程：6x＋23＝743，据此解方程即可。 【规范解答】 （1） 等量关系：2019年全国新注册登记新能源汽车数量×6＋23万辆＝743万辆 （2）解：设2019年全国新注册登记新能源汽车有x万辆。 6x＋23＝743 6x＋23－23＝743－23 6x＝720 6x÷6＝720÷6 x＝120 答：2019年全国新注册登记新能源汽车120万辆。 20．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）因为a2表示2个a相乘，所以a2一定比2a大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】a2表示2个a相乘，2a表示2与a相乘，可以假设a＝2、a＝1和a＝3这几种情况，分别计算出结果再进行比较；据此解答。 但a2与2a的大小取决于a的大小， 2a＝2×2＝4；如果a＝1，a2＝1，2a＝2，1＜2，那么a2＜2a，；如果a＝3，a2＝3×3＝9，2a＝2×3＝6，9＞6，那么a2＞2a，不能确定a2与2a的大小。 【规范解答】由分析可知：如果a＝2，那么a2＝2×2＝4，2a＝2×2＝4，此时a2＝2a；如果a＝1，那么a2＝1×1＝1，2a＝2×1＝2，此时a2＜2a；如果a＝3，那么a2＝3×3＝9，2a＝2×3＝6，此时a2＞2a；所以a2表示2个a相乘，但不能确定a2一定比2a大，原题干说法错误。 故答案为：× $$