1.4解直角三角形 课时作业 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

1.4解直角三角形 一、单选题（共8题） 1．如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知， ，则的值是(    ) A． B． C． D． 2．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．如图，一根米长的竹竿斜靠在墙边，倾斜角为，当竹竿的顶端下滑到点时，底端向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的高．若，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 6．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为（    ） A． B． C．2 D． 7．如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共6题） 9．如图，菱形的边长为，，，则菱形的面积为 ． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，则AB的长为 ． 11．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ． 12．在中，． （1）若，，则 ， ， ； （2）若，，则AC的长为 ； （3）若，，则BC的长为 ． 13．如图，在菱形中， ，M，N分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点D，当时，的值为 ． 14．如图，在中，，则的长为 ． 三、解答题（共4题） 15．正确的握笔姿势对学生的学习和成长都很重要，如图1是某学生的正确握笔姿势，其示意图如图2．笔杆与纸面所成的角α为53°，笔杆AB长20cm，求笔杆顶部离纸面竖直高度BC．（参考数据：，，） 16．如图，在中，，于点D，，求与的值．    17．如图，在中，，求和的长． 18．如图，是锐角三角形，，，，求和的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《解直角三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D D B B B A 1．C 【分析】在中，得出，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ， ∴， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 2．D 【分析】先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：在中， ， ． ， ． ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 3．D 【分析】根据三角函数得出，进而得出，利用解答即可． 【详解】解：一根米长的竹竿斜靠在墙边，倾斜角为，， ， 米， 同理可得米， 米， 故选：D． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得出，的长解答． 4．D 【分析】连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的余弦值． 【详解】解：如图，连接．则，． 都是正方形的对角线， ． ∴，． ，是直角三角形． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 5．B 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，根据已知易得，从而可得，再根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的面积， 故选：B． 6．B 【分析】先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得∠OAB=60°，利用旋转的性质和等边三角形的判定与性质证明和为等边三角形得到即可求解. 【详解】解：对于， 当时，，当时，由得：， 则A（1，0），B（0，）， ∴，， ∴，则∠OAB=60°， 由旋转性质得：，，， ∴是等边三角形， ∴，又 ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是等边三角形是解答的关键． 7．B 【分析】根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】∵， ∴． 设，则． 由折叠的性质可知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则． ∵，即， ∴（舍去负值）， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键． 8．A 【分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键． 9． 【分析】本题考查菱形，锐角三角形函数的知识，解题的关键是根据题意，则，，求出，再根据菱形的面积公式，即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 故答案为：． 10．6 【分析】根据已知可得∠A＝30°，从而得∠ABC＝60°，然后利用角平分线的性质求出∠DBC＝30°，进而在Rt△BDC中，求出BC，最后求出AB即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝30°， 在Rt△BDC中，CD， ∴tan30°， ∴BC3， ∴AB＝2BC＝6， ∴AB的长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 11． 【分析】过点作于点E．由题意即得出四边形为菱形，从而得出，．再根据正弦的定义可求出，最后由菱形的面积公式计算即可． 【详解】如图，过点作于点E． 由题意可知四边形为菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 12． 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数的定义、解直角三角形等知识，掌握三角函数的定义成为解题的关键 （1）先根据勾股定理求得的长，然后根据三角函数的定义即可解答； （2）先运用正弦的定义求得，然后再运用勾股定理即可解答； （3）直接运用正弦的定义解答即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴, ∴，，． 故答案为：、、． （2）∵，， ∴,即，解得：， ∴． 故答案为． （3）∵，， ∴，即，解得：． 故答案为：． 13． 【分析】延长交于点H，利用折叠性质得出，从而判断，再设出，分别表示出各个线段的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形沿翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，得出． 14．/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 15．16cm 【分析】根据三角函数正弦的定义求解． 【详解】解：由题意：，，    答；笔杆顶部离纸面竖直高度BC的长为16cm． 【点睛】本题考查锐角确函数的定义及解直角三角形知识；熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 16．， 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解此题的关键是掌握锐角三角函数的定义．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． 17．， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 18．， 【分析】过作于点，利用面积公式求出高的长，从而求出、的长，再根据勾股定理求出的长，之后直接解直角三角函数求和即可． 【详解】过作于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，． 【点睛】本题考查三角函数，注意辅助线的添加法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$