第十五章 轴对称（课件）2025-2026学年人教版八年级数学上册

习题 15.3 R·八年级上册 1 1.（1）等腰三角形的一个角是 110°，它的另外两个角是多少度？ 【教材P84习题15.3 第1题】 复习巩固 解：（1）∵等腰三角形的一个角是110°，内角和为180°， ∴这个角只能是顶角. ∴它的另外两个底角的度数为 (180° – 110°)÷2 = 35°. （2）等腰三角形的一边长是 8，周长是 18，它的另外两边长是多少？ （2）分两种情况讨论： ①当长是8的边为底边时，两腰长均为(18 – 8)÷2 = 5，此时三边长为 5，5，8，符合三角形三边关系； ②当长是 8 的边为腰时，底边长为 18 – 8×2 = 2，此时三边长为8，8，2，符合三角形三边关系. 综上所述，它的另外两边长分别是 5，5 或 2，8. 2. 如图，AD // BC，BD 平分∠ABC. 求证 AB = AD. 【教材P84习题15.3 第2题】 证明：∵AD // BC， ∴∠CBD = ∠ADB. ∵BD 平分∠ABC， ∴∠CBD =∠ABD. ∴∠ADB =∠ABD. ∴AB = AD(等角对等边). 3. 如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是 36°. 求∠AMB的度数 . 【教材P84习题15.3 第3题】 解：如图. ∵五角星的五个角都是 顶角为 36°的等腰三角形， ∴∠A = 36°. ∴∠AMN = (180°– 36°)÷2 = 72°. ∴∠AMB = 180° –∠AMN = 180° – 72° = 108°. 4. 如图，在△ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，AB = AC，AD = AE. 求证 BD = CE. 【教材P84习题15.3 第4题】 证明：∵AB = AC，∴∠B =∠C. ∵AD = AE，∴∠ADE =∠AED， ∴∠ADB =∠AEC. ∴△ABD≌△ACE（AAS）. ∴BD = CE. 5. 如图，∠A =∠B = 60°，CE // DA，CE 交AB 于点 E. 求证：△CEB 是等边三角形 . 【教材P84习题15.3 第5题】 证明：∵CE // DA， ∴∠CEB =∠A = 60°. 又∠B = 60°， ∴∠BCE =∠B =∠CEB = 60°. ∴△CEB 是等边三角形. 6. 如图，AB = AC，∠A = 40°，AB的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D. 求∠DBC 的度数 . 【教材P84习题15.3 第6题】 解：∵AB = AC，∠A = 40°， ∴∠ABC =∠ACB = (180° – 40°)÷2 = 70°. ∵MN 是 AB 的垂直平分线， 点 D 在 MN 上， ∴DA = DB. ∴∠ABD =∠A = 40°. ∴∠DBC =∠ABC –∠ABD = 70°– 40° = 30°. 7. 如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB = AC，立柱 AD ⊥ BC，顶角∠BAC = 120°. AD 与 AB 有什么数量关系？ 【教材P85习题15.3 第7题】 解：∵AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B =∠C = (180°–∠BAC) = 30°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB = 90°. ∴AD = AB. 8. 某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平： 【教材P85习题15.3 第8题】 综合运用 在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的. 他们的方法对吗？为什么？ 解：他们的方法是对的. 理由： ∵等腰直角三角尺的斜边贴在房梁上，O 是 AB 的中点，线绳经过点 C， ∴OC 是等腰直角三角形 ABC 的中线，且OC⊥AB（房梁）. 又 OC 是铅垂线，它垂直于地面， ∴房梁平行于地面，即房梁是水平的. ∴他们的方法是对的. 9. 上午 8 时，一条船从海岛 A 出发，以 15 n mile/h 的速度向正北航行，10 时到达海岛 B 处 . 从 A，B 望灯塔 C，测得∠NAC = 42°，∠NBC = 84°. 求海岛 B 与灯塔 C 的距离 . 【教材P85习题15.3 第9题】 解：∵船从海岛 A 出发，2 h 后到达海岛 B， ∴ AB = (10 – 8)×15 = 30 (n mile). ∵∠NAC = 42°，∠NBC = 84°， 且∠NBC 是△ABC 的一个外角， ∴∠BCA =∠NBC –∠NAC = 84° – 42° = 42°. ∴∠NAC =∠BCA. ∴BC = AB = 30 n mile. 答：海岛 B 与灯塔 C 的距离是 30 n mile. 10. 如图， △ABC 是等边三角形，E 是边 AC 上的点，且∠1 =∠2，CD = BE. 判断△ADE 的形状，并说明理由. 【教材P85习题15.3 第10题】 解：△ ADE 是等边三角形. 理由如下： ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB = AC，∠BAE = 60°. 又∠1 =∠2，BE = CD， ∴△ABE≌△ACD（SAS）. ∴AE = AD，∠CAD =∠BAE = 60°. ∴△ADE 是等边三角形. 11. 如图，△ ABD，△AEC 都是等边三角形 . 求证 BE = DC. 【教材P85习题15.3 第11题】 证明：∵△ABD，△AEC 都是等边三角形， ∴AD = AB，AC = AE，∠DAB =∠CAE = 60°. ∴∠DAB +∠BAC =∠CAE +∠BAC， 即∠DAC =∠BAE. 在△DAC 和△BAE 中， AD = AB， ∠DAC = ∠BAE， AC = AE， ∴△DAC≌△BAE（SAS）. ∴BE = DC. 12. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 30°，AD⊥AB，交 BC 于点 D. 若 AD = 2，求 BC 的长 . 【教材P86习题15.3 第12题】 解：∵AD⊥AB，∴∠BAD = 90°. 又∠B = 30°， ∴BD = 2AD = 2×2 = 4，∠ADB = 60°. ∵AB = AC，∴∠C =∠B = 30°. ∴∠DAC =∠ADB –∠C = 30°=∠C. ∴CD = AD = 2. ∴BC = BD + CD = 4 + 2 = 6. 13. 如图，P，Q 是△ABC 的边 BC 上的两点， 并且 BP = PQ = QC = AP = AQ. 求∠BAC 的度数. 【教材P86习题15.3 第13题】 解：∵PQ = AP = AQ， ∴△APQ 为等边三角形. ∴∠PAQ = ∠APQ =∠AQP = 60°. 又 BP = AP，∴∠B = ∠BAP. ∵∠B +∠BAP =∠APQ = 60°， ∴∠BAP = 30°. 同理可得，∠CAQ = 30°， ∴∠BAC =∠BAP +∠PAQ +∠CAQ = 30° + 60° + 30° = 120°. 14. 等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论. 你还能发现其他结论吗？ 【教材P86习题15.3 第14题】 拓广探索 解：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等. 其他结论：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等；等腰三角形两底角的平分线与底边可形成一个等腰三角形（答案不唯一）. 下面证明第一个结论. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB. 求证：CD=BE. 证明：∵AB = AC，∴∠DBC =∠ECB. 又 BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB. ∴∠1 =∠2. 在△BDC 和△CEB 中， ∠DBC = ∠ECB， BC = CB， ∠2 = ∠1， ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴CD = BE. 15. 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户 . 如果∠C = 90°，∠B = 30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来 . 【教材P86习题15.3 第15题】 解：如图，作∠CAB 的平分线，交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥ AB，垂足为 E. 则△ABC 就分成了三个大小、形状都相同的三角形，即△AED，△ACD 和△BED. D E $$习题 15.1 R·八年级上册 1 1. 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴 . 【教材P69习题15.1 第1题】 复习巩固 不是轴对称图形. 2. 图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？如果把 4 个三角形看成一个整体，它是轴对称图形吗？共有几条对称轴？ 【教材P69习题15.1 第2题】 解：有阴影的三角形与三角形 1、三角形 3 都成轴对称. 整个图形是轴对称图形，它共有 2 条对称轴. 3. 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，∠B = 90°，A′B′= 6. 求∠B′的度数和AB的长 . 【教材P70习题15.1 第3题】 解：∵△ABC和△A'B'C' 关于直线 l 对称， ∴△ABC≌△A'B'C'. ∴∠B' =∠B = 90°， AB = A'B' = 6. 4. 如图，△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3，△ABD 的周长为 13. 求△ABC 的周长 . 【教材P70习题15.1 第4题】 解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴DA = DC，AC = 2AE = 2×3 = 6. ∵△ABD 的周长为 13， ∴AB + BD + DA = 13. ∴AB + BC + AC = AB + BD + DC + AC = AB + BD + DA + AC = 13 + 6 = 19， ∴△ABC的周长为19. 5. 如图，AB = AC，DB = DC，点 E 在 AD 上 . 求证 EB = EC. 【教材P70习题15.1 第5题】 证明：如图，连接 BC. ∵AB = AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上. ∵DB = DC， ∴点 D 也在线段 BC 的垂直平分线上. ∴直线 AD 是线段 BC 的垂直平分线. 又点 E 在 AD 上，∴EB = EC. 6. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题 . 这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两直线平行； 【教材P70习题15.1 第6题】 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 该逆命题成立. （2）如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等. 该逆命题不成立. 逆命题：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等. 该逆命题成立. （3）全等三角形的对应边相等 . 7. 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，作出它的一条对称轴 . 【教材P70习题15.1 第7题】 综合运用 不是轴对称图形. 8. 如图，AD与BC相交于点O，OA = OC，∠A = ∠C，BE = DE. 求证：OE垂直平分BD. 【教材P70习题15.1 第8题】 证明：在△AOB 和△COD 中， ∠A =∠C， OA = OC， ∠AOB = ∠COD， ∴△AOB≌△COD（ASA）. ∴OB = OD. ∴点 O 在线段 BD 的垂直平分线上. ∵BE = DE，∴点 E 也在线段 BD 的垂直平分线上. ∴OE 是线段 BD 的垂直平分线. ∴OE 垂直平分 BD. 9. 如图，分别以线段 a，c 为一直角边和斜边，作直角三角形 . 【教材P71习题15.1 第9题】 解：如图，△ABC就是所求作的直角三角形. 10. 如图，某地由于居民增多，要在公路 l 上增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？ 在图上标出它的位置 . 【教材P71习题15.1 第10题】 解：如图，这个公共汽车站应建在 A，B 连线的垂直平分线与公路 l 的交点 C 处. 11. 如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，对应线段 AB 和 A′B′所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴 l 有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴 l 有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？ 【教材P71习题15.1 第11题】 解：对应线段 AB 和 A'B' 所在的直线相交，对应线段 BC 和 B'C' 所在的直线也相交，交点均在对称轴 l 上； 对应线段 AC 和 A'C' 所在的直线不相交，且这组对应线段所在直线与对称轴 l 平行. 规律：两个图形关于某条直线对称，它们的对应线段所在直线如果相交，那么交点一定在这条对称轴上；如果不相交，对应线段所在直线重合或与对称轴平行. 12. 如图，电信部门要在 S 区修建一座电视信号发射塔 . 按照设计要求，发射塔与两个城镇 A，B 的距离相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也相等 . 发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置 . 【教材P71习题15.1 第12题】 拓广探索 解：发射塔应修建在 AB 的垂直平分线与 m 和 n 所夹锐角的平分线的交点处. 如图，点 P 即为符合条件的发射塔修建处. 13. 如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P. 【教材P71习题15.1 第13题】 （1）求证 PA = PB = PC. （2）点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 证明：（1）证明：∵边 AB，BC 的垂直平分线交于点 P，∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. ∴PA = PB. 同理，PB = PC. ∴PA = PB = PC. （2）解：由（1）知 PA = PC， ∴点 P 也在边 AC 的垂直平分线上. 由此可得出结论： 三角形三边的垂直平分线交于一点. $$习题 15.2 R·八年级上册 1 1. 如图，将各图形补成关于直线 l 对称的图形. 【教材P75习题15.2 第1题】 复习巩固 2. 在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称 . 【教材P75习题15.2 第2题】 3. 如图，以正方形 ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系 . 点 A 的坐标为（1，1），写出点 B，C，D 的坐标. 【教材P76习题15.2 第3题】 解：点 B（–1，1），点 C（–1，–1）， 点 D （1，–1）. 4. 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特 点，分别画出△ABC 关于 x 轴和 y 轴对称的图形 . 【教材P76习题15.2 第4题】 解：作图如图所示， △AB1C1 与△ABC 关于 y 轴对称， △A2B2C2 与△ABC 关于 x 轴对称. 5. 根据下列点的坐标的变化，判断它们进行了怎样的变化 . （1）(–1，3) → (–1，–3) ； （2）(–5，–6) → (–5，–1) ； （3）(3，4) → (–3，4) ； （4）(–2，3) → (2，–3) . 【教材P76习题15.2 第5题】 综合运用 关于 x 轴对称. 答案不唯一 向上平移5个单位长度. 关于 y 轴对称. 先关于 x 轴对称，再关于 y 轴对称. 6.如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的 方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点 . 如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹 . 【教材P76习题15.2 第6题】 解：用坐标描述这个运动为 (3，0) → (0， 3) → (1，4) → (5，0) → (8，3) → (7，4) → (3，0) ； 其中关于直线 l 对称的点有 (3，0) 与 (5，0)，(0，3) 与 (8，3)，(1，4) 与 (7，4) . 起始点位于 (1，0 )处时，小球运动的轨迹如图所示. 7. 如图，已知点 A，B，C，请你再找一个点 D，使 A，B，C，D 四点构成一个轴对称图形 . 这样的点 D 有几个？ 【教材P76习题15.2 第7题】 解：如图，这样的格点 D 有 2 个. D1 D2 8. 如图，分别作出△PQR 关于直线 m (直线 m 上各点的横坐标都为 1) 和直线 n (直线 n 上各点的纵坐标都为 –1)对称的图形. 它们的对称点的坐标之间分别有什么关系？ 【教材P77习题15.2 第8题】 拓广探索 解：如图. 在平面直角坐标系中，△PQR 与△P1Q1R1 关于直线 m 对称， △PQR 上的点(x，y)与△P1Q1R1 上的对应点(x1，y1)的关系为 x1 = –x + 2，y1 = y. △PQR 与△P2Q2R2 关于直线 n 对称， △PQR 上的点(x，y)与△P2Q2R2 上的对应点(x2，y2)的关系为 x2 = x，y2 = –y – 2. $$