28.5 弧长和扇形面积的计算 课件 2024-2025学年 冀教版九年级数学上册

28.5 弧长和扇形面积的计算 学习目标 1.理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程。 2.掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。 1.半径为3cm的圆的周长是_____cm，面积是_____cm2. 2.如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，则小圆扫过的阴影部分的面积为__________. 知识预备 在田径4×100米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？你知道这是为什么吗？ 情境导入 如何计算“弯道的展直长度”呢? 圆上任意两点间的部分叫弧。分为优弧和劣弧。 弧是圆的一部分，你会求弧的长度吗？ （1）半径为R的圆的周长是多少？半圆呢？四分之一圆呢？ 探究新知 R （3） 1°的圆心角所对的弧长是多少？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ （4） n° 的圆心角所对的 弧长是多少？ R 360° 我们能否根据圆的周长公式去发现圆的弧长公式呢? 在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为： 总结归纳 (1) 应用公式时“n” 和“180”不应写单位． (2) 题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长． (3) 在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求第三个量． 注意 新课导入 问题1 ：如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题2：怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 探究新知 O r 活动一：探索弧长的计算方法 问题1 半径为r的圆,周长是多少？ 问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? 探究新知 图形 扇形圆心角 180° 90° 45° n° 圆心角与圆周角的比例 圆心角所对弧长与圆周长比例 弧长 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为________________________. n° 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义． n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 延伸 弧长与哪些因素有关？ ______大小不变时，对应的弧长大小与______有关，_____越大，弧长越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，对应的弧 长大小与 有关， 越大， 弧长越大. 圆心角 半径 圆心角 O ● A B C D O ● A B D C E F 例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长度（结果精确到0.1mm）. 110° A B 40mm 半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为 探究新知 用弧长公式计算时，要注意公式中n的意义， n表示 圆心角的倍数，它是不带单位的。 注意： 1. 等弧的弧长相等。（ ） 2. 弧长相等的两条弧是等弧。（ ） 3. 若圆的半径扩大为原来的两倍，圆弧所对的圆周角 缩小为原来的 ，则弧长不变。（ ） 判断对错 × √ √ 弧长相等只需长度相等，弧所对的圆心角 不一定相等，所在圆的半径也不一定相等。 典例讲解 例1 已知 的半径为30cm,求40°的圆心角所对的弧长（精确到0.1cm）。 解： 变式： 已知 中80°的圆心角所对的弧长为48cm，求 的半径。 解： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。 什么是扇形？ 探究新知 扇形 半径 圆心角 弧 半径 O A B O 扇形的表示：如图为扇形OAB或扇形OBA。 （圆心必在第一个） O 半径 半径 圆心角 弧 B A O A B 扇形 如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形. 扇形的定义： 图形 扇形圆心角 180° 90° 45° n° 圆心角与圆周角的比例 圆心角所对扇形面积与圆面积比例 扇形面积 如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为 S扇形=___________________. 扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？ O A B 扇形 半径 圆心角 半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，面积越大. 圆心角不变时，扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 概念学习 R 知识要点 扇形面积公式 半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= . 2、一个扇形的弧长是 ,扇形的半径为2，则扇形面积是_____. 3、一个扇形的弧长是 ,扇形的半径为1，则扇形面积是_____. 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 类比学习 A B 归纳：已知S扇形，l，n，R四个量中的任意两个量，可以求出另外两个量． 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积. （精确到0.01m2） O . B A 课堂小结 $$