1.2集合间的基本关系9题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.2 集合间的基本关系9题型分类 课程标准 学习目标 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; ②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。 1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。 2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。 3. 能利用Venn图表达集合间的关系。 4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。 一、子集、真子集、集合相等的相关概念 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 二、空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 三、集合关系的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 2.对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC. 3.若A⊆B，A≠B，则AB. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 四、Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． （一） 集合间的关系判断 1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2、判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 题型1：判断集合间的关系 1．（2025高一·全国月考）观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ①； ② C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合 ③是两条边相等的三角形}，是等腰三角形}. 2．（2025高一·全国月考），A、B、C之间有什么关系？ 3．（2025高一·全国月考）用正确的符号填空： ① ；② ；③1 ；④ 4．（2025高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 5．（2025高一·广东广州月考）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一·全国月考）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一·全国月考）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 8．【多选】（25-26高一·全国月考）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， （二） 子集、真子集 1、求集合子集、真子集个数的3个步骤 2、子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型2：求集合的子集、真子集 9．（2025高一·全国月考）写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 10．（2025高一·西藏拉萨·期中）已知集合，则集合的子集为 ． 11．（2025高一·全国月考）已知，，集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·全国月考）（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 13．【多选】（2025高一·广东东莞月考）若，则（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2025高一·山西太原月考）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 题型3：根据集合中的元素的个数求子集、真子集的个数 15．（25-26高一·全国月考）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2025·辽宁模拟预测）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 17．（2025高三·云南昆明月考）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 18．（2025·甘肃平凉模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 19．【多选】（2025高一·吉林松原月考）已知集合满足，则集合的子集个数可能是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 20．【多选】（2025高一·海南儋州月考）下列结论正确的是（    ） A．的子集有个 B．的真子集有个 C．符合条件的有个 D．集合的非空真子集有个 21．（2025高一·全国月考）集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 22．（2025高三·全国·中职高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 题型4：根据子集、真子集个数求参数 23．【多选】（2025高三·河北邢台·期末）已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 24．【多选】（2025高一·全国月考）集合有且仅有两个子集，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 25．【多选】（2025高一·河北保定月考）若集合恰有两个子集，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 26．（2025高一·甘肃酒泉·期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） （三） 集合的相等与空集 1、两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 题型5：判断两个集合是否相等 27．（2025高一·全国月考）若， (1)如何从元素的角度判断两个集合与的关系？ (2)如何从子集的角度判断集合与的关系? 28．（2025高一·湖北宜昌月考）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 29．（25-26高一·全国月考）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（2025高二·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一·全国月考）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 题型6：根据两个集合相等求参数 32．（2025·河北衡水模拟预测）设集合，，若，则 . 33．（2025高二·吉林四平月考）已知集合，若，求实数q的值． 34．（2025高一·全国月考）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 35．【多选】（2025高一·广西月考）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 36．【多选】（2025高一·福建福州月考）已知a，，集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 37．【多选】（2025高一·全国月考）已知集合，集合，且，则实数等于（    ） A．2 B． C． D．4 题型7：空集的概念及判断 38．【多选】（2025高一·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 39．【多选】（2025高一·广东广州月考）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 40．【多选】（2025高一·陕西宝鸡月考）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 41．【多选】（2025高一·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 题型8：空集的性质及应用 42．【多选】（2025高二·山西晋中月考）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 43．【多选】（2025·广东肇庆模拟预测）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 44．（2025高一·全国月考）已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是 . 45．（2025高二·上海闵行月考）不等式组的解集为，则实数的取值范围是 . （四） 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型9：利用集合的包含关系求参数问题 46．（2025高一·全国月考）设集合，且，则的值为 . 47．（2025高一·全国月考）已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 48．（2025高一·安徽滁州月考）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 49．【多选】（2025高三·全国月考）(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 50．【多选】（2025高一·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 51．【多选】（2025高一·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 52．【多选】（2025高一·江苏无锡·期中）当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”．对于集合，，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 一、单选题 1．（2025高一·四川自贡·期中）已知，，且，满足这样的集合的个数（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2025高一·广西河池月考）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·辽宁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8个 B．4个 C．2个 D．1个 4．（2025·新疆乌鲁木齐模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高一·浙江衢州·期末）已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 6．（2025高一·全国月考）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国月考）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 8．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·江苏盐城·期中）若集合，，则集合A与B的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 10．（2025·宁夏银川模拟预测）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河南模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 12．（2025高一·辽宁月考）已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国月考）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 14．（2025高一·四川眉山·期中）已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 15．（2025高一·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·四川模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山西模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（河北省邯郸市涉县第一中学2025-2026学年高一学期10月月考数学试题）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 19．（2025高一·河南郑州月考）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 20．（2025高二·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 二、多选题 21．（2025高三·全国月考）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 22．（2025高一·河北石家庄月考）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 23．（2025高一·全国·课前预习）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 25．（2025·江西模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 26．（2025高一·江苏南通月考）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 三、填空题 27．（2025高一·上海宝山·期中）已知集合，且，则实数a的值是 ． 28．（2025高一·江苏月考）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 29．（2025高三·辽宁葫芦岛月考）已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为 ． 30．（2025高二·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 31．（2025高一·湖南永州月考）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 32．（2025高一·安徽淮南月考）已知集合，求 ． 33．（2025高一·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 . 34．（2025高一·广东汕头·期中）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 . 35．（2024高一·全国月考）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 36．（2025高二·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 37．（2025高二·上海·竞赛）.设，，若，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 38．（2025高一·广东东莞·期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 39．（2025高一·海南儋州·期中）写出集合的所有子集和它的真子集. 40．（2025高一·上海月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 41．（2025高一·上海奉贤·期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.2 集合间的基本关系9题型分类 课程标准 学习目标 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; ②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。 1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。 2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。 3. 能利用Venn图表达集合间的关系。 4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。 一、子集、真子集、集合相等的相关概念 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 二、空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 三、集合关系的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 2.对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC. 3.若A⊆B，A≠B，则AB. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 四、Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． （一） 集合间的关系判断 1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2、判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 题型1：判断集合间的关系 1．（2025高一·全国月考）观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ①； ② C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合 ③是两条边相等的三角形}，是等腰三角形}. 【答案】答案见解析 【分析】根据子集和真子集的概念逐个判断. 【解析】①，因为，所以集合是集合的真子集； ②，因为，所以集合是集合的真子集； ③，因为两条边相等的三角形是等腰三角形，所以. 2．（2025高一·全国月考），A、B、C之间有什么关系？ 【答案】（子集符号也可以写出真子集）. 【分析】根据包含关系分析判断. 【解析】因为，可知， 所以（子集符号也可以写出真子集）. 3．（2025高一·全国月考）用正确的符号填空： ① ；② ；③1 ；④ 【答案】 = 【分析】根据集合之间的关系逐项判断即可. 【解析】①集合中的元素具有无序性，故； ②空集是任何元素的子集，故； ③元素和集合之间是属于和不属于的关系，故； ④集合包含于集合，故. 故答案为：=；；；. 4．（2025高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【答案】(1)无包含关系 (2) (3) (4) (5)A＝B 【分析】（1）由集合A和集合B的代表元素判断； （2）利用数轴求解判断； （3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断； （4）由n∈N*判断； （5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断. 【解析】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z， 因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. 5．（2025高一·广东广州月考）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【解析】显然，，①③正确； 集合中的元素为一个式子，集合中的元素为数，②错误 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：C 6．（25-26高一·全国月考）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【解析】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 7．（25-26高一·全国月考）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【解析】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 8．【多选】（25-26高一·全国月考）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据各选项集合的包含关系得到不等式组，判断不等式组的解的情况，即可得解. 【解析】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD （二） 子集、真子集 1、求集合子集、真子集个数的3个步骤 2、子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型2：求集合的子集、真子集 9．（2025高一·全国月考）写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【答案】子集为，，，.真子集为，，. 【解析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【解析】集合的所有子集为,,,.真子集为,,. 【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型. 10．（2025高一·西藏拉萨·期中）已知集合，则集合的子集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解法，求得集合，结合子集的概念，即可求解. 【解析】由集合， 则集合的子集为. 故答案为：. 11．（2025高一·全国月考）已知，，集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由集合子集定义验证各选项即可得答案. 【解析】A选项，若集合，则满足，A正确； B选项，若集合，则满足，B正确； C选项，若集合，则满足，但不是的子集，C错误； D选项，若集合，则满足，但不是的子集，D错误． 故选：AB 12．（2025高一·全国月考）（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】写出集合的所有子集即可得解. 【解析】集合的子集为． 故选：ABD 13．【多选】（2025高一·广东东莞月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集的定义即可得解. 【解析】因为， 所以或或. 故选：ABC. 14．【多选】（2025高一·山西太原月考）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集的概念进行求解. 【解析】因为⫋，故或或， ABC正确，D错误. 故选：ABC 题型3：根据集合中的元素的个数求子集、真子集的个数 15．（25-26高一·全国月考）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 16．（2025·辽宁模拟预测）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到答案. 【解析】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 17．（2025高三·云南昆明月考）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【解析】因为， 故子集个数为， 故选：C. 18．（2025·甘肃平凉模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【解析】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 19．【多选】（2025高一·吉林松原月考）已知集合满足，则集合的子集个数可能是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】ABC 【分析】根据题意可得集合中的元素个数可能是，从而可求解 【解析】由题意可知集合中的元素个数可能是， 则集合的子集个数可能是，，，故A、B、C正确. 故选：ABC. 20．【多选】（2025高一·海南儋州月考）下列结论正确的是（    ） A．的子集有个 B．的真子集有个 C．符合条件的有个 D．集合的非空真子集有个 【答案】AC 【分析】利用若集合中有个元素，则集合中有个子集，有个真子集，有个非空真子集，即可判断出选项A，B和D的正误；选项C，根据条件，直接列出集合，即可求解. 【解析】因为若集合中有个元素，则集合中有个子集，有个真子集，有个非空真子集， 对于选项A，，中有个元素，所以的子集有个，故选项A正确， 对于选项B，，中有个元素，所以的真子集有个，故选项B错误， 对于选项C，因为，所以符合条件的有，，，，，，，，共8个，故选项C正确， 对于选项D，集合中有个元素，所以集合的非空真子集有个，故选项D错误， 故选：AC. 21．（2025高一·全国月考）集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】B 【分析】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有个元素的集合的真子集的个数是个． 【解析】，集合A含有4个元素，真子集的个数是， 故选：B． 22．（2025高三·全国·中职高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可. 【解析】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素， 依次有以下可能：七种可能. 故选：C 题型4：根据子集、真子集个数求参数 23．【多选】（2025高三·河北邢台·期末）已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】AC 【分析】集合恰有两个子集，则集合有1个元素，问题转化为方程组有一个的实数解即可. 【解析】由，可得由题可知中只有一个元素. 当时，解得，此时，符合题意； 当时，即，则或是方程的解. 当是方程的解时，解得，此时，符合题意； 当是方程的解时，无解.故或4. 故选：AC. 24．【多选】（2025高一·全国月考）集合有且仅有两个子集，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AD 【分析】依题意集合有且仅有一个元素，分和两种情况讨论，当时，分别计算可得. 【解析】集合表示关于的方程的解集， 又集合有且仅有两个子集，所以集合有且仅有一个元素， 当，即时，由，解得，即，符合题意； 当，即时，则，解得，此时，符合题意； 综上可得，或. 故选：AD 25．【多选】（2025高一·河北保定月考）若集合恰有两个子集，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】AB 【分析】根据集合为单元素集，即可分类对讨论求解. 【解析】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素， 当时，，符合要求， 当时，，此时，符合要求， 故或， 故选：AB 26．（2025高一·甘肃酒泉·期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案. 【解析】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. （三） 集合的相等与空集 1、两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 题型5：判断两个集合是否相等 27．（2025高一·全国月考）若， (1)如何从元素的角度判断两个集合与的关系？ (2)如何从子集的角度判断集合与的关系? 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求出集合，观察两集合中的元素的关系可判断； （2）求出集合，由两集合之间的包含关系分析判断. 【解析】（1）集合， 所以两个集合中的元素完全相同，这两个集合相等； （2）集合，集合中的元素都属于集合， 所以集合是的子集； 反之，集合中元素都属于集合， 所以集合是子集， 即两个集合互为子集，这两个集合相等. 28．（2025高一·湖北宜昌月考）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断. 【解析】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误； 故选：C. 29．（25-26高一·全国月考）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【解析】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 30．（2025高二·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【解析】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 31．（25-26高一·全国月考）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【解析】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 题型6：根据两个集合相等求参数 32．（2025·河北衡水模拟预测）设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【解析】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 33．（2025高二·吉林四平月考）已知集合，若，求实数q的值． 【答案】 【分析】由集合相等的定义一一讨论元素对应关系即可. 【解析】由元素的互异性得， 若，则有以下两种情况： ①，不符合题意舍去； ②或（舍去）， 综上，. 34．（2025高一·全国月考）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 35．【多选】（2025高一·广西月考）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可. 【解析】因为，所以或解得或则或. 故选：BC 36．【多选】（2025高一·福建福州月考）已知a，，集合，，若，则的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】利用相等集合的概念及集合元素的性质即可得出结论. 【解析】，，， 或，解得或或， 当，时，，，符合题意，， 当，时，，不符合集合元素的互异性，故舍去， 当，时，，，符合题意， 故选：CD. 37．【多选】（2025高一·全国月考）已知集合，集合，且，则实数等于（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】AB 【分析】依题意可得，解得即可. 【解析】因为集合，集合，且， 所以，解得或. 故选：AB 题型7：空集的概念及判断 38．【多选】（2025高一·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【解析】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 39．【多选】（2025高一·广东广州月考）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】ABD由空集定义可判断选项正误；C由集合间关系可判断选项正误. 【解析】对于A，空集中不含元素，则，故A错 对于B，空集是任意集合的子集，则，故B对； 对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C错； 对于D，对于方程，， 故方程无解，即，故D对. 故选：BD 40．【多选】（2025高一·陕西宝鸡月考）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得. 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 41．【多选】（2025高一·河南南阳·期中）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【解析】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 题型8：空集的性质及应用 42．【多选】（2025高二·山西晋中月考）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【答案】ABC 【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断． 【解析】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 43．【多选】（2025·广东肇庆模拟预测）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 【答案】ABC 【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断． 【解析】，若，则，且，故A正确. 时，，故D不正确. 若，则且，解得，故B正确. 当时，，解得或，故C正确. 故选：ABC． 44．（2025高一·全国月考）已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是 . 【答案】m≥1 【解析】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1. 故答案为m≥1 45．（2025高二·上海闵行月考）不等式组的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分两种情况讨论，分别检验是否满足条件，从而得出结论． 【解析】解：∵不等式组的解集为， ①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件； ②当时，由求得；由，求得， 若，即时，不等式组的解集为，满足条件； 若，即时，不等式组的解集为，不满足条件， 综上可得实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． （四） 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型9：利用集合的包含关系求参数问题 46．（2025高一·全国月考）设集合，且，则的值为 . 【答案】或. 【分析】由，得到或，求得或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【解析】由，可得或，解得或， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，，此时满足，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 47．（2025高一·全国月考）已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解. 【解析】由集合， 若时，可得，此时满足； 若时，要是得到，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 48．（2025高一·安徽滁州月考）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【解析】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. 49．【多选】（2025高三·全国月考）(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可. 【解析】当时，满足，此时； 当时，，此时， 因为，所以或， 即；或 综上所述，或或， 故选：BCD. 50．【多选】（2025高一·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【解析】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 51．【多选】（2025高一·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 【答案】BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【解析】因是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 故需使或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 52．【多选】（2025高一·江苏无锡·期中）当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”．对于集合，，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】ABD 【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可． 【解析】当时，，此时满足，两个集合之间构成“全食”，符合条件． 当时，，， 当时，，满足，构成“全食”，此时； 当时，，构成“偏食”，此时． 综上所述，a的取值集合为． 故选：ABD. 一、单选题 1．（2025高一·四川自贡·期中）已知，，且，满足这样的集合的个数（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由集合间的基本关系，对集合中元素个数进行分类讨论，列举出所有可能即可得出结果. 【解析】根据题意可知，集合还应包含集合中除元素1，2之外的其他元素； 若集合中有三个元素，则可以是； 若集合中有四个元素，则可以是； 若集合中有五个元素，则可以是；即这样的集合的个数为7个. 故选：B 2．（2025高一·广西河池月考）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合与集合间的关系，元素与集合的关系判断即可. 【解析】，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素， ∴不是A的子集。故C不对， 故选：C. 3．（2025高一·辽宁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8个 B．4个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据给定的条件，确定集合中元素即可求解作答. 【解析】因，则有都是集合中元素，4，6都不在中，5可以在中， 因此集合可以是或， 所以满足条件的集合的个数为2. 故选：C 4．（2025·新疆乌鲁木齐模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，利用列举法计数即可. 【解析】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中， 共有4种情况，， 故选：D 5．（2025高一·浙江衢州·期末）已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】列举出集合的子集即可得解. 【解析】因为集合， 所以集合的子集有共个. 故选：C. 6．（2025高一·全国月考）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解. 【解析】由，又且,所以， 故选：B 7．（2025高一·全国月考）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，知集合与集合都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果. 【解析】因为集合，集合， 所以集合与集合都是奇数集，所以， 故选：C. 8．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可. 【解析】由题意知，， 所以. 故选：B. 9．（2025高一·江苏盐城·期中）若集合，，则集合A与B的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据子集和真子集的定义即可判断. 【解析】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中， 所以， 故选：. 10．（2025·宁夏银川模拟预测）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合与集合的关系判断即可. 【解析】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，， 所以不包含于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：A 11．（2025·河南模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【解析】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 12．（2025高一·辽宁月考）已知集合，且，则M可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【解析】由于，,故, 故选：B 13．（2025高一·全国月考）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【解析】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 14．（2025高一·四川眉山·期中）已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（    ） A．4个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【分析】根据题意求出集合A即可. 【解析】因为⫋， 都满足题意，共7个. 故选：B. 15．（2025高一·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【解析】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 16．（2025·四川模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【解析】由，则. 故选：B. 17．（2025·山西模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【解析】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 18．（河北省邯郸市涉县第一中学2025-2026学年高一学期10月月考数学试题）已知集合或，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意，则可以分两种情况来讨论当时，即无解，当时，根据包含关系即可列出不等式组，从而即可求解. 【解析】当时，无解，此时，满足题意； 当时，有解，即， 若，则，所以要使，需满足，解得； 若，则，所以要使，需满足，解得. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 19．（2025高一·河南郑州月考）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 20．（2025高二·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【解析】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时， B中元素个数最多为. 故选：D 二、多选题 21．（2025高三·全国月考）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】由题得B＝，，，，再分四种情况讨论得解. 【解析】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝. 所以B＝，，，. 当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去； 当B＝时，，解得a＝3； 当B＝时，，解得a＝－2； 当B＝时，a＝0. 综上可得实数a的可能取值为3，0，－2. 故选：BCD. 22．（2025高一·河北石家庄月考）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果. 【解析】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 23．（2025高一·全国·课前预习）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解方程组求得的值，得到方程组的解的有序数对，集合M是这个有序数对构成的集合，据此作出判定. 【解析】由解得, 所以， 所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合， 集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误. 故选：． 24．（2025高一·四川眉山·期中）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【解析】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 25．（2025·江西模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【解析】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 26．（2025高一·江苏南通月考）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【解析】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 三、填空题 27．（2025高一·上海宝山·期中）已知集合，且，则实数a的值是 ． 【答案】-3 【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果. 【解析】因为，，， 所以是方程的解， 即，解得. 经检验，符合题意，所以. 故答案为：. 28．（2025高一·江苏月考）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】解方程求出集合可得答案. 【解析】因为，所以或， 又，所以. 故答案为：是. 29．（2025高三·辽宁葫芦岛月考）已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为 ． 【答案】31 【分析】先根据题意得到，从而根据元素个数得到非空子集个数. 【解析】集合，，定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有非空子集的个数为 故答案为：31 30．（2025高二·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【解析】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 31．（2025高一·湖南永州月考）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【解析】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 32．（2025高一·安徽淮南月考）已知集合，求 ． 【答案】 【分析】根据题意可得方程有两个等根，即，从而求出，的值，进而求解即可． 【解析】由集合， 则方程有两个等根， 所以，解得， 所以，解得， 所以，即， 故． 故答案为：． 33．（2025高一·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求参再检验即可. 【解析】因为，所以，解得或， 当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意. 经检验可知符合. 故答案为：-1. 34．（2025高一·广东汕头·期中）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 . 【答案】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【解析】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 35．（2024高一·全国月考）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据或为单元素集，分情况讨论，结合判别式即可求解. 【解析】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论： ①当时，且，解得； ②当为单元素集时，中只有一个元素， 若，则，符合题意， 若，则，解得． 综上，的取值范围是或， 故答案为：或 36．（2025高二·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【解析】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 37．（2025高二·上海·竞赛）.设，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数的单调性求解值域即集合B，按照、、和四种情况分类讨论，根据列不等式求解实数的取值范围即可. 【解析】由在上是增函数，得， 即． 作出的图像，该函数定义域右端点有三种不同情况，如图所示： ①当时，，即， 要使，必须且只需，得，与矛盾． ②当时，，即， 要使，由图可知：必须且只需解得． ③当时，，即， 要使，必须且只需解得． ④当时，，此时，则成立． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 38．（2025高一·广东东莞·期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【解析】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 39．（2025高一·海南儋州·期中）写出集合的所有子集和它的真子集. 【答案】答案见解析. 【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可. 【解析】集合的所有子集为； 集合的所有真子集为. 40．（2025高一·上海月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【解析】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 41．（2025高一·上海奉贤·期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【解析】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. （3）证明：， ， ， ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $$