第07讲 图形的旋转（知识清单+易错+5必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版）

第07讲 图形的旋转 题型梳理 易错分析 易错点一 旋转时忽略旋转方向而出错 题型方法 题型一 旋转的概念 题型二 旋转的性质 题型三 旋转作图 题型四 平面直角坐标系中的旋转 题型五 利用旋转设计图案 知识清单 知识点01.旋转（重点） 旋转的概念 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角． 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． • C′ B′ C B A A′ O 知识点02.旋转的性质（重点） 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）； 要点诠释： １、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． ２、旋转前后图形的大小和形状没有改变． 知识点3.旋转作图（重点） 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　(4)连接所得到的各对应点． 易错分析 【易错点一】旋转时忽略旋转方向而出错 【例1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，将绕点旋转后得到，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·贵州黔东南·期中）如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，若将点A绕点B旋转，得到点，则点的坐标为 ． 【变式3】（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，数轴上点对应实数，线段垂直于数轴，线段的长为2，现将线段绕点旋转90°得到线段，求对应的实数．莉莉看完题目后，写出来如下的解题过程： 解：∵将线段绕点旋转90°得到线段， ∴点在点的右边． 又∵， ∴对应的实数为． 请问莉莉的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 题型方法 【题型一】旋转的概念 【例1】（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东惠州·期中）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转 度． 【变式3】（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【题型二】旋转的性质 【例2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，，交于点．若，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知矩形中，．将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，连接．当 时，． 【变式3】（24-25九年级下·福建泉州·期中）已知点是菱形边的中点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，使点A的对应点E落在线段上，边经过点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型三】旋转作图 【例3】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在正方形网格中，格点的三个顶点坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转，得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，在的网格中建立平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，，点在边上，连接．仅用无刻度的直尺画图． (1)将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； (2)在上确定点，使平分，画出射线． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上． (1)将绕点C按逆时针方向旋转，画出旋转后所得的； (2)将向下平移4个单位长度，画出平移后所得的； (3)线段在平移的过程中扫过区域的面积为____________． 【变式3】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△的顶点都在格点上． (1)把△向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出； (3)试判断与的位置关系． 【题型四】平面直角坐标系中的旋转 【例4】（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则点D的坐标为（　  ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转得到点B，则点B的坐标为 ． 【变式3】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．    (1)画出关于轴对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【题型五】利用旋转设计图案 【例5】（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21七年级上·内蒙古包头·阶段练习）在下列图案中可以用旋转得到的是 （填序号）． 【变式2】分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分． 【变式3】在日常生产生活中，我们常会见到一些由旋转形成的美丽的图案．观察下列的两幅图（图（1）和图（2）），你能说出他们是由什么基本图形绕中心旋转180°设计出来的吗？    好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转，得到，边与边交于点（不在上），则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在中，，，将绕点旋转得到，且点落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广东汕尾·期中）如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 9．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ．    10．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转后，点的坐标为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的，并写出点．、的坐标． 12．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长均为单位1，在方格中作图： (1)将向右平移4个单位得． (2)将绕点顺时针旋转得． (3)如果建立直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为________． 13．（22-23九年级上·江西新余·阶段练习）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 14．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15．（24-25九年级上·云南临沧·期末）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$第07讲 图形的旋转 题型梳理 易错分析 易错点一 旋转时忽略旋转方向而出错 题型方法 题型一 旋转的概念 题型二 旋转的性质 题型三 旋转作图 题型四 平面直角坐标系中的旋转 题型五 利用旋转设计图案 知识清单 知识点01.旋转(重点) 旋转的概念 在平面内,将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心(如点O),转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′). 如图:三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得,则点A和点A′,点B和B′,点C和点C′是对应点,线段AB和AB′,BC和B′C′,AC和A′C′是对应线段,∠AOA′,∠BOB′,∠COC′是旋转角. 要点诠释:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度. • C′ B′ C B A A′ O 知识点02.旋转的性质(重点) 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′); (2)对应线段的长度相等(AB=AB′); (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA′); 要点诠释: 1、图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 2、旋转前后图形的大小和形状没有改变. 知识点3.旋转作图(重点) 在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形. 要点诠释: 作图的步骤: (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心; (2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角); (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点; (4)连接所得到的各对应点. 易错分析 【易错点一】旋转时忽略旋转方向而出错 【例1】(22-23九年级上 全国 单元测试)如图,在中,,,,将绕点旋转后得到,则点的坐标是( ) A. B.或 C. D.或 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转.把绕点O逆时针或顺时针旋转后得到时,根据点的位置得出坐标. 【详解】解:∵在中,,,, ∴绕点O逆时针旋转后得到,点在第二象限, ∴; 当绕点O顺时针旋转后得到,点在第四象限, ∴. 故选:B. 【举一反三】【变式1】(22-23九年级上 贵州黔东南 期中)如图,直线与轴、轴分别交于A、B两点,把绕点A旋转后得到,则点的坐标是( ) A. B. C.或 D.或 【答案】C 【分析】三角形旋转后,边长大小不变,根据旋转方向分为顺时针和逆时针旋转,进行两种情况的讨论画图求解即可. 【详解】解: 因为,所以时,,当时,,解得 即点,所以, 三角形旋转后形状不变,,所以 ①当绕点A顺时针旋转90 后得到,如图①,此时在第一象限,则点 横坐标是,纵坐标是,则点坐标为; ②当绕点A逆时针旋转90 后得到,如图②,此时在第三象限,则点 横坐标是,纵坐标是,则点坐标为, 所以点坐标为或, 故选: 【点睛】本题主要考查了旋转与坐标结合,如何应用旋转的性质并分类讨论是解题的关键. 【变式2】(24-25九年级上 黑龙江牡丹江 期中)在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点B的坐标为,连接,若将点A绕点B旋转,得到点,则点的坐标为 . 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质,分两种情况:点A绕点B顺时针旋转;点A绕点B逆时针旋转; 【详解】解:分以下两种情况: 当点A绕点B顺时针旋转时, 过作轴于点C,将绕点B顺时针旋转,得到, 由旋转可得,轴, ∴四边形为矩形, ∴,, ∴, ∴点坐标为; 当点A绕点B逆时针旋转时, 过作轴于点C,将绕点B顺时针旋转,得到, 由旋转可得,轴, ∴四边形为矩形, ∴,, ∴, ∴点坐标为即; 故答案为:或 【变式3】(20-21九年级上 全国 课后作业)如图,数轴上点对应实数,线段垂直于数轴,线段的长为2,现将线段绕点旋转90 得到线段,求对应的实数.莉莉看完题目后,写出来如下的解题过程: 解:∵将线段绕点旋转90 得到线段, ∴点在点的右边. 又∵, ∴对应的实数为. 请问莉莉的解题过程正确吗?如果不正确,请写出正确的解题过程. 【答案】莉莉的解题过程不正确,正确过程详见解析 【分析】根据题意分两种情况讨论:①点在点的右边;②当点在点的左边. 【详解】解:莉莉的解题过程不正确.此题分两种情况,情况一见莉莉的解题过程.情况二:当点在点的左边时,∵将线段绕点旋转90 得到线段,∴点也可能在点的左边,∴此时对应的实数为. 【点睛】本题考查了旋转的性质,当旋转图形,未指明旋转方向时,应分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,解题中要防止漏解. 题型方法 【题型一】旋转的概念 【例1】(24-25九年级下 上海 阶段练习)下列选项中的运动,属于旋转变换的是( ) A.升国旗的过程 B.摩天轮的转动 C.汽车刹车时的滑动 D.电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义,熟记旋转的定义是解题的关键. 根据旋转的定义逐项判断即可. 【详解】解:A. 升旗的过程属于平移,不属于旋转,故该选项不符合题意; B. 摩天轮的转动属于旋转,故该选项符合题意; C. 汽车刹车时的滑动属于平移,不属于旋转,故该选项不符合题意; D.电梯的运行属于平移,不属于旋转,故该选项不符合题 故选:B . 【举一反三】【变式1】(24-25九年级上 山西大同 阶段练习)下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换,熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键.根据图形变换的特点,对选项逐个分析判断即可. 【详解】解:A、此选项图案在设计中用到平移变换方式,不符合题意; B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式,符合题意; C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式,不符合题意; D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式,不符合题意; 故选:B. 【变式2】(24-25九年级上 广东惠州 期中)在体育课上,当老师下达口令“向左转”时,左脚正确的动作应是以 (填“脚跟”或“脚尖”)为旋转中心,沿着 (填“顺时针”或“逆时针”)方向旋转 度. 【答案】 脚跟 逆时针 【分析】本题考查了旋转的相关概念,掌握旋转的相关概念,结合生活经验解决问题是解题的关键.根据旋转的相关概念,结合生活经验即可解答. 【详解】解:在体育课上,当老师下达口令“向左转”时,左脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心,沿着逆时针方向旋转90度. 故答案为:脚跟;逆时针;. 【变式3】(23-24九年级上 广东珠海 期中)下列现象中属于旋转的有 (填序号) ①火车在笔直行驶;②荡秋千运动;③地下水位下降;④钟摆的运动;⑤圆规画圆. 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换:把一个图形绕着某个点旋转一定的角度,得到另一个图形,即为旋转变换;平移变换:把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离,即为平移变换. 【详解】解:①火车在笔直行驶,③地下水位下降;是平移; ②荡秋千运动;④钟摆的运动;⑤圆规画圆,属于旋转, 故答案为:②④⑤. 【点睛】本题考查旋转和平移的概念,熟练掌握这两个基础概念是解题的关键. 【题型二】旋转的性质 【例2】(24-25九年级上 重庆永川 阶段练习)如图,将绕点逆时针旋转得到,点在上.已知,则的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查的是旋转的性质,等腰三角形的性质,掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键.先由旋转的性质证明,,再利用等边对等角证明,从而可得答案. 【详解】解:将绕点逆时针旋转得到,点在上, ,, , , ,, , 故选:C. 【举一反三】【变式1】(24-25八年级下 江西九江 期中)如图,在中,,将绕点顺时针旋转得到,使点的对应点恰好落在边上,,交于点.若,则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质,三角形内角和定理的应用,熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键.由旋转得,,,则.由题意得,则,进而可得. 【详解】解:由旋转得,,, . , , , . 故选:A. 【变式2】(2025九年级上 全国 专题练习)如图,已知矩形中,.将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形,连接.当 时,. 【答案】或 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质,垂直平分线的性质,旋转的性质,掌握以上知识,数形结合,分类讨论是关键. 当时,点G在的垂直平分线上,分两种情况讨论,结合图形即可求解. 【详解】解:当时,点G在的垂直平分线上,分两种情况讨论: ①如图①,当点G在右侧时,取的中点H,连接交于点M,连接, , 点G在的垂直平分线上,即, 四边形是矩形, , 垂直平分, , 是等边三角形, , 旋转角; ②如图②,当点G在左侧时,同理可得, 旋转角, 综上所述,当或时,. 【变式3】(24-25九年级下 福建泉州 期中)已知点是菱形边的中点,将菱形绕点逆时针旋转得到菱形,使点A的对应点E落在线段上,边经过点. (1)求证:; (2)若,求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质,菱形的性质,勾股定理,熟练掌握旋转的性质和菱形的性质,是解题的关键: (1)根据菱形的性质,旋转的性质,得到,进而得到,,推出,即可; (2)设,根据旋转的性质,结合勾股定理求出的长,进而表示出的长,求出的值,即可. 【详解】(1)证明:菱形, , ∵N是的中点, . 由旋转可知:, ,, 又, , ; (2)由旋转可知:, , , , , 又, , 设,在中,, , , , , 的长为. 【题型三】旋转作图 【例3】(23-24九年级下 海南省直辖县级单位 期中)如图所示,在正方形网格中,格点的三个顶点坐标分别为,,.将绕原点顺时针旋转,得到,则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质,坐标与图形.先根据的三个顶点坐标画出平面直角坐标系,再根据旋转方向、旋转中心及旋转角,找到,结合直角坐标系可得出点的坐标. 【详解】解:如图所示: 结合图形可得点的坐标为. 故选:A. 【举一反三】【变式1】(24-25九年级下 安徽合肥 期中)如图,在的网格中建立平面直角坐标系,四边形的顶点坐标分别为,,,,点在边上,连接.仅用无刻度的直尺画图. (1)将线段绕点顺时针旋转,画出对应线段; (2)在上确定点,使平分,画出射线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转作图以及正方形的性质,掌握相关结论即可. (1)根据旋转的特点画图即可. (2)构造正方形,连接正方形的对角线画图即可; 【详解】(1)解:如图,即为所求; (2)解:如图,即为所求. 【变式2】(24-25七年级下 江苏盐城 期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,的顶点均在格点上. (1)将绕点C按逆时针方向旋转,画出旋转后所得的; (2)将向下平移4个单位长度,画出平移后所得的; (3)线段在平移的过程中扫过区域的面积为_. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查了平移(作图),画旋转图形,利用平移的性质求解,解题关键是正确作出图形. (1)根据旋转的性质得出对应点位置,即可画出图形; (2)利用平移的性质得出对应点位置,进而得出图形; (3)根据线段在平移的过程中扫过的面积等于平行四边形的面积,列式进行计算即可. 【详解】(1)解:如图就是所要作的三角形; (2)如图就是所要作的三角形; (3)线段在平移的过程中扫过区域的面积为, 故答案为:8. 【变式3】(24-25九年级上 湖北十堰 期末)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中, 的顶点都在格点上. (1)把 向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到,画出; (2)将绕点顺时针旋转得到,画出; (3)试判断与的位置关系. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3). 【分析】本题考查了作图——平移变换和旋转变换,熟练掌握平移的性质及旋转的性质找出对应点或对应边是解题的关键. (1)根据平移的规则,画出即可; (2)根据旋转的性质,画出即可; (3)由平移的性质得:,由旋转的性质得:,即可求解. 【详解】(1)解:如图,即为所求; (2)解:如图,即为所求; (3)解:由平移的性质得:, 由旋转的性质得:, ∴. 【题型四】平面直角坐标系中的旋转 【例4】(24-25九年级下 吉林松原 阶段练习)如图,三个顶点的坐标分别为,,,将绕点C按顺时针方向旋转,得到,则点D的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质.直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案. 【详解】解:∵,,, ∴,轴, ∵绕点C按顺时针方向旋转,得到, ∴,, ∴B,C,D三点在一条直线上, ∴, 故选:B. 【举一反三】【变式1】(23-24九年级上 山东临沂 期中)将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中,在轴上,若,将三角板绕原点顺时针旋转,则点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为,然后求出点的横坐标与纵坐标,从而得解. 【详解】如图, 三角板绕原点顺时针旋转, 旋转后与轴夹角为, , , 点的横坐标为, 纵坐标为, 所以,点的坐标为. 故选:C. 【变式2】(24-25九年级上 山东济宁 期中)如图,在平面直角坐标系中,将点绕原点O逆时针旋转得到点B,则点B的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质,图形与坐标,全等三角形的判定与性质,灵活运用以上知识解题是关键.根据题意画出示意图,结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题. 【详解】解:过点作轴于点,过点作轴于点,如图:则, ∵, ∴, 由旋转得:, ∴, ∴, ∴, ∴, 由题意得得点在第二象限, ∴, 故答案为:. 【变式3】(23-24八年级下 江苏宿迁 阶段练习)在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系,已知格点(顶点为网格线的交点). (1)画出关于轴对称的; (2)将绕点逆时针旋转得到,画出; (3)若点的坐标是,则点的坐标是 . 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查作图轴对称变换、旋转变换,熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键. (1)根据轴对称的性质作图即可; (2)根据旋转的性质作图即可; (3)由图可得出答案. 【详解】(1)解:如图所示: 即为所求; (2)解:如图所示: 即为所求. (3)解:如图所示: 点的坐标是, 故答案为:. 【题型五】利用旋转设计图案 【例5】(24-25九年级上 北京海淀 阶段练习)图中是北京十一晋元中学的,将它顺时针旋转后的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题图形的旋转,根据旋转的特征结合题意即可得解,熟练掌握旋转的性质是解此题的关键. 【详解】解:将它顺时针旋转后,只有C选项符合题意. 故选:C. 【举一反三】【变式1】(20-21七年级上 内蒙古包头 阶段练习)在下列图案中可以用旋转得到的是 (填序号). 【答案】①②④ 【分析】通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案,进而判断得出即可. 【详解】①②④通过旋转得到;⑤是通过平移得到. 故答案为:①②④. 【点睛】本题是考查了运用旋转设计图案,根据旋转图形的特点得出是解题关键 【变式2】分析图①,②,④中阴影部分的分布规律,按此规律在图③中画出其中的阴影部分. 【答案】见解析 【分析】从图中可以观察变化规律是,正方形每次绕其中心顺时针旋转,每个阴影部分也随之旋转,据此即可解答. 【详解】解:按规律在图③中画出其中的阴影部分是: 【点睛】本题考查了作图-旋转变换,找准规律是解题的关键. 【变式3】在日常生产生活中,我们常会见到一些由旋转形成的美丽的图案.观察下列的两幅图(图(1)和图(2)),你能说出他们是由什么基本图形绕中心旋转180 设计出来的吗? 【答案】见解析 【分析】根据题意要求,找出基本图形即可. 【详解】解:图(1)和图(2)可分别看成是由基本图形(3)和基本图形(4)绕中心旋旋转180 得到的. 【点睛】本题考查了运用几何变换设计图案的知识,属于开放型题目,掌握旋转变换的性质是关键. 好题必刷 一、单选题 1.(24-25七年级下 江苏徐州 期中)下列说法中,正确的是( ) A.“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B.能够互相重合的两个图形成轴对称 C.“气球升空”属于平移现象 D.“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 【答案】D 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义,在实际当中的运用,把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离,图形的这种移动,叫作平移;在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转. 【详解】解:A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象,故A选项错误,不符合题意; B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称,故B选项错误,不符合题意; C、“气球升空”路线不固定,不一定是平移,故C选项错误,不符合题意; D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象,故D选项正确,符合题意. 故选:D. 2.(24-25九年级上 广西防城港 期中)如图,将该图按顺时针方向旋转后的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了判断由一个图形旋转而成的图形,发挥自身的空间想象能力是解题的关键.根据旋转的定义即可直接得出答案.注意,要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转. 【详解】 解:根据旋转的定义,将 按顺时针方向旋转后的图形是 , 故选:. 3.(24-25九年级上 广东广州 期中)如图,中,,将绕点顺时针旋转,得到,边与边交于点(不在上),则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质,由旋转的性质可得,,由三角形外角的性质可求解. 【详解】将绕点顺时针旋转,得到, ,, , 故选:C. 4.(23-24九年级上 四川南充 期中)如图,在中,,,将绕点旋转得到,且点落在上,则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用,解题关键是熟练掌握旋转性质.由旋转性质得,,结合等边对等角、三角形内角和定理的应用求出和后,根据即可得解. 【详解】解:由旋转性质可得,,, , , , . 故选:. 5.(23-24九年级上 浙江台州 阶段练习)如图,已知点,,,,连接,,将线段绕着某一点旋转一定角度,使其与线段重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转,画出平面直角坐标系,作出新的,的垂直平分线的交点P,点P即为旋转中心. 【详解】解:平面直角坐标系如图所示,旋转中心是P点,, 故选:D. 6.(24-25九年级上 广东汕尾 期中)如图,与都是等边三角形,连接,,,,若将绕点顺时针旋转,当点、、在同一条直线上时,线段的长为( ) A. B. C.或 D.或 【答案】D 【分析】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,含30度的直角三角形的性质,构造出直角三角形是解本题的关键. 分两种情况:①当点E在的延长线上时,②当点E在的延长线上时,分别画出图形,利用勾股定理,求解即可. 【详解】解:∵,是等边三角形, ∴, ∵是等边三角形,, ∴, ①当点E在的延长线上时,如图,过点B作于G,则, 在中,, ∴, 根据勾股定理得,, ∴, 在中, 根据勾股定理得,; ②当点E在的延长线上时,如图,过点B作于H,则, 在中,, ∴, 根据勾股定理得, ∴, 在中, 根据勾股定理得,. ∴或. 故选:D. 二、填空题 7.(24-25九年级上 全国 期末)如图,将绕点A顺时针旋转一定的角度得到,此时点恰在边上,若,,则的长为 . 【答案】3 【分析】本题考查旋转的性质,根据旋转性质得到,然后由求解即可. 【详解】解:由旋转性质得, ∴, 故答案为:3. 8.(24-25九年级上 陕西咸阳 期末)如图,在平面直角坐标系中,格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②,则其旋转中心的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;先确定点A与点E为对应点,点B和点F为对应点,则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上,所以作的垂直平分线和的垂直平分线,它们的交点即为旋转中心. 【详解】解:∵经过旋转后得到, ∴点A与点E为对应点,点B和点F为对应点, ∴旋转中心在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上, 作的垂直平分线和的垂直平分线,它们的交点为M点,如图, 即旋转中心为M点. ∵, ∴其旋转中心的坐标为, 故答案为:. 9.(24-25九年级上 广西河池 期末)如图,在正方形中,E为边上的点,连接,将绕点C顺时针方向旋转得到,连接,若,则的度数为 . 【答案】/25度 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握旋转的性质是解答的关键. 根据旋转的性质知,再根据,知,然后用角的和差即可解答. 【详解】∵绕点C顺时针方向旋转得到, ∴,,. ∴, ∵, ∴. 故答案为:. 10.(24-25九年级上 内蒙古乌海 期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点,点在第一象限内,,将绕点顺时针旋转,每次旋转,则第次旋转后,点的坐标为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转,点的坐标变化规律及等腰三角形的性质,根据所给图形,依次求出每次旋转后点B对应点的坐标,发现规律即可解决问题. 【详解】解:, 每旋转次,点的位置重复出现. 又, 第次旋转后点的位置与第次旋转后点的位置相同. 过点作轴,垂足为, , , 点坐标为, . 在中,, , , , 点的坐标为, 点的坐标为, 第次旋转后,点的坐标为. 故答案为:. 三、解答题 11.(24-25九年级上 青海海东 期末)如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点分别是.将以点O为旋转中心顺时针旋转,画出旋转后对应的,并写出点.、的坐标. 【答案】画图见解析,,, 【分析】本题考查了作图−-旋转变换,坐标与图形等知识,根据旋转的性质和网格的特征作出A、B、C绕点O旋转后对应的点,连接即可. 【详解】解:如图,即为所求, , 由图知:,,. 12.(24-25九年级上 四川南充 期中)如图,在的正方形网格中,每个小正方形边长均为单位1,在方格中作图: (1)将向右平移4个单位得. (2)将绕点顺时针旋转得. (3)如果建立直角坐标系,若点的坐标为,则点的坐标为_. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图,熟悉网格结构以及平面直角坐标系的特点,然后找出对应点的位置是解题的关键. (1)根据网格结构找出点、、的对应点、、的位置,然后顺次连接即可; (2)分别找出点、、的对应点的位置,然后顺次连接即可; (3)先根据点、的坐标找出坐标原点,然后建立平面直角坐标系,写出点的坐标即可. 【详解】(1)解:如图所示,即为所求作的三角形; (2)解:如图所示,即为所求作的三角形; (3)解:点的坐标为. 故答案为: 13.(22-23九年级上 江西新余 阶段练习)如图,是等边三角形内一点,将线段绕点顺时针旋转,得到线段,连接,. (1)求证:; (2)连接,若,求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质,熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键. (1)由等边三角形的性质知,,由旋转的性质知,,从而得,再证可得答案; (2)由,知为等边三角形,即,继而由,得到,再利用即可得解. 【详解】(1)证明:是等边三角形, ,. 线段绕点顺时针旋转,得到线段, ,. . . 在和中, , . (2)解:如图, ,, 为等边三角形. , ,, . . 14.(22-23九年级上 福建厦门 期中)如图,在四边形中,,是对角线,是等边三角形.线段绕点C顺时针旋转得到线段,连接. (1)求证:; (2)若,,,求的长. 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】(1)证明即可. (2)连接,证明是等边三角形,得到,利用勾股定理计算即可. 【详解】(1)∵是等边三角形, ∴; ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段, ∴; ∴; ∴; ∵, ∴ ∴. (2)连接, ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段, ∴; ∴是等边三角形, ∴; ∵,,, ∴,; ∴; ∴. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,旋转的性质,勾股定理,熟练掌握等边三角形的判定和性质,勾股定理是解题的关键. 15.(24-25九年级上 云南临沧 期末)已知等腰,,点为三角形内一点,连,,. (1)如图,若为等边三角形,且,,求的度数以及边长; (2)如图,若,,求的最小值. 【答案】(1); (2) 【分析】(1)将绕点逆时针旋转,点的对应点为,点的对应点于点重合,连接,过点作交的延长线于点,如图所示,可得是等边三角形,,,在中,,,,可得,则是直角三角形,所以,在中,,,则,,在中,由勾股定理得:,即可求解; (2)将绕点逆时针旋转得到,点的对应点为,点的对应点为,连接,,过点作于点,连接,如图所示,可证和均为等边三角形,则,在中,由勾股定理得:,在中,由勾股定理得:,根据“两点之间线段最短”得:,即,由此即可求解. 【详解】(1)解:∵是等边三角形, , 将绕点逆时针旋转,点的对应点为,点的对应点于点重合,连接,过点作交的延长线于点,如图所示: 由旋转的性质得:,,, 是等边三角形, ,, 在中,,,, , , 是直角三角形,即, , , 在中,,, , 由勾股定理得:, , 在中,由勾股定理得:, 的度数是,边的长为; (2)解:将绕点逆时针旋转得到,点的对应点为,点的对应点为,连接,,过点作于点,连接,如图所示: 由旋转的性质得:,,,, 和均为等边三角形, ,, , 在中,,,于点, ,, 在中,由勾股定理得:, 是等边三角形,, , , , 点,,在同一条直线上, , 在中,由勾股定理得:, , 根据“两点之间线段最短”得:, , 即, 的最小值为. 【点睛】本题主要考查等边三角形,等腰三角形的判定和性质,旋转的性质,勾股定理,含度角的直角三角形的性质,掌握旋转的性质,“费马点”模型的计算是关键. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$