第一章 集合与常用逻辑用语综合测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语综合测试卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修一（2019人教A版）） 一、单选题 1．已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 2．集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4． 设为的子集，若,,，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 5．下列命题正确的个数为 ①“都有”的否定是“使得”； ②“”是“”成立的充分条件； ③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题 A．0 B．1 C．2 D．3 6．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若关于的一元二次方程有两个实数根，分别是、，则“”是“两根均大于1”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要. 8．给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 二、多选题 9．关于集合的性质，以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集 C． D． 10．下列命题中，真命题的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．对任意一个无理数，也是无理数 D．，是的充分不必要条件 11．设集合为非空数集，若，都有，则称为封闭集．下列结论正确的有（ ） A．若集合为封闭集，则 B．集合为封闭集 C．若集合、B为封闭集，则为封闭集 D．集合为封闭集 三、填空题 12．若，则 ． 13．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 14． 已知， ，若成立的一个必要不充分条件是， 则实数m的取值范围是 . 四、解答题 15．设全集，集合，非空集合， （Ⅰ）若，求，； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 16．已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 17．已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18．已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 19．设，集合. (1)求证：“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件； (2)是否存在，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由. 第一章 集合与常用逻辑用语综合测试卷 一、单选题 1．已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：根据存在量词命题的否定是全称量词命题可解. 解析：因为命题，所以：.故选：B. 2．集合，，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由交集的运算可得结果. 解析：集合，， 、的共同元素有3和4，故．故选：B． 3．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 分析：根据充分、必要条件的定义判断即可. 解析：由等价于或，所以是的充分不必要条件.故选：A. 5． 设为的子集，若,,，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据，得出，依次判断选项即可选出答案. 解析：因为， 所以.即：集合、中至少有一个集合含有. A选项：，错误. B选项：，而，不符合题意. D选项：，而，不符合题意. 故选：C 点睛：本题考查集合的交，并，补集的运算，认真审题是解决本题的关键，属于简单题. 5．下列命题正确的个数为 ①“都有”的否定是“使得”； ②“”是“”成立的充分条件； ③命题“若，则方程有实数根”的否命题为真命题 A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 分析：①，“都有”的否定是“使得”； ②，当“”时“”成立； ③，当时，△，方程无实数根， 解析：对于①，“都有”的否定是“使得”，故错； 对于②，当“”时“”成立，故错； 对于③，命题“若，则方程有实数根”的否命题为“若，则方程无实数根”， 当时，△，方程无实数根，故正确， 故选：． 6．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 分析：化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解析：化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集，所以是的必要不充分条件. 故选：B 7．若关于的一元二次方程有两个实数根，分别是、，则“”是“两根均大于1”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要. 答案：B 分析：若，则，但是,满足，但不满足．所以是必要不充分条件．选B. 点睛：若，则是的充分条件，是的必要条件，若存一个，使p成立，但q不成立，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件． 8．给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 答案：B 解析： 时，可以是的非空子集，共个； 时，可以是的非空子集，共个； 时，就1个； 时，可以是的非空子集，共个； 时，就1个； 时，就1个； 时，就1个。 的有序子集对的个数为：17个， 二、多选题 9．关于集合的性质，以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集 C． D． 答案：ACD 解析：选项A，若，即A是B的真子集，所以，故A正确．选项B，若，则A，B不一定互为补集，故B错误．选项C，是由集合A，B的公共元素构成，所以，故C正确． 选项D，根据并集的知识可知，故D正确．故选ACD。 10．下列命题中，真命题的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．对任意一个无理数，也是无理数 D．，是的充分不必要条件 答案：BD 分析：根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义，结合特殊值法判断各选项． 解析：“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 是无理数，是有理数，C错误； 因为，但时满足，不能推出， 所以，是的充分不必要条件，D正确． 故选：BD． 11．设集合为非空数集，若，都有，则称为封闭集．下列结论正确的有（ ） A．若集合为封闭集，则 B．集合为封闭集 C．若集合、B为封闭集，则为封闭集 D．集合为封闭集 答案：AB 分析：根据封闭集的定义判断各项所描述集合是否满足即可. 解析：A：若时，有，对； B：是偶数集合，而对于任意两个偶数，它们的和、差、积均为偶数，故为封闭集，对； C：同B分析易知，均为封闭集， 而，但，即不是封闭集，错； D：显然存在，故不为封闭集，错. 故选：AB 三、填空题 12．若，则 ． 答案： 分析：由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 解析：由题意可得，则，即，则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 13．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 答案：0或 分析：由，，，三种情况分别讨论即可. 解析：，因为，所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 15． 已知， ，若成立的一个必要不充分条件是， 则实数m的取值范围是 . 答案： 分析：先依题意判断集合B是集合A的真子集，再讨论集合B是否空集求参数m的取值范围即可. 解析：因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集. 当时即，集合A的真子集，符合题意； 当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故； 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 点睛：本题考查必要不充分条件的应用，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 四、解答题 15．设全集，集合，非空集合， （Ⅰ）若，求，； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 分析：（Ⅰ）时，求出集合，，． （Ⅱ）求出集合，非空集合，，由此能求出实数的取值范围． 解析：（Ⅰ）时，全集，集合，集合， ， , （Ⅱ）集合，非空集合，，， ，解得． 实数的取值范围是． 16．已知命题关于的方程（）有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 分析：（1）利用判别式求解可得； （2）分和，根据集合关系讨论即可. 解析：（1）若是真命题，则， 解得，则； （2）当，即时，，此时，满足； 当，即时，， 因为，所以，则或，解得. 综上，实数的取值范围为. 17．已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 分析：（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 解析：（1）由已知当时，， 又， 则； （2）若选①，则由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且，解得； 综上所述，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且且不同时取等号，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 18．已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 分析：（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解. 解析：（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则，解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以，即m的取值范围为. 19．设，集合. (1)求证：“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件； (2)是否存在，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由. 分析：（1）求出，时，分别对应的实数的范围，再根据充分非必要条件的定义进行判断即可； （2）分别和，进行分类讨论，求出的值即可. 解析：（1）若，则，即， 若，则，即， 则“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件. （2）若，则，即， 若，则，即， 因此时，， 若，则集合中只有一个元素， 因此若，则集合中只有一个元素，即， 此时，， 综上知，则存在，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$