1.4-1.5 常用逻辑用语 讲义-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

1.4-1.5 常用逻辑用语 知识梳理 1． 命题 1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 2. 分类： 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 3. 形式：“若p，则q”，“如果p，那么q”的形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。 2． 充分条件、必要条件、充要条件 1．充分条件、必要条件的定义 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p可以推导出q，记作：p⇒q，并且说p是q的充分条件；q是p的必要条件。 反之，如果由p不能推导出q，那么就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件，记作：p⇏q 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充要条件 一般地，如果p可以推导出q，并且q也可以推导出p，即p⇒q，且有 q ⇒ p，则相当于p⇔q或者q ⇔ p，称作q是p的充分必要条件，q也是p的充分必要条件，简称充要条件 【注】充要条件是相互的，同时存在的， p⇔q即p和q互为充要条件. 3．充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系 ★ 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 条件p与结论q的关系 条件关系 集合关系 p ⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件 A ⊆ B q ⇒p q是p的充分条件，p是q的必要条件 A⊇B p ⇒q，但qp p是q的充分不必要条件 A B q ⇒p，但pq p是q的必要不充分条件 B A p ⇒q，且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 A＝B p q，但qp p是q的既不充分也不必要条件 A ⊈B且B ⊈A 典例剖析 【考点一 充分条件与必要条件的判断】 【总结归纳】充分、必要条件的判断 1.定义法 ①确定谁是条件，谁是结论 【“...的条件”前面的是q,剩下的为p】 ②找推式，判断p⇒q和q⇒p的真假 【小范围可以推大范围，但大范围不能推小范围】 ③根据条件和推式得出结论 2.集合法 如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，则 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充分必要条件． 3.传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． ①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件; ②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件; ③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件． 3. 等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 4. 特殊值法：选填题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明结论或者推导不成立，但不可用于证明题。 【题型一 已知两命题，判断两者的条件关系】 （定义法） 1．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】已知 且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （特值法） 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （集合法） 4．（多选）设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 （传递法） 5．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型二 根据条件关系确定另一命题】 6．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【考点二 根据充分、必要条件求参数】 【总结归纳】根据充分、必要条件求参数的解题思路 ①化简p，q两命题； ②根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 【确定谁大谁小】 ③利用集合间的关系建立不等式； ④求解参数范围. 8．命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 9．已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 10．若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 【变式】设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 11．已知集合，． (1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式】已知集合集合，集合. (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 三．全称量词命题与存在量词命题知识梳理 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个等 存在一个、至少有一个等 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 （全称命题） 含有存在量词的命题是存在量词命题 （特称命题） 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 常见的全称量词：“一切”“每一个”“任给”“所有的”“全部的”“只要是”“任意的”“凡是” 常见的存在量词：“存在”“某一个”“任给”“对部分”“对某个”“对某些”“有一个”“有的” 四．全称量词命题与存在量词命题的否定 1. 全称（量词）命题的否定 2. 存在量词命题的否定 【总结】全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； ②否定结论：对原命题的结论进行否定． 【拓展】一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 5. 常见的一些词语和它的否定词 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多有一个 至多有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有 【考点三 含量词的命题及其否定】典例剖析 【题型一 含量词命题及否定形式】 12．（多选）下列命题中，是全称量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【练习】（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（   ） A．有些菱形是正方形 B．若，则 C．， D．， 13．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型二 含量词命题的真假判断】 14．（多选）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 15．已知，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 【变式】已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【题型三 根据含有量词命题的真假求参数】 【方法总结】含量词命题的求参问题 1. 全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题 实质是不等式恒成立问题 → 转化为方程解情况或求函数最值，具体为a＞ymax或a＜ymin. 2. 存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题 实质是不等式能成立问题 → 转化为方程解情况或求函数的最值，具体为a＞ymin或a＜ymax. 类型1：任意为真、存在为假 → 恒成立问题 16．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【变式】设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18．已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 类型2：任意为假、存在为真 → 有解问题 19．若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（多选）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式】已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4-1.5 常用逻辑用语 知识梳理 1． 命题 1．定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 2. 分类： 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 3. 形式：“若p，则q”，“如果p，那么q”的形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。 2． 充分条件、必要条件、充要条件 1．充分条件、必要条件的定义 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p可以推导出q，记作：p⇒q，并且说p是q的充分条件；q是p的必要条件。 反之，如果由p不能推导出q，那么就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件，记作：p⇏q 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充要条件 一般地，如果p可以推导出q，并且q也可以推导出p，即p⇒q，且有 q ⇒ p，则相当于p⇔q或者q ⇔ p，称作q是p的充分必要条件，q也是p的充分必要条件，简称充要条件 【注】充要条件是相互的，同时存在的， p⇔q即p和q互为充要条件. 3．充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系 ★ 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 条件p与结论q的关系 条件关系 集合关系 p ⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件 A ⊆ B q ⇒p q是p的充分条件，p是q的必要条件 A⊇B p ⇒q，但qp p是q的充分不必要条件 A B q ⇒p，但pq p是q的必要不充分条件 B A p ⇒q，且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 A＝B p q，但qp p是q的既不充分也不必要条件 A ⊈B且B ⊈A 典例剖析 【考点一 充分条件与必要条件的判断】 【总结归纳】充分、必要条件的判断 1.定义法 ①确定谁是条件，谁是结论 【“...的条件”前面的是q,剩下的为p】 ②找推式，判断p⇒q和q⇒p的真假 【小范围可以推大范围，但大范围不能推小范围】 ③根据条件和推式得出结论 2.集合法 如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，则 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充分必要条件． 3.传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． ①若是的充分条件，是的充分条件，则是的充分条件; ②若是的必要条件，是的必要条件，则是的必要条件; ③若是的充要条件，是的充要条件，则是的充要条件． 3. 等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 4. 特殊值法：选填题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明结论或者推导不成立，但不可用于证明题。 【题型一 已知两命题，判断两者的条件关系】 （定义法） 1．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】第一章本章综合--归纳本章考点【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，但菱形的对角线一定垂直. 【详解】“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”， 所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市重点高中协作校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【分析】先解不等式，得出两个命题所表示的解的集合的关系，再分别判断命题的充分性和必要性是否成立. 【详解】解不等式，得；解不等式，得或。 设集合，或。 充分性：因为，故充分性成立； 必要性：当或时，不一定成立，故必要性不成立； 综上可得“”是“”的充分而不必要条件。 故选：A。 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，注意需从充分性和必要性两个方面分别判断，属于基础题。 【变式】已知 且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【来源】江苏省淮安市涟水县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题 【分析】求出命题q的等价命题，后判断命题p与q的关系即可. 【详解】因为关于x的方程有两个不相等实数解 且， 所以p是q的充要条件， 故选：C. （特值法） 3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【来源】广东省湛江市2024-2025学年高一下学期4月期中联盟考试数学试题 【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 【详解】当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. （集合法） 4．（多选）设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【来源】05 限时小练5 充分条件与必要条件 高中数学必修第一册�RA 【详解】 若，则由可推出，所以是的充分条件，若，则由可推出，故A错误；若，则推不出，此时是的不必要条件，故B正确；若，则与间可互相推出，此时是的充分必要条件，故C正确；若，，即集合，没有包含关系，与之间不能互相推出，故是的既不充分也不必要条件，故D正确． （传递法） 5．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【来源】重庆市2025年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（七）数学试题（康德卷） 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【题型二 根据条件关系确定另一命题】 6．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河南省天一大联考2024-2025学年高三阶段性测试（六）数学试卷 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 7．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东省佛山市顺德区北滘中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 【考点二 根据充分、必要条件求参数】 【总结归纳】根据充分、必要条件求参数的解题思路 ①化简p，q两命题； ②根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 【确定谁大谁小】 ③利用集合间的关系建立不等式； ④求解参数范围. 8．命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 【答案】 【来源】陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高一上学期第一次摸底考试数学试题 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 9．已知集合. (1)求； (2)若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【来源】云南省镇康县第一中学224-2025学年高一上学期11月月考数学试题 【分析】（1）解不等式求得集合，根据交集、补集的知识来求得正确答案. （2）根据充分、必要条件的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为， ， 或， 所以或. （2）若是的充分条件，则， 因为， 所以，解得， 若是的必要条件，则， 所以，解得， 综上的取值范围为. 10．若“”是“”的充分条件，则实数的值为 . 【答案】或 【来源】山东省济宁市兖州第一中学2024-2025学年高一上学期10月阶段性检测数学试题 【分析】根据充分条件的知识列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，“”是“”的充分条件， 所以， 所以，解得或. 故答案为：或 【变式】设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【来源】上海市文来中学2024-2025学年高一9月月考数学试题 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由 ，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 11．已知集合，． (1)是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在 (2) 【来源】广东省广州市黄埔区开元学校2024-2025学年高一上学期10月阶段训练数学试卷 【分析】（1）先解集合，再利用充要条件即为，从而可得到的方程组，最后判断是否有解； （2）利用充分不必要条件可得，再利用集合的包含关系可求的范围即可. 【详解】（1）解集合， 若是的充要条件，则 由，可得， 又，可得，即 此时的值不能同时满足和 不存在实数使是的充要条件 （2）若是的充分不必要条件，则 分两种情况讨论： ①当时，此时，解不等式得，此时满足，所以； ②当时，此时， 解不等式，即， 解不等式，即， 综合可得， 综上所述，实数的取值范围是 【变式】已知集合集合，集合. (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【来源】河北省保定市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段考试（第九届）数学试题 【分析】（1）先求解出集合和集合，再根据交集和并集的定义进行计算. （2）根据是成立的必要不充分条件得出集合与集合的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）已知，解不等式： 移项可得，通分得到，即. 此不等式等价于. 解，可得，所以. 已知，当时，. 解不等式，可得，即，所以. 所以. . （2）已知，解不等式，可得，即，所以. 因为是成立的必要不充分条件，所以. 则有（不能同时取等号），解得. 所以实数的取值范围是 三．全称量词命题与存在量词命题知识梳理 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个等 存在一个、至少有一个等 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 （全称命题） 含有存在量词的命题是存在量词命题 （特称命题） 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 常见的全称量词：“一切”“每一个”“任给”“所有的”“全部的”“只要是”“任意的”“凡是” 常见的存在量词：“存在”“某一个”“任给”“对部分”“对某个”“对某些”“有一个”“有的” 四．全称量词命题与存在量词命题的否定 1. 全称（量词）命题的否定 2. 存在量词命题的否定 【总结】全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； ②否定结论：对原命题的结论进行否定． 【拓展】一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 5. 常见的一些词语和它的否定词 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多有一个 至多有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有 【考点三 含量词的命题及其否定】典例剖析 【题型一 含量词命题及否定形式】 12．（多选）下列命题中，是全称量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】ABD 【来源】2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真（三）数学试卷 【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案． 【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：ABD 【练习】（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（   ） A．有些菱形是正方形 B．若，则 C．， D．， 【答案】ACD 【来源】浙江省”南太湖“联盟2024-2025学年高一上学期第一次联考数学学科试题 【分析】根据特称命题的定义，逐项进行检验，可得答案. 【详解】对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A正确； 对于B，等价于，则，这不是存在量词命题，故B错误； 对于C，对有，故C正确； 对于D，对有，故D正确. 故选：ACD. 13．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【来源】内蒙古鄂尔多斯市西四旗2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据全称量词命题的否定定义即可求解. 【详解】命题“，”中含有全称量词， 故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件， 所以该命题的否定为：“，”. 故选：C. 【题型二 含量词命题的真假判断】 【方法总结】判定命题的真假解题思路 （1） 判定全称量词命题的真假 是真命题 → 从左往右推导，即证明集合中每一个元素x，都满足条件； 是假命题 → 举出一个反例，即在集合中找到一个不满足条件元素x。 （2） 判定存在量词命题的真假 是真命题 → 举出一个例子，在集合M中找到一个元素x满足条件即可； 是假命题 → 需要推导证明，即证明在集合M中找不到任何元素满足条件. 14．（多选）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 【答案】AB 【来源】宁夏回族自治区银川市永宁县上游高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】分类讨论即可判断A；根据空集和交集的定义即可判断B；根据充分条件和必要条件的判定即可判断C；根据表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，即可判断D． 【详解】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确； 对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确； 对于C，若是一元二次方程的一个根，则； 若，则是一元二次方程的一个根， 所以是q的充要条件，故C错误； 对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误. 故选：AB． 15．已知，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 【答案】B 【来源】陕西省西安市鄠邑区2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由可得是假命题，进而由存在量词的否定可得. 【详解】因为， 所以方程无实数根，则是假命题， ，． 故选：B 【变式】已知命题，，命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】举出反例，得到为假命题，举出实例，得到为真命题. 【详解】命题，当得，，故为假命题，为真命题， 命题，时，，故满足，为真命题. 故选：B 【题型三 根据含有量词命题的真假求参数】 【方法总结】含量词命题的求参问题 1. 全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题 实质是不等式恒成立问题 → 转化为方程解情况或求函数最值，具体为a＞ymax或a＜ymin. 2. 存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题 实质是不等式能成立问题 → 转化为方程解情况或求函数的最值，具体为a＞ymin或a＜ymax. 类型1：任意为真、存在为假 → 恒成立问题 16．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】06 限时小练6 全称量词与存在量词 高中数学必修第一册�BS 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 17．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】四川省射洪中学校2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题 【分析】对，和分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】若，则对有，不满足条件； 若，则对任意有，满足条件； 若，则对有，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【变式】设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 18．已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 【答案】B 【来源】湖北省部分重点高中2024-2025学年高一上学期11月联考数学试卷 【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可. 【详解】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. 类型2：任意为假、存在为真 → 有解问题 19．若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】08 题组7 与全称量词命题和存在量词命题相关的参数范围问题 高中数学必修第一册�RA�巅峰版 【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得． 20．（多选）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】安徽省江淮名校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】当时，显然，使得； 当时，，. 综上，命题为真命题的充要条件是， 故选：. 【变式】已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【来源】安徽省淮南第四中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试题 【分析】根据命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，若为假命题，则或，所以. 若为假命题，则，所以. 所以，若p与q均为假命题，则实数a的取值范围为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$