精品解析：宁夏回族自治区吴忠市同心县部分校2024-2025学年高一下学期期末学业水平监测数学试卷

宁夏回族自治区吴忠市同心县部分校2024-2025学年高一下学期期末学业水平监测数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. -6 D. -5 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 4. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 5. 如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的对角线（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 11. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF异面 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形 D. 三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 13. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上､下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 14. 如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知单位向量满足. （1）求的值； （2）设与的夹角为，求的值. 17. 如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）证明：； （2）求的取值范围. 19. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏回族自治区吴忠市同心县部分校2024-2025学年高一下学期期末学业水平监测数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. -6 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等得出，计算求值. 【详解】因为，所以，，. 故选:A. 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念及加法运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：C． 4. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 5. 如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的对角线（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图画出原图，求出相关线段的长度，再由勾股定理可得. 【详解】在直观图中，， 则， 根据直观图画出原平面图形，其为直角梯形，如图， 所以，， ， 所以. 故选：A. 6. 已知是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，然后根据三点共线，存在实数使得，即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 即，所以， 解得：. 故选：C. 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由和正弦定理可得，即，又得，即可判断是等边三角形 【详解】由及正弦定理可得，得， 故（舍去）或，即， 又，所以， 因，，得，故， 故是等边三角形， 故选：B 8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选:D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF异面 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形 D. 三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据异面直线定义、面面平行的判定定理以及性质定理以及三棱锥的体积求解方法可求得正确选项. 【详解】 对于选项A，易知AF与异面，选项A正确； 对于选项B，取的中点为M，连接、GM，则，，易证，从而，选项B正确； 对于选项C，连接，，易知平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形，选项C正确； 对于选项D．设正方体棱长为a，三棱锥A-CEF的体积，选项D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得出向量、的坐标，结合平面向量的减法可得出向量的坐标，由此可得出向量对应的复数. 【详解】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以，则向量对应的复数为. 故答案为：. 13. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上､下底面周长分别为的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用台体的体积公式直接计算即得． 【详解】依题意，该四棱台的上、下底面边长分别为，，而棱台的高为， 所以该香料收纳罐的容积为． 故答案为： 14. 如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及正弦定理有、，即可求. 【详解】由条件知，过作垂直于直线，垂足为， 在中，，在中，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 【小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16. 已知单位向量满足. （1）求的值； （2）设与的夹角为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据原式展开得，再根据向量数量积运算律计算即可； （2）分别求出以及两向量的模，最后利用向量夹角公式即可. 【小问1详解】 由得，，又， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以， 又，故. 17. 如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，分别是，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为， 平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，平面，来证明面面平行； （2）先证明异面直线与所成角为（或其补角），再在中计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为，平面，所以，， 所以，，， 所以，即， 所以在中，， 即异面直线与所成角的正弦值为. 18. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1） 因为，所以， 所以，即， 整理得， 因为，所以， 所以，故. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式化简推理得证. （2）由（1）求出的范围，并将表示为的函数，求出函数的值域即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在锐角中，由（1）知，， 解得，故， 由题意得，， 令， 因为在上单调递增，所以， 所以的取值范围. 19. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $