21.4 二次函数的应用 同步练习 ---2024-2025学年沪科版九年级上册数学

21.4 二次函数的应用 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 【解答】解：设获得的利润为y元，由题意得： y＝（x﹣100）（200﹣x） ＝﹣x2+300x﹣20000 ＝﹣（x﹣150）2+2500 ∵a＝﹣1＜0 ∴当x＝150时，y取得最大值2500元． 故选：A． 2.某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x＝3时，y＝18，那么当成本为3.2×105元时，边长为（　　） A．1.6×103厘米 B．4×102厘米 C．0.4×103厘米 D．2×103厘米 【解答】解：设y与x之间的函数关系式是y＝kx2， 由题意得：18＝9k， ∴k＝2， ∴y＝2x2， 当y＝3.2×105时，x＝400， ∴正方形的边长是400厘米＝4×102厘米． 故选：B． 3.有一拱桥洞呈抛物线，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　） A．yx B．yx C．y D．yx+16 【解答】解：设y＝a（x﹣20）2+16， 因为抛物线过（0，0）， 所以代入得： 400a+16＝0， 解得a， 故此抛物线的函数关系式为： y（x﹣20）2+16， 即yx2x， 故选：B． 4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　） A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元 【解答】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，总利润为W万元，根据题意得出： W＝y1+y2 ＝﹣x2+10x+2（15﹣x） ＝﹣x2+8x+30 ＝﹣（x﹣4）2+46， ∴当x＝4时，W取最大值，且最大值为46， ∴该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46万元，故C正确． 故选：C． 5.用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y有最大，最大值为1.5， ∴当x＝1米，窗框的最大面积是1.5平方米， 根据矩形面积计算公式，另一边为1.5÷1＝1.5（米）， ∴材料总长a＝1.5+1.5+1+1+1＝6（米）． 故选：C． 6.汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝at2+15t，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【解答】解：把函数的解析式化为顶点式得：， ∵汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴， 解得：a＝﹣6， 经检验，a＝﹣6是分式方程的根，且符合题意， 故选：C． 7.如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（　　） A．4m B．5m C． D． 【解答】解：∵OA＝2m，BD＝6m，OD＝2m， ∴A（0，2），B（2，6）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6． 将A（0，2）代入，得4a+6＝2， 解得a＝﹣1． ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+6． 令y＝0，则﹣（x﹣2）2+6＝0． 解得，（不合题意，舍去）． ∴OC的长为． 故选：D． 8.一学生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为yx2x，则学生推铅球的距离为（　　） A． B．3m C．10m D．12m 【解答】解：令函数式yx2x中，y＝0， 即x2x0， 解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）， 即铅球推出的距离是10m． 故选：C． 9.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（　　） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 【解答】解：在yx2+10x中，当x＝5时， y52+10×5＝45， ∴第5秒时炮弹的飞行高度为45米． 故选：D． 10.如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足y＝﹣x2+2x+3，有下列结论： ①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为3m； ②水珠在其距离喷头的水平距离为1m时，达到最大高度，最大高度为4m； ③水珠在空中两次到达到竖直高度2m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1（舍去）， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为3m，故①正确； y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y达到最大值，最大值为4， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为1m时，达到最大高度，最大高度为4m，故②正确； 当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2， 解得x1＝1，x2＝1（舍去）， ∴水珠在空中一次到达到竖直高度2m，故③错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　 　 m． 【解答】解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴汽车刹车后到停下来前进了45m， 故答案为：45． 12.用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 　 　 cm2． 【解答】解：设矩形的长为x cm，则宽为（30﹣x）cm，面积为S cm2， S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225， ∴该函数图象开口向下，当x＝15时，该函数取得最大值225， 故答案为：225． 13.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为551m2，根据图中数据，求得小路宽x的值为 　　 ； 【解答】解：根据题意得：（30﹣x）（20﹣x）＝551， 整理得：x2﹣50x+49＝0， 解得：x1＝1，x2＝49（不符合题意，舍去）， 即小路宽x的值为1， 故答案为：1． 14.如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为AB的中点，点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC﹣CD向点D运动，同时点Q以1cm/s的速度从点E出发，沿EB﹣BC向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当S△APQ＝2S△BPQ时，BP的长度为 　 　 ． 【解答】解：如图所示，当0＜t≤2时，点Q在线段EB上，P在BC上， 由条件可知AE＝EB＝2， 依题意，EQ＝t，QB＝2﹣t，则AQ＝2+t；BP＝2t， ∵S△APQ＝2S△BPQ， ∴， ∴AQ＝2BQ， ∴2+t＝2（2﹣t）， 解得：，此时BP； 如图所示，当2＜t≤4时，点Q在线段BC上，P在CD上， 依题意，BQ＝t﹣2，PC＝2t﹣4，则PD＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t，CQ＝CB﹣BQ＝4﹣（t﹣2）＝6﹣t， ∵S正方形﹣（S△ADP+S△ABQ+S△PCQ）＝2S△BPQ， ∴， 解得：t＝4或t＝﹣2（舍去）， 此时BP4． 综上所述，BP或4． 故答案为：或4． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，若篱笆（虚线部分）的长度为16m，当所围成矩形ABCD的面积是60m2时（墙足够长）． （1）求矩形的长是多少？ （2）当矩形的长是多少矩形的面积w有最大值？最大值是多少？ 【解答】解：（1）设矩形的一条边长为xm，则另一条边长为（16﹣x）m， 由题意得：x（16﹣x）＝60， 解得：x1＝6，x2＝10， ∴16﹣x＝10或6． ∵6＜10， ∴矩形的长为10m． 答：矩形的长是10m． （2）根据题意，得：w＝x（16﹣x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64， ∵a＝﹣1＜0， ∴w有最大值， ∴当x＝8时，w取得最大值64， 答：当矩形的长是8m时，矩形的面积w有最大值，最大值是64m2． 16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？ 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，如图， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），点A坐标为（﹣2，0）， ∴设顶点式y＝ax2+2， 代入A点坐标（﹣2，0），可得0＝a（﹣2）2+2， 解得：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：， 所以水面宽度为米． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知y是x的函数，王老师对此函数提供了以下三条信息：①函数图象经过点A（﹣2，0）、B（2，3）；②对任意的实数m，x＝m时的函数值与x＝m+3时的函数值相等；③当﹣2≤x＜1时，函数表达式为y＝ax2+c（a、c均为常数）． （1）a＝　　 ，c＝　　 ； （2）求此函数在1≤x＜4上的表达式； 【解答】解：（1）∵当x＝2＝m+3时，m＝﹣1， 即x＝﹣1和x＝2时函数值相等，y＝3， ∴把（﹣2，0）和（﹣1，3）代入y＝ax2+c， 得：，解得， 故答案为：﹣1，4； （2）∵a＝﹣1，c＝4， ∴当﹣2≤x＜1时，函数表达式为y＝﹣x2+4， ∵对任意的实数m，x＝m时的函数值与x＝m+3时的函数值相等， ∴函数图象是经过水平平移3个单位长度得到， ∴当1≤x＜4时，抛物线向右平移3个单位得到，即抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4； 18.对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）． （1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当m≤x≤m+2时，函数的最小值是﹣3，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围． 【解答】解：（1）①当x＝2时，y＝a﹣a﹣3＝﹣3≠﹣5，不合题意，舍去； 当x＝1时，﹣a﹣3＝﹣4， ∴a＝1，符合题意， 这时二次函数的表达式是y＝x2﹣2x﹣3； 当x＝﹣1时，y＝4a﹣a﹣3＝3a﹣3＝﹣6， ∴a＝﹣1＜0，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过（1，﹣4）； ②∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3）， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3）， ∵当x≥m时，该函数的最小值是﹣3， ∴m＝2； （2）当x＝n时，代入：p＝an2﹣2an﹣3， 当x＝n+3时代入：q＝a（n+3）2﹣2a（n+3）﹣3， ∴q＝an2+4an+3a﹣3， ∴p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0， ∵a＞0， ∴2n+1＞0，即n＞﹣0.5． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元． （1）分析数量关系填表： 每台售价（元） 30 31 32 … 30+x 月销售量（台） 180 170 160 … （2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围 （3）当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元）最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）31﹣30＝1，180﹣170＝10，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台， 所以当每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，则月销售量为180﹣10x， 故答案为：180﹣10x； （2）由题意可知：y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）； （3）由（2）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）． ∵﹣10＜0， ∴当x4时，y最大＝1960元； ∴每件商品的售价为34元． 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元． 20.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30， 当40＜x≤100时，设y＝kx+b， 把（40，30），（100，15）代入得： ， 解得：， ∴yx+40， ∴y； （2）设甲种花卉种植面积为a m2，则乙种花卉种植面积为（360﹣a）m2， ∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ∴， 解得30≤a≤90， 当30≤a≤40时，w＝30a+15（360﹣a）＝15a+5400， ∵15＞0， ∴当a＝30时，w最小，最小为15×30+5400＝5850（元）， 当40＜a≤90时，w＝a（a+40）+15（360﹣a）（a﹣50）2+6025， ∵0，对称轴为直线a＝50，且40﹣50＜90﹣50， ∴a＝90时，w取最小值，最小为（90﹣50）2+6025＝5625（元）， ∵5625＜5850， ∴当a＝90时，w取最小值，最小为5625元， 此时360﹣a＝270， 答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元． 六、（本题满分12分） 21.已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式； （2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点． ①若k＝1，求a的值． ②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的顶点在x轴上， ∴此时抛物线与x轴只有一个交点， ∴Δ＝42﹣4a×3＝0， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①若k＝1，则直线y＝kx（k≠0）的解析式为y＝x， ∵为直线y＝x（k≠0）与抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的交点， ∴， ∴， ∴若k＝1，a的值为； ②抛物线y＝ax2+4x+3的对称轴为直线， ∵B（x2，y2）C（x3，y3）两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，y2＝y3， ∴B，C两点关于对称轴直线对称， ∴， ∴， 联立，得ax2+（4﹣k）x+3＝0， ∵直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点， ∴x2是方程ax2+（4﹣k）x+3＝0（a＞0）的两个根， ∴， ∴x2＝﹣3， ∴， ∵0≤x3≤2， ∴， ∵a＞0， ∴． 七、（本题满分12分） 22.某商场有A、B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元． （1）设A、B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a，b的值； （2）B商品每件的成本是20元．根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件． ①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？ ②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【解答】解：（1）根据题意列方程得， 解得， 答：a、b的值分别为25，30； （2）①∵销售单价为x元， ∴销售量为100﹣5（x﹣30）件， 根据题意得y＝（x﹣20）[100﹣5（x﹣30）]＝﹣5x2+350x﹣5000， 即y关于x的函数关系式为y＝﹣5x2+350x﹣5000（30≤x≤50）． ②由抛物线对称轴为x35， 可知当售价为35元时，B商品每天的销售利润最大， 最大利润为y＝﹣5×352+350×35﹣5000＝1125（元）． 答：当B商品定价为35元时，B商品每天的利润最大，最大利润为1125元． 八、（本题满分14分） 23.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），其图象上有不同的两点坐标分别为（m，n）、（2﹣m，n），记y的最小值为p． （1）若p＝﹣4，请直接写出该二次函数图象的顶点坐标； （2）若n﹣p＝9a，求m的值； （3）点（m+t，n+t）与（2﹣m+t，n﹣2t）（t≠0）也在该函数图象上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），其图象上有不同的两点坐标分别为（m，n）、（2﹣m，n）， ∴对称轴为直线x抛物线开口向上， ∴当x＝1，最小值p＝﹣4， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）∵（m，n）在y＝a（x﹣1）2+p的函数图象上， ∴n＝a（m﹣1）2+p， ∴n﹣p＝a（m﹣1）2＝9a， ∵a≠0， ∴（m﹣1）2＝9， ∴m1＝4，m2＝﹣2； （3）∵（m+t，n+t）和 （2﹣m+t，n﹣2t）在y＝a（x﹣1）2+p的函数图象上， ∴n+t＝a（m+t﹣1）2+p①n﹣2t＝a（2﹣m+t﹣1）2+p②， 由②﹣①得，3t＝4at（m﹣1）， ∴， ∵（m，n）在y＝a（x﹣1）2+p， ∴n＝a（m﹣1）2+p③， 由①﹣③得2a（m﹣1）+at＝1，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.4 二次函数的应用 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 2.某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当x＝3时，y＝18，那么当成本为3.2×105元时，边长为（　　） A．1.6×103厘米 B．4×102厘米 C．0.4×103厘米 D．2×103厘米 3.有一拱桥洞呈抛物线，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　） A．yx B．yx C．y D．yx+16 4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　） A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元 5.用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 6.汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝at2+15t，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 7.如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（　　） A．4m B．5m C． D． 8.一学生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为yx2x，则学生推铅球的距离为（　　） A． B．3m C．10m D．12m 9.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（　　） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 10.如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足y＝﹣x2+2x+3，有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为3m；②水珠在其距离喷头的水平距离为1m时，达到最大高度，最大高度为4m；③水珠在空中两次到达到竖直高度2m．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　 　 m． 12.用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 　 　 cm2． 13.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为551m2，根据图中数据，求得小路宽x的值为 　　 ； 14.如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为AB的中点，点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC﹣CD向点D运动，同时点Q以1cm/s的速度从点E出发，沿EB﹣BC向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当S△APQ＝2S△BPQ时，BP的长度为 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，若篱笆（虚线部分）的长度为16m，当所围成矩形ABCD的面积是60m2时（墙足够长）． （1）求矩形的长是多少？ （2）当矩形的长是多少矩形的面积w有最大值？最大值是多少？ 16.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知y是x的函数，王老师对此函数提供了以下三条信息：①函数图象经过点A（﹣2，0）、B（2，3）；②对任意的实数m，x＝m时的函数值与x＝m+3时的函数值相等；③当﹣2≤x＜1时，函数表达式为y＝ax2+c（a、c均为常数）． （1）a＝　　 ，c＝　　 ； （2）求此函数在1≤x＜4上的表达式； 18.对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）． （1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当m≤x≤m+2时，函数的最小值是﹣3，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元． （1）分析数量关系填表： 每台售价（元） 30 31 32 … 30+x 月销售量（台） 180 170 160 … （2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围 （3）当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元）最大？最大利润是多少？ 20.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 六、（本题满分12分） 21.已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式； （2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点． ①若k＝1，求a的值． ②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤2，求a的取值范围． 七、（本题满分12分） 22.某商场有A、B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元． （1）设A、B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a，b的值； （2）B商品每件的成本是20元．根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件． ①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？ ②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 八、（本题满分14分） 23.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），其图象上有不同的两点坐标分别为（m，n）、（2﹣m，n），记y的最小值为p． （1）若p＝﹣4，请直接写出该二次函数图象的顶点坐标； （2）若n﹣p＝9a，求m的值； （3）点（m+t，n+t）与（2﹣m+t，n﹣2t）（t≠0）也在该函数图象上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$