21.3 二次函数与一元二次方程 课时练 ---2025-2026学年沪科版数学九年级上册

21.3 二次函数与一元二次方程 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数为（　　） A．无交点 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）， 所以抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴只有一个交点． 故选：B． 2.二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有交点， ∴kx2﹣2x+1＝0时， 解得k≤1且k≠0． 故选：D． 3.已知抛物线y＝x2﹣6x+p（p为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣6x+p＝0的两个实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝5 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+p（p为常数）的图象的对称轴为直线x3， 而抛物线与x轴的一个交点是（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣6x+p＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝5． 故选：D． 4.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下， ∴函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞4， 故选：D． 5.已知二次函数y＝x2+mx的图象的对称轴为直线x＝2，则抛物线y＝x2+mx在x轴上截得的线段长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的图象的对称轴为直线x＝2， ∴2， 解得m＝﹣4， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x， 当y＝0时，0＝x2﹣4x， 解得x1＝0，x2＝4， ∴抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（4，0）， ∴抛物线在x轴上截得的线段长为4﹣0＝4． 故选：A． 6.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标是（﹣1，4） C．图象与y轴交点的坐标是（0，4） D．图象在x轴上截得的线段长度是4 【解答】解：根据y＝﹣（x﹣1）2+4得顶点坐标是 （1，4），a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令x＝0，得y＝﹣1+4＝3， ∴图象与y轴交点的坐标是 （0，3）； 故C错误； 令y＝0，得﹣（x﹣1）2+4＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴x1﹣x2＝3﹣（﹣1）＝4， 故D正确， 故选：D． 7.如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　） A．b2＞4ac B．若点 （﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＜n C．ax2+bx+c≥﹣6 D．关于x的一元二次方程 ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣4和﹣1 【解答】解：A、根据图中所给的信息可知：抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，结论正确，故本选项不符合题意； B、∵﹣2﹣（﹣3）＝1，（﹣3）﹣（﹣3）＝2， ∴点（﹣5，n）到对称轴的距离比点（﹣2，m）到对称轴的距离大， ∴m＜n，本选项结论正确，故本选项不符合题意； C、根据图中所给的信息可知：抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上， ∴ax2+bx+c≥﹣6，结论正确，故本选项不符合题意； D、抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一个根为﹣1， ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣3， ∴另一个根为2×（﹣3）﹣（﹣1）＝﹣6+1＝﹣5，本选项错误，故本选项符合题意； 故选：D． 8.已知抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4， 当x＝1时，y＝3， 当x＝5时，y＝﹣5， 由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解， 直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4， ∴﹣5＜t≤4． 故选：D． 9.已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1， ∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0， 故选：C． 10.如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的一部分，其对称轴是直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则下列结论中正确的有（　　） ①abc＞0；②2a+b＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；④若m（am+b）＜4a+2b，则m＞2或m＜0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的一部分，其对称轴是直线x＝1， 由图象知a＜0，c＞0， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①说法错误； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确； 抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），根据抛物线的对称性，点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点是（3，0）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标是（﹣1，0）和（3，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3， 故③正确； ∵m（am+b）＜4a+2b， ∴am2+bm+c＜4a+2b+c， ∴对于函数y＝ax2+bx+c， 当x＝m时的函数值应小于当x＝2时的函数值． ∵a＜0，抛物线的对称轴是直线x＝1， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∴|m﹣1|＞2﹣1， ∴m＞2或m＜0， 故④正确． 综上，正确的有②③④，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.次函数y＝x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是　 　 ，与y轴的交点坐标为　　 ． 【解答】解：由图象与x轴相交则y＝0，代入得：x2﹣3x+2＝0， 解方程得x＝1或x＝2， ∴与x轴交点的坐标是（1，0）、（2，0）， 由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝2， ∴与y轴交点坐标是（0，2）； 故答案为：（1，0）、（2，0），（0，2）． 12.已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+n＝0的解为x1＝2，x2＝5，则抛物线y＝（x﹣m+2）2+n与x轴交点坐标是　 　 ． 【解答】解：∵（x﹣m）2+n＝0的解为x1＝2，x2＝5， ∴x＝2或x＝5时，y＝0， ∴抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交点坐标是（2，0），（5，0）， 抛物线y＝（x﹣m+2）2+n是由抛物线y＝（x﹣m）2+n向左移动2个单位所得， ∴y＝（x﹣m+2）2+n与x轴交点坐标是（0，0），（3，0）， 13.已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞3时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 　 　 ． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线xm， ∵当x＞3时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤3， 解得m≥﹣3． 故答案为：m≥﹣3． 14.定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如函数y＝﹣x2+3x的特征数为[﹣1，3，0]，函数y＝x﹣4的特征数为[0，1，﹣4]，若特征数为[a2，6，3]的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为 　 　 ． 【解答】解：由题意可得特征数为[a2，6，3]的函数为y＝a2x2+6x+3， 当a＝0时，函数y＝a2x2+6x+3为一次函数，符合题意， 当a≠0时，函数y＝a2x2+6x+3为二次函数，当Δ＝62﹣12a2＝0时符合题意， 解得a＝±， 故答案为：0或±． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知抛物线y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）的顶点在y轴右侧． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣（x根据顶点坐标公式可得， 顶点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（，）； （2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a）， ∴该抛物线一定经过定点（﹣1，0）； 16.在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）． （1）若a＝﹣1时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）若二次函数的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，求代数式的值． 【解答】解：（1）当a＝﹣1时，则二次函数为y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． ∴二次函数图象与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0）． （2）由题意，∵二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点， ∴ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1＝﹣2a+3有两个相等实根， ∴ax2﹣（a﹣1）x﹣2＝0， ∴Δ＝（a﹣1）2+8a＝0， 即a2+6a+1＝0， ∵a为常数，且a＜0， ∴两边同时除以a，得：a+6＝0 即a6， ∴a2（a）2﹣2＝36﹣2＝34． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求直线BC的函数解析式； （2）若P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，求线段PM的最大值． 【解答】解：（1）令﹣x2+x+2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， ∴B（2，0）． 令x＝0，得y＝2， ∴C（0，2）． 设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 将B（2，0），C（0，2）代入， 得， 解得， ∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+2． （2）设点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），0＜m＜2， ∴点M的坐标为（m，﹣m+2）， ∴PM＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1， ∴当m＝1时，PM取得最大值1， 即线段PM的最大值为1． 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴交于原点和点A（4，0），一次函数y＝﹣x+4与y轴交于点B，抛物线与直线AB交于点A和点C（1，3）． （1）观察函数图象，不等式﹣x2+4x＞﹣x+4的解集是 　 　 ； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB+PO的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）观察函数图象知，不等式﹣x2+4x＞﹣x+4的解集是：1＜x＜4， 故答案为：1＜x＜4； （2）存在，理由： 由点的对称性知，点A关于抛物线的对称点为点O， 则AB与抛物线对称轴的交点即为点P，此时PB+PO为最小，理由： PB+PO＝PA+PB＝AB为最小， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2， 当x＝2时，y＝﹣x+4＝2， 即点P（2，2）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【解答】解：（1）当y1＝0时， x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）． ∵直线y2＝﹣x+b经过A点， ∴0＝﹣（﹣1）+b， ∴b＝﹣1； （2）由（1）知y2＝﹣x﹣1， 联立得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1， 整理得x2﹣x﹣2＝0 解得：x＝﹣1（舍），x＝2， 把x＝2代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣3， ∴C（2，﹣3）， ∴S△ABC[3﹣（﹣1）]×|﹣3|＝6； （3）A（﹣1，0），C（2，﹣3）， 当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方， ∴当y1＞y2时，x＜﹣1或x＞2． 20.已知抛物线：y＝x2﹣2mx+m2﹣16． （1）求证：无论m为何值，与x轴总有两个不同的交点A，B； （2）若（xA﹣1）（xB﹣1）＝9，求m的值； （3）若OA＝3OB，请直接写出m的值． 【解答】（1）证明：由题意得：Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣16）＝64＞0， ∴无论m为何值，与x轴总有两个不同的交点A，B； （2）解：令y＝0，解得xA＝m﹣4，xB＝m+4， 则（xA﹣1）（xB﹣1）＝9，即（m﹣5）（m+3）＝9， 解得：m＝6或﹣4； （3）解：①当点A在点B的左侧时， 当点A、B均在y轴右侧时， ∵OA＝3OB， ∴﹣（m﹣4）＝﹣3（m+4），解得m＝﹣8， 当点A、B在y轴两侧时， 则﹣（m﹣4）＝3（m+4），解得m＝﹣2， 故m＝﹣8或﹣2． ②当点A在点B的右侧时， 同理可得：m＝8或2； 综上，m＝±8或±2． 六、（本题满分12分） 21.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2． （1）①m＝ 　　 ； ②若抛物线与x轴只有一个公共点，则n的值为 　　 ． （2）若P（2a﹣3，b1）；Q（5，b2）是图象上的两点，且b1＜b2，求a的取值范围． （3）若对于任意实数x1，x2都有y1+y2≥2，则n的取值范围是 　 　 ． 【解答】解：（1）①∵当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴， ∴m＝﹣4． 故答案为：﹣4． ②∵若抛物线与x轴只有一个公共点， ∴关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4n＝0， ∴n＝4． 故答案为：4． （2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝2， 点Q（5，b2）关于直线x＝2的对称点为Q′（﹣1，b2）． ∵抛物线的开口向上， ∴当﹣1＜2a﹣3＜5时，b1＜b2， 解得1＜a＜4． （3）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4， ∴当x＝2时，函数有最小值n﹣4． ∵对于任意实数x1，x2都有y1+y2≥2， ∴2（n﹣4）＝2n﹣8≥2， 解得n≥5． 故答案为：n≥5． 七、（本题满分12分） 22已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（1，0），且AO＝CO． （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线上位于第一象限的部分是否存在点P，使得S△ABP，若存在，请求出点P坐标，若不存在，说明理由； （3）将线段BC向左平移k（k＞0）个单位长度，若线段BC与抛物线有唯一交点，请直接写出k的取值范围． 【解答】解：（1）将 x＝0 代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得 y＝﹣3． ∴点C的坐标为 （0，﹣3）， ∵OA＝OC， ∴点A的坐标为（﹣3，0）． 已知点B的坐标为（1，0）， 设函数解析式为 y＝a（x+3）（x﹣1）． 将点C（0，﹣3）代入，得a＝1． ∴二次函数的解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3； （2）∵△ABC 与△ABP等底，且， ∴， 将yP＝5代入y＝x2+2x﹣3， 得关于x的方程x2+2x﹣8＝0， 解得x1＝﹣4（舍），x2＝2． ∴点P的坐标为（2，5）； （3）线段BC的平移轨迹为平行四边形，数形结合可得若线段BC与抛物线有唯一交点时， 则临界点是BC过点C关于抛物线对称轴的对称点（2，﹣3）（即k＝2）和过点A（﹣3，0）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝3x﹣3，平移后的表达式为：y＝3（x+k）﹣3， 将点A的坐标代入上式得：0＝3（﹣3+k）﹣3， 则k＝4， 故k的取值范围为2≤k≤4． 八、（本题满分14分） 23.已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）， ∴9+3b﹣3＝0， ∴b＝﹣2， ∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0， ∴解得，x＝﹣1或x＝3， ∴B（﹣1，0）； 故答案为：﹣2；（﹣1，0）； ②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5， ∴x＝4或x＝﹣2． 又∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上． ∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分， ∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4． （2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立， 即x2+bx﹣3＞t恒成立． 即x2+bx﹣3﹣t＞0． ∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上， ∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0， ∴t． （3）由抛物线的对称性可知，抛物线与直线y＝n有两个交点， 若抛物线与直线y＝m也有两个交点，则x的解集有两部分， ∴抛物线与直线y＝m只有一个交点或没有， ∴直线y＝n与抛物线的交点为（1，n），（2，n），m小于等于抛物线的最小值， ∴对称轴x， ∴b＝﹣3． ∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x）2， ∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5， 由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2， ∴m． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 二次函数与一元二次方程 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数为（　　） A．无交点 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2.二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 3.已知抛物线y＝x2﹣6x+p（p为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣6x+p＝0的两个实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝5 4.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 5.已知二次函数y＝x2+mx的图象的对称轴为直线x＝2，则抛物线y＝x2+mx在x轴上截得的线段长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标是（﹣1，4） C．图象与y轴交点的坐标是（0，4） D．图象在x轴上截得的线段长度是4 7.如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　） A．b2＞4ac B．若点 （﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＜n C．ax2+bx+c≥﹣6 D．关于x的一元二次方程 ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣4和﹣1 8.已知抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 9.已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 10.如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的一部分，其对称轴是直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则下列结论中正确的有（　　） ①abc＞0；②2a+b＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；④若m（am+b）＜4a+2b，则m＞2或m＜0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.次函数y＝x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是　 　 ，与y轴的交点坐标为　　 ． 12.已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+n＝0的解为x1＝2，x2＝5，则抛物线y＝（x﹣m+2）2+n与x轴交点坐标是　 　 ． 13.已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞3时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 　 　 ． 14.定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如函数y＝﹣x2+3x的特征数为[﹣1，3，0]，函数y＝x﹣4的特征数为[0，1，﹣4]，若特征数为[a2，6，3]的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为 　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知抛物线y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）的顶点在y轴右侧． （1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； （2）试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标； 16.在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）． （1）若a＝﹣1时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）若二次函数的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，求代数式的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求直线BC的函数解析式； （2）若P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，求线段PM的最大值． 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴交于原点和点A（4，0），一次函数y＝﹣x+4与y轴交于点B，抛物线与直线AB交于点A和点C（1，3）． （1）观察函数图象，不等式﹣x2+4x＞﹣x+4的解集是 　 　 ； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB+PO的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求△ABC的面积； （3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 20.已知抛物线：y＝x2﹣2mx+m2﹣16． （1）求证：无论m为何值，与x轴总有两个不同的交点A，B； （2）若（xA﹣1）（xB﹣1）＝9，求m的值； （3）若OA＝3OB，请直接写出m的值． 六、（本题满分12分） 21.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2． （1）①m＝ 　　 ； ②若抛物线与x轴只有一个公共点，则n的值为 　　 ． （2）若P（2a﹣3，b1）；Q（5，b2）是图象上的两点，且b1＜b2，求a的取值范围． （3）若对于任意实数x1，x2都有y1+y2≥2，则n的取值范围是 　 　 ． 七、（本题满分12分） 22已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（1，0），且AO＝CO． （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线上位于第一象限的部分是否存在点P，使得S△ABP，若存在，请求出点P坐标，若不存在，说明理由； （3）将线段BC向左平移k（k＞0）个单位长度，若线段BC与抛物线有唯一交点，请直接写出k的取值范围． 八、（本题满分14分） 23.已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$