精品解析：福建省泉州市安溪第一中学2024-2025学年高一下学期6月份质量检测数学试卷

福建省泉州市安溪第一中学2024-2025学年高一下学期6月份质量检测数学试卷 一、选择题 1. 已知向量，若向量与平行，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2. 复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 4. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 5. 现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥中，，其余各棱长均为2，P是三棱锥外接球的球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（ ） A. B. C. D. 8. 已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ） A. 重心，外心，内心 B. 重心、内心，外心 C. 重心，外心，垂心 D. 外心，重心，垂心 二、多项选择题 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限 10. 在实数集中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似实数排序的定义，我们定义“点序”，记为“”：已知，，，当且仅当“”或“且”．定义两点的“”与“”运算：，．则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则且 C. 若，则对任意的点T，都有 D. 若，则对任意的点T，都有 11. 函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 三、填空题 12. 复数的模是_________. 13. 已知平行四边形ABCD满足，则________． 14. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 四、解答题 15. 已知复数，.（其中为虚数单位，） （1）若为纯虚数，求的值： （2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 16. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； （2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； （3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 17. 如图，在矩形中，，.为边上一点且，为线段上的动点（不含端点）.过作的平行线交于，现将四边形沿翻折成如图的直二面角. （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，求直线与直线所成角的正切值； （3）当直线与直线所成角最大时，求的长. 18. 若函数（），非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”． （1）已知函数，求的“相伴向量”； （2）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，，求的值； （3）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出的“相伴向量”；若不存在，请说明理由． 19. 如图，中，，，，点，满足，．将沿DE翻折至，使得． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省泉州市安溪第一中学2024-2025学年高一下学期6月份质量检测数学试卷 一、选择题 1. 已知向量，若向量与平行，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示及平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】， 因为向量与平行， 所以， 解得：， 故选：C 2. 复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简得出复数，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】，则，故的虚部为. 故选：D. 3. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第百分位数； 【详解】解：依题意可得这组数据从小到大排列为、、、、、、， 且， 所以这组数据的第百分位数为. 故选：C 4. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱底面半径为，高为，球的半径为，则，根据基本不等式可得、，结合圆柱与球的体积公式化简计算即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，球的半径为， 则，， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 故选：A 5. 现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【详解】设双打与第二、第三场单打赢对方分别为事件，，， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件，则，，， ， ， 所以. 故选：D. 6. 已知三棱锥中，，其余各棱长均为2，P是三棱锥外接球的球面上的动点，则点P到平面BCD的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据几何性质找到三棱锥外接球的球心，再根据球的几何性质球点到平面距离的最值. 【详解】取的中点，连结，， 则，，且，平面， 所以平面， 点，分别是，的中心，由等边三角形的性质可知， 点分别在上，且， 由题意可知，，则， 分别过点作，， 因为平面，平面，所以平面平面， 且平面平面， 所以平面，同理平面， 则点在平面内，点到的距离相等，所以点为三棱锥外接球的球心， 连结，因为，则， 所以平分，所以， 连结， 则，， 所以三棱锥的外接球的半径为， 则点P到平面的距离的最大值为 故选：D 7. 天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数知识得到方程，求出. 【详解】由图可知，，故，解得. 故选：B. 8. 已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ） A. 重心，外心，内心 B. 重心、内心，外心 C. 重心，外心，垂心 D. 外心，重心，垂心 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断出答案. 【详解】 因为，所以， 设AB的中点D，则，所以， 所以C，G，D三点共线，即G为的中线CD上的点，且， 所以G为的重心． 因为，所以，所以O为的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得：，，所以H为的垂心. 故选：C. 二、多项选择题 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用复数乘法运算得，结合各项的描述和复数的性质、几何意义判断各项的正误. 【详解】A选项，由， 若是纯虚数，则，可得，A错； B选项，若，即，可得，B对； C选项，若，则，，故，C对； D选项，若，则，故，对应点坐标为， 在复平面内对应点在第三象限，D对. 故选：BCD 10. 在实数集中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似实数排序的定义，我们定义“点序”，记为“”：已知，，，当且仅当“”或“且”．定义两点的“”与“”运算：，．则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则且 C. 若，则对任意的点T，都有 D. 若，则对任意的点T，都有 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义，利用逻辑推理的数学思维，结合选项依次判定即可. 【详解】选项A：因为，，所以， 故由定义可知，故A正确； 选项B：根据定义可知，当时，有， 当时，y与2024之间没有大小关系，故B错误； 选项C：设，，，则由可得，“”或“且”， 由定义得，， 当时，，所以； 当时，有，此时，且，所以，故C正确； 选项D：设，，取， 则有，， 显然不成立，故D错误． 故选：AC 11. 函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简得出，求出变化后得解析式，即，然后根据正弦函数的性质分别判断每个选项的正误. 【详解】对于选项A，因为，其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以的最小正周期为,故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C,当时，，则在区间上单调递增是不正确的,故C错误； 对于选项D, ，函数的图象关于点对称，故D正确, 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是先化简得出，再求出. 三、填空题 12. 复数的模是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算及模长的计算方法求解即可. 【详解】， 所以 故， 故答案为：. 13. 已知平行四边形ABCD满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形为平行四边形结合余弦定理计算，再应用同角三角函数关系求解. 【详解】因为平行四边形ABCD满足， 又因为， 所以， 所以，所以， 则． 故答案为：. 14. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为， 即，故， 故答案为： 四、解答题 15. 已知复数，.（其中为虚数单位，） （1）若为纯虚数，求的值： （2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义，列方程组求解； （2）方法一：利用实系数方程的虚根成共轭对的结论，得到方程的两个根，然后利用韦达定理得结果；方法二：直接将方程的根代入方程，利用复数相等的条件得到方程组求解即可. 【小问1详解】 由为纯虚数，所以有，解得. 【小问2详解】 方法一 是关于的方程的一个根 是的另一个根， ，，. 方法二 是关于的方程的一个根，. . 即，，. 16. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； （2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； （3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【答案】（1）0.01，88.33； （2）10人； （3）“美食”工作需要进一步整改，理由：由图可知，认可程度平均分为： ， 显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布图，求得，然后推得第70百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案. （2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数. （3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案. 【小问1详解】 由图可知：，所以； 评分在内的频率为，内的频率为， 则第70百分位数位，， 所以第70百分位数为88.33. 【小问2详解】 低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）. 【小问3详解】 略 17. 如图，在矩形中，，.为边上一点且，为线段上的动点（不含端点）.过作的平行线交于，现将四边形沿翻折成如图的直二面角. （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，求直线与直线所成角的正切值； （3）当直线与直线所成角最大时，求的长. 【答案】（1） 连接交于点， 在中，，所以， 又，则，即，则， 则，即， 所以，则，即， 又直二面角，平面平面， 平面，所以平面， 平面，所以，又平面， 所以平面，又平面，则； （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）根据相似可得，又直二面角，得平面，则，所以平面，从而可得证； （2）先证为直线与直线所成角，再由求解； （3）设，，利用基本不等式求最值，并求出等号成立的条件即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 翻折过程中，由于，则四边形为平行四边形， 所以，则为直线与直线所成角， ， 所以； 【小问3详解】 设， ， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 此时取得最大值，即最大， 即当时，直线与直线所成角最大. 18. 若函数（），非零向量，我们称为函数的“相伴向量”，为向量的“相伴函数”． （1）已知函数，求的“相伴向量”； （2）记向量的“相伴函数”为，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，若，，求的值； （3）对于函数，是否存在“相伴向量”？若存在，求出的“相伴向量”；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）“相伴向量”； （2）； （3）不存在；理由如下： 若函数存在“相伴向量”， 存在，，使得对任意都成立， 令，得，因此，即或 显然上式对任意不都成立， 所以，函数不存在“相伴向量”． 【解析】 【分析】（1）先由二倍角公式化简的解析式，由“相伴向量”的定义求解即可； （2）先将的解析式化简，然后利用三角函数的图象变换求出的解析式，由题意得到，然后由同角三角函数关系式结合角的变换以及两角差的正弦公式求解即可； （3）假设函数存在“相伴向量”，则存在，使得对任意的恒成立，通过对的值进行验证，即可判断． 【详解】（1），则函数的“相伴向量” （2）依题意，， 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 ，再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数 ， 由，得 由，则，则 （3）略 19. 如图，中，，，，点，满足，．将沿DE翻折至，使得． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由，得． 又，∴，∴，，（翻折前后保持不变） 又，AD，平面， ∴平面，又因为平面，∴． 又，∴． 易知，在中，，，， 由余弦定理得， ∴，∴． 又，AB，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）可以借助线面垂直的判定定理，通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直进行证明； （2）先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及相关向量，再求出平面的一个法向量，最后利用向量的夹角公式求出线面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则即， 令，则，，． 记直线与平面所成的角为，则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $