专题2.10 函数的零点与方程的解讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题2.10 函数的零点与方程的解 题型1 判断函数零点所在的区间 3 题型2 函数零点的个数问题 4 题型3 由函数零点的存在情况求参数的取值范围 6 题型4 函数零点的大小比较 10 题型5 复合函数方程问题 14 考点1 不含参的复合函数方程问题 14 考点2 含参的复合函数方程问题 18 高考真题演练 23 知识点一 函数零点的概念 1．函数零点的概念 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.即函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标. 所以，方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点. 2．函数零点的分类 (1)变号零点：零点附近两侧的函数值异号，如图1. (2)不变号零点：零点附近两侧的函数值同号，如图2. 知识点二 函数零点存在定理 1．函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 2．函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续曲线，且连续曲线的始点与终点分别在轴的两侧，则此连续曲线至少与轴有一个交点，如图. 知识点三 用二分法求方程的近似解 1．二分法的定义 对于在区间上图像连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 2．用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点的初始区间，验证. (2)求区间的中点. (3)计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若，则就是函数的零点； ②若，则令; ③若，则令. (4)判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或);否则重复步骤. 题型1 判断函数零点所在的区间 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 3．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 题型2 函数零点的个数问题 4．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型3 由函数零点的存在情况求参数的取值范围 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 10．已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 题型4 函数零点的大小比较 13．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 14．设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 17．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型5 复合函数方程问题 考点1 不含参的复合函数方程问题 18．（24-25高三上�江苏泰州�阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 19．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（多选题）已知函数，则函数的零点个数不可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 21．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 22．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 考点2 含参的复合函数方程问题 23．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．函数，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上�甘肃酒泉�阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围 . 27．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 28．已知函数，若，则实数m的取值范围是　　 A． B． C． D． 一、单选题 1．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则 A． B． C． D． 3．（2020·全国I卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 9．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 10．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.10 函数的零点与方程的解 基础巩固 一、单选题 1．若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·安徽滁州·二模）函数所有零点之和为（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 4．设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 5．（2025·安徽·模拟预测）函数的零点的个数为（     ） A． B． C． D．无法确定，与的取值有关 6．函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上�陕西�期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 9．（2024�安徽合肥�二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．关于函数的描述有以下说法，其中正确的有（    ） A．函数在区间上连续，若满足，则方程在区间上可能有实根 B．若函数的零点为，则函数在点两侧的函数值的符号一定不相同 C．“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数的所有零点都有效 D．连续函数相邻两个零点之间函数值保持同号 12．下列说法正确的是（   ） A．函数的零点是， B．方程有两个解 C．函数，的图象关于对称 D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上 13．已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ） A． B．直线为函数图象的一条对称轴 C．函数在区间上存在3个零点 D．若在区间上的根为，则 三、填空题 14．若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是 ． 15．已知函数的零点在区间上，则 . 16．设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 17．（2025高三�全国�专题练习）已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则m的取值范围是 ． 18．已知函数，若函数有两个零点，且，则的取值范围为 . 四、解答题 19．已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． (1)证明：是偶函数． (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 20．已知不等式的解集为(1，t)，记函数. (1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点； (2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为，，试将表示成以为自变量的函数，并求的取值范围； 21．已知二次函数． (1)若，且，试证明：必有两个零点； (2)若对且，，方程有两个不等实根，证明必有一实根属于． 22．已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 能力提升 23．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 24．（多选题）已知，分别是函数和的零点，则（    ） A． B． C． D． 25．（多选题）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 26．已知函数，则函数的零点个数是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 27．（多选题）已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．函数的零点为 28．已知函数，若方程有6个不等实根，则非零实数的取值范围为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.10 函数的零点与方程的解 题型1 判断函数零点所在的区间 3 题型2 函数零点的个数问题 4 题型3 由函数零点的存在情况求参数的取值范围 6 题型4 函数零点的大小比较 10 题型5 复合函数方程问题 14 考点1 不含参的复合函数方程问题 14 考点2 含参的复合函数方程问题 18 高考真题演练 23 知识点一 函数零点的概念 1．函数零点的概念 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.即函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标. 所以，方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点. 2．函数零点的分类 (1)变号零点：零点附近两侧的函数值异号，如图1. (2)不变号零点：零点附近两侧的函数值同号，如图2. 知识点二 函数零点存在定理 1．函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 2．函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续曲线，且连续曲线的始点与终点分别在轴的两侧，则此连续曲线至少与轴有一个交点，如图. 知识点三 用二分法求方程的近似解 1．二分法的定义 对于在区间上图像连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 2．用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点的初始区间，验证. (2)求区间的中点. (3)计算，并进一步确定零点所在的区间： ①若，则就是函数的零点； ②若，则令; ③若，则令. (4)判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或);否则重复步骤. 题型1 判断函数零点所在的区间 1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数． 且，则． 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是． 故选：C. 2．（2024·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、判断零点所在的区间 【分析】由题可得在上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】注意到函数图象在上连续不间断，因为在上均单调递增，则在上单调递增. 对于A，.因函数在上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误； 对于B，因为在上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确； 对于CD，由于在上单调递增，，可知C､D都是错误的. 故选：B. 3．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【答案】C 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】由二分法的定义直接求解即可. 【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值. 故选：C 题型2 函数零点的个数问题 4．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】指数函数图像应用、函数与方程的综合应用、对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合即可判断. 【详解】函数的零点即的解，即与图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，与有两个交点. 故选：C 5．已知函数，则函数的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】对数函数图象的应用、函数图象的应用、分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【详解】试题分析：画出，的图象，根据图形可判断交点个数． ∴根据图形可判断：有3个交点，∴函数的零点个数为3个，故选C. 考点：根的存在性及个数判断 【方法点睛】1．利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性． 2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值． 3．有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解 6．（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、用导数判断或证明已知函数的单调性、简单复合函数的导数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】分析函数的性质，再按分段并结合导数及零点存在性定理推理判断. 【详解】令函数，，则定义域为， ，是奇函数， 当时，； 由为奇函数可得当时，， 而函数是偶函数，且当时，， 则函数与的图象在时无交点； 当时，令，求导得， 函数在上单调递增，又， ，因此在上只有一个零点， 所以函数与的图象交点只有一个. 故选：B 题型3 由函数零点的存在情况求参数的取值范围 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 8．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、根据零点求函数解析式中的参数、函数奇偶性的定义与判断、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】先判断是偶函数，根据偶函数的对称性即可求解. 【详解】由于， 所以是偶函数， 要使在有唯一的零点，则， 即，解得， 故选：A 9．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由偶函数的定义得到函数为偶函数，结合偶函数的图象性质以及有且只有一个零点，可知，从而得到的值. 【详解】函数，其定义域为， 且，所以函数是偶函数. 由于偶函数图象关于轴对称，且有且仅有一个零点，所以有， 即，所以. 故选：C. 10．已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由得出是函数的一个零点，再由有两个不同的零点，得出a的取值范围. 【详解】，则是函数的一个零点 由，解得 要使得有两个不同的零点，则 故选：A 11．已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数图像应用、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据题意，转化为和有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数的取值范围. 【详解】由函数 ， 因为，令，即， 由函数有2个零点，即和有两个交点， 在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示， 结合函数的图象，要使得函数有2个零点，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 12．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数的零点、对数函数图象的应用、判断零点所在的区间、函数与方程的综合应用 【分析】由题意可得分别为函数与的交点，作出三个函数的图象，由图象可得，再由，可得，即可得答案. 【详解】令，则， 令，则， 则由题意得分别为函数与的交点， 作出三个函数图象如图所示，    由图可得，所以， 由题意得，则， 所以，即， 所以. 故选：A 题型4 函数零点的大小比较 13．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】由题意分别为函数与函数图象交点的横坐标，作出函数的图象，结合函数图象即可得解. 【详解】分别令， 则， 则分别为函数与函数图象交点的横坐标， 分别作出函数的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：A. 14．设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数函数图像应用、对数函数图象的应用、比较零点的大小关系 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 15．（多选题）（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、比较零点的大小关系 【分析】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图. 根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误； 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故D正确； 当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确. 故选：ACD 16．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 17．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用、比较零点的大小关系、比较对数式的大小 【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系. 【详解】设，由此， 分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像， 分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为， 由图可知. 故选：A. 题型5 复合函数方程问题 考点1 不含参的复合函数方程问题 18．（24-25高三上�江苏泰州�阶段练习）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【答案】 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 19．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用 【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数； 【详解】令． ①当时，，则函数在上单调递增， 由于，由零点存在定理可知，存在，使得； ②当时，，由，解得． 作出函数，直线的图象如下图所示：    由图象可知，直线与函数的图象有两个交点； 直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5． 故选：D． 20．（多选题）已知函数，则函数的零点个数不可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】ACD 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用 【分析】根据题意，先作出的图像，再令，将问题转化为与的交点的个数，进而得到交点横坐标的范围，从而分类讨论与两种情况，结合的图像即可判断得的零点的个数，由此得解. 【详解】根据指数函数与对数函数的性质，结合函数图像的变换作出的图像，如图， 令，则， 令，则，即， 在图中再作直线，由图象可知与有两个交点，其横坐标设为， 则， 当时，结合图像可知有2个不等实根； 当时，结合图像可知有3个不等实根； 综上：可得的实根个数为5， 即函数的零点个数是5. 故选：ACD. . 21．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】首先解得或，再根据函数的图象，利用数形结合，即可求解. 【详解】由得，解得或， 画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，） 故选：D. 22．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，可得或，分，求导判断的单调性及极值，进而可得，的解的个数，进而可得的零点个数. 【详解】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 故选：D. 考点2 含参的复合函数方程问题 23．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、函数图象的应用 【分析】先求出的解析式，画出函数图象，根据和有个不同的交点可得出. 【详解】当时，，则， 当时，， 则， 当时，，， 所以， 当时，， 因为单调递增且时单调递增， 所以在单调递增，且， 故画出函数图象如下图所示， 函数有3个不同的零点等价于和有个不同的交点， 所以由图象可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个不同的零点转化为和有个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度. 24．函数，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先解函数方程得到或，再利用方程的根与函数交点的关系，数形结合得到关于的不等式即可得解. 【详解】由得， 解得或， 画出的函数图象， 而的解的个数，可以看作与的交点个数，显然有两个交点； 因为有三个不同的实数根， 所以与需要有一个交点， 由函数图象可知，解得，即. 故选：D. 25．设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的图象，由关于的方程恰有个不同的实数解，令，可知方程有两个解，且两个解在，列出关系式，计算即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 关于的方程恰有个不同的实数解， 令，可得， 则方程有两个解，且两个解在， 可得，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键，属于中档题． 26．（24-25高三上�甘肃酒泉�阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】把原题分解为、的实根个数之和为4即可，在平面直角坐标系中画出、以及的图象，由此列出关于的不等式即可求解. 【详解】 或， 在平面直角坐标系中画出、以及的图象，如图所示：    若关于的方程有4个不同的实根， 则当且仅当，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于将问题转换为的实根个数为2，通过数形结合的方法即可求解. 27．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用 【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意作出函数的图像， 由，令，有， 即，化简得， 解得或，若方程有且仅有5个不同实数根， 所以或，解得或， 即，所以， 故答案为：. 28．已知函数，若，则实数m的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数不等式恒成立问题 【详解】设不等式的解集为M，利用排除法： 当m=3时，， 即，选项A,B错误； 当m=4时，， 即，选项C错误； 本题选择D选项. 点睛：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 一、单选题 1．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求函数的零点 【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点. 【详解】由， 得或，， ． 在的零点个数是3， 故选B． 【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题． 2．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当时，，得；最多一个零点； 当时，， ， 当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意； 当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点； 根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点， 如图： 且， 解得，，． 故选．    【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 3．（2020·全国I卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数奇偶性的定义与判断、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 5．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 6．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 二、填空题 7．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、辅助角公式 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 8．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数图象及性质、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 9．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 10．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.10 函数的零点与方程的解 基础巩固 一、单选题 1．若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、零点存在性定理的应用 【详解】函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线， 由零点存在定理，时，函数在开区间内至少有一个零点， 充分性成立； 而函数在开区间内至少有一个零点时，不一定成立， 如函数，在开区间内有零点，但， 必要性不成立. 则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的充分不必要条件. 故选：A 2．（2025·安徽滁州·二模）函数所有零点之和为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】求函数的零点、已知三角函数值求角 【分析】分类求出函数的零点后可得正确的选项. 【详解】由或可得或或或， 故函数的零点之和为， 故选：C. 3．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 4．设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】借助二分法定义计算即可得. 【详解】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为. 故选：B. 5．（2025·安徽·模拟预测）函数的零点的个数为（     ） A． B． C． D．无法确定，与的取值有关 【答案】A 【知识点】求函数零点或方程根的个数、指数函数图像应用 【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为时，由指数函数的图象与性质知， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 又当时，，所以函数只有一个零点，    故选：A. 6．函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】由可得，分析可知函数的零点个数即为函数与的图象的交点个数，数形结合可得出结果. 【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与的图象的交点个数为， 故函数的零点个数为. 故选：C. 7．（2025高三·全国·专题练习）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 8．（24-25高三上�陕西�期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求零点的和 【分析】由题意可知，且的周期为，因为时，，所以，故，，进而可知函数在区间内的所有零点之和. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 因为，所以的周期且， 所以， 因为当时，，所以，所以， 所以， 故在区间内的零点为，其零点之和为， 故选：A. 9．（2024�安徽合肥�二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的图象，由题意可得的图象与至少有两个不同的交点，从而得，结合图象可得，求解即可． 【详解】因为， 作出函数的图象，如图所示： 由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，， 又因为关于的方程至少有两个不同的实数根， 所以至少有两个不同的实数根， 即的图象与至少有两个不同的交点，所以， 又因为当时，，令，可得； 当时，，令，解得， 又因为，所以，解得． 故选:D． 10．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数与有4个交点，数形结合即可求解． 【详解】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在上偶函数，其图象关于轴对称作出函数图象： 因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是． 故选：C． 二、多选题 11．关于函数的描述有以下说法，其中正确的有（    ） A．函数在区间上连续，若满足，则方程在区间上可能有实根 B．若函数的零点为，则函数在点两侧的函数值的符号一定不相同 C．“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数的所有零点都有效 D．连续函数相邻两个零点之间函数值保持同号 【答案】AD 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】利用零点存在性定理及“二分法”逐项判断即得. 【详解】对于A，函数在上连续，，方程在有实根0，A正确； 对于B，函数的零点为0，而函数在点两侧的函数值符号相同，B错误； 对于C，“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数在零点两侧函数值符号相同的不适用，C错误； 对于D，由零点存在定理知，D正确. 故选：AD 12．下列说法正确的是（   ） A．函数的零点是， B．方程有两个解 C．函数，的图象关于对称 D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上 【答案】BC 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程、求函数的零点、判断零点所在的区间 【分析】对于A，零点不是点，而是函数与轴交点的横坐标，由此即可判断；对于B，由零点存在定理判断存在两个零点就可以了；对于C，由互为反函数的两个函数的位置关系即可判断；对于D，由零点存在定理即可判断. 【详解】对于A，令，解得，即函数的零点是和2，故A错误； 对于B，令，则， ， 所以由零点存在定理可知（其图象连续不断）在内各有一个零点，故B正确； 对于C，函数，互为反函数，所以函数，的图象关于对称，故C正确； 对于D，用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，， 则方程的根落在区间上，故D错误. 故选：BC. 13．已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ） A． B．直线为函数图象的一条对称轴 C．函数在区间上存在3个零点 D．若在区间上的根为，则 【答案】AB 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据周期函数的定义可得周期，故A正确；由，，推出，可得B正确；若当时，无零点，可推出无零点，可得C错误；根据的图象关于直线对称，推出，可得D错误. 【详解】对于A，因为，所以周期，故A正确； 对于B，因为为偶函数，所以，又， 所以，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误； 对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期， 又在区间上的根为，所以，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 14．若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、对勾函数求最值 【分析】通过参变分离，转化为在上有解，转化为求函数t＝x＋，x∈的值域. 【详解】由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 15．已知函数的零点在区间上，则 . 【答案】 【知识点】对数的运算、判断零点所在的区间 【解析】由题意有函数在为增函数，再结合，即可得解值. 【详解】由题意有函数在为增函数， 又， ， 即， 则函数的零点在区间上， 即 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了函数的零点，考查了分析能力和计算能力，属基础题. 16．设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用分段函数结合分段函数和二次函数的图象求解. 【详解】当时，当时 函数图象示意图为 则与有两个零点知a的取值范围是. 故答案为： 17．（2025高三�全国�专题练习）已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】要使函数恰有3个零点，即与的图象有3个交点，画出图像，用数形结合即可求得结果. 【详解】令，得， 若，则，； 若，则． 所以 画出其图象如图所示，当时，． 由图可知，要使函数恰有3个零点，即与的图象有3个交点， 则m的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于得出分段函数的解析式，运用数形结合的思想，求得参数的范围， 18．已知函数，若函数有两个零点，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】结合函数的性质得出，建立方程用表示，结合二次函数的性质计算即可. 【详解】的零点等价于与交点的横坐标，易知在定义域上单调递减，结合一次函数性质可得如下函数图象，    故，， 所以①， 令，则①=， 由二次函数的性质可知当时取得最小值，没有最大值， 故. 故答案为：. 四、解答题 19．已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． (1)证明：是偶函数． (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据零点求函数解析式中的参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的性质，求得，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证； （2）由（1）得到，根据在上有两个零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）证明：由二次函数的单调递增区间为， 可得，解得． 又因为有一个零点为，则，解得或（舍去）， 所以， 因为，所以是偶函数． （2）解：由（1）可知， 因为在上有两个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 20．已知不等式的解集为(1，t)，记函数. (1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点； (2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为，，试将表示成以为自变量的函数，并求的取值范围； 【答案】（1）见解析（2） 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）先根据不等式的解集为(1，t)证明，对于函数，由，可得必有两个不同零点；（2）化简等于，由不等式的解集为，可得有，化简，利用二次函数的性质可得的范围，从而求得的取值范围. 【详解】(1)由题意知a＋b＋c＝0，且－ >1，a<0且 >1， ∴ac>0， ∴对于函数f(x)＝ax 2 ＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b) 2 ＋4ac>0， ∴函数y＝f(x)必有两个不同零点．                         (2)|m－n| 2 ＝(m＋n) 2 －4mn＝， ， 由不等式ax 2 ＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知， 方程ax 2 ＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)， 由根与系数的关系知 ＝t， ∴，t∈(1，＋∞)． ∴|m－n|> ，∴|m－n|的取值范围为( ，＋∞)． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，函数的零点与一元二次不等式的解集，属于中档题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用配方法求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地将二次函数写成顶点式. 21．已知二次函数． (1)若，且，试证明：必有两个零点； (2)若对且，，方程有两个不等实根，证明必有一实根属于． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）利用可证得结论； （2）令，由可知在内必有一个实根，由此可得结论. 【详解】（1），又，， ， 必有两个零点； （2）令， ， ， ，又，， 在内必有一个实根， 即方程必有一实根属于. 【点睛】思路点睛：证明方程必有一实根属于某区间的基本思路是能够通过构造函数的方式，利用零点存在定理说明函数在该区间内有零点. 22．已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】(1)为奇函数 (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解， （2）将问题等价转化为在区间上有两个不同的实数根，构造函数，数形结合即可求解. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 由题意得，解得， 即函数的定义域为，故定义域关于原点对称. 又， 故为奇函数. （2）由， 得， 所以， 所以， 故方程有两个不同的实数根可转化为方程 在区间上有两个不同的实数根， 即函数与在区间上的图像有两个交点. 设，， 则，. 作出函数，的图像如图所示. 当时，函数与，的图像有两个交点， 即关于x的方程有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是. 能力提升 23．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有两个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再结合图象与性质逐项判断即得. 【详解】函数的图象关于直线对称，函数的图象开口向下，关于直线对称， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减， 函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，     观察图象知，函数的图象与直线有3个公共点，因此函数有3个零点，A错误； 函数的零点，即方程的根，亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有4个公共点， 因此函数有四个零点，则，B错误； 关于的方程有四个不等实根，不妨设， 显然有，因此，C错误； 令，由选项B知，当且仅当时，方程有4个不等实根， 要关于的方程有8个不等实根， 则当且仅当方程在上有2个不相等的实数根，令这两个实根为，， 且，，则， 由，得，而当时，的两根相等，不符合题意， 所以的取值范围是，D正确. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 24．（多选题）已知，分别是函数和的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、对数函数图象的应用、反函数的性质应用、指数函数图像应用 【分析】由零点为交点横坐标，零点为交点横坐标，结合关于对称，的图象关于对称，数形结合得到，即可判断各项正误. 【详解】由题设，零点为交点横坐标；零点为交点横坐标； 由关于对称，的图象关于对称， 所以，关于对称，的图象如下： 所以点与点关于对称，即， 故，，，A、B、D对； 若，即，此时，与矛盾，C错. 故选：ABD 25．（多选题）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用、函数图象的应用 【分析】令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求x的值，结合函数图象分析运算. 【详解】由题意可知， 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，则； 若函数恰好有4个不同的零点， 令，则有两个零点，可得， 当时，则，解得； 当时，则，可得； 可得和均有两个不同的实根， 即与、均有两个交点， 则，且，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 且，故A、D错误，B、C正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法， （1）利用零点存在定理构建不等式求解， （2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解， （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 26．已知函数，则函数的零点个数是 （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用 【分析】令有，结合函数图象知有两个交点的横坐标为，再由、判断的零点个数即可. 【详解】令，则， 作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，    ∴. 当时，有，即有一解；当时，有三个解， ∴综上，共有4个解，即有4个零点. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由得，利用函数图象确定交点横坐标，再由分段函数的性质当、时确定的零点个数. 27．（多选题）已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．函数的零点为 【答案】BCD 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、求零点的和 【分析】由解析式可得函数图象，由方程有四个不等实根可得到与有四个不同的交点，从而确定四个根的范围和的取值范围； 由可化简知A错误；由与关于直线对称知B正确； 根据与是方程的根，结合韦达定理和的取值范围可知C正确； 由可得或，由此可确定零点知D正确. 【详解】由解析式可得图象如下图所示： 若有四个不同的实数根，则与有四个不同的交点， 由图象可知：，； 对于A，，即， ，，， 整理可得：，A错误； 对于B，，与关于直线对称，，B正确； 对于C，与是方程的两根， ，又，，C正确； 对于D，， 由得：或， 的根为；的根为， 的零点为，D正确. 故选：BCD. 28．已知函数，若方程有6个不等实根，则非零实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、画出具体函数图象、函数图象的应用 【分析】由，可得或，画出函数的图象，由图象可知，有3个不等的实根， 从而可得有3不等实根，进而可得，求解即可. 【详解】函数的图象如图，且，    由，可得或， 当时，有3个不等的实根， 又方程有6个不等实根， 则有3不等实根， 所以，解得. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$