专题2.9 函数的图象 讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题2.9 函数的图象 题型1 作函数的图象 2 题型2 函数图像的变换 5 题型3 由函数解析式选图像 8 题型4 由函数图像选解析式 10 题型5 函数图像的应用 13 高考真题演练 14 知识点一 作函数图象方法 作函数图像最基本的方法是 ；其步骤是 、 、 . 知识点二 利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换 （2）对称变换 的图象的图象； 的图象的图象； 的图象的图象； （，且）的图象（，且）的图象． （3）伸缩变换 . ． （4）翻折变换 的图象的图象； 的图象的图象． 注：三个图象变换的注意点 (1)“左加右减”只针对本身，与的系数没有关系，如从的图象到的图象是向右平移个单位长度，即将变成. (2)“上加下减”只针对函数值. (3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征. 以的图象为例，各函数图像的变换如图： 题型1 作函数的图象 1．（2025高三·全国·专题练习）给定函数，，． (1)在同一坐标系中画出，的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为．例如，当时，，请分别用图象法和解析法表示函数． 2．在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系： (1)，，； (2)，，． 3．已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)； (2)； (3)； (4). 4．画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)．    5．根据的图像，作出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．由函数图像，画出下列各函数图像. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 7．（2025高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 8．作出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 函数图像的变换 9．（多选题）函数的图象经过平移变换与的图象重合，则该变换正确的是（    ） A．将函数的图象向上平移3个单位长度 B．将函数的图象向上平移1个单位长度 C．将函数的图象向左平移1个单位长度 D．将函数的图象向左平移3个单位长度 10．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 11．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 12．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 13．（2025高三·全国·专题练习）将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则 ． 14．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“平行”函数，给出三个函数：，，，则此三个函数中的“平行”函数是（   ） A．与 B．与 C．与 D．以上均不对 15．（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 16．若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 17．已知函数图象如右图所示，则的图象是（   ） A． B． C． D． 18．定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（    ） A． B．C． D． 19．函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 20．的图象纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到 的图象. 21．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 22．（多选题）（24-25高三下·浙江·开学考试）为得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向上平移一个单位长度 B．向下平移一个单位长度 C．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍 D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 题型3 由函数解析式选图像 23．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 26．（多选题）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 29．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型4 由函数图像选解析式 31．（2024·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 32．（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 33．（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 34．（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 36．（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则可能为（    ） A． B． C． D． 38．（2024·天津河东·一模）如图中，图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 题型5 函数图像的应用 39．（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 40．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 41．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为 . 43．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 44．（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 45．已知函数，正实数m，n满足，且，若，则在区间上的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 一、单选题 1．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2017·全国III卷·高考真题）函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是 A． B． C． D． 9．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 10．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 二、解答题 11．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数． (1)求不等式的解集； (2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求． 12．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数． （1）画出和的图像； （2）若，求a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 函数的图象 题型1 作函数的图象 2 题型2 函数图像的变换 13 题型3 由函数解析式选图像 20 题型4 由函数图像选解析式 26 题型5 函数图像的应用 32 高考真题演练 37 知识点一 作函数图象方法 作函数图像最基本的方法是 ；其步骤是 、 、 . 知识点二 利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换 （2）对称变换 的图象的图象； 的图象的图象； 的图象的图象； （，且）的图象（，且）的图象． （3）伸缩变换 . ． （4）翻折变换 的图象的图象； 的图象的图象． 注：三个图象变换的注意点 (1)“左加右减”只针对本身，与的系数没有关系，如从的图象到的图象是向右平移个单位长度，即将变成. (2)“上加下减”只针对函数值. (3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征. 以的图象为例，各函数图像的变换如图： 题型1 作函数的图象 1．（2025高三·全国·专题练习）给定函数，，． (1)在同一坐标系中画出，的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为．例如，当时，，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)图象见解析； (2)图象见解析，. 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、画出具体函数图象、函数新定义 【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象. （2）由（1）中图象，结合的定义作出图象并求出函数解析式. 【详解】（1）画出函数，的图象，如图： （2）结合（1）中图象及的定义，用图象法表示，如图： 由，得或， 当或时，，当时，， 所以函数的解析式为. 2．在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【知识点】指数函数图像应用、函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】（1）（2）在同一坐标系内作出给定的3个函数的图象，再探讨图象间的关系即得. 【详解】（1）在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图， 函数的图象可看作由函数的图象向左平移3个单位而得； 函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位而得. （2）在同一坐标系内作出函数，，的图象，如图，    函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得； 函数的图象可看作由函数的图象向下平移1个单位而得. 3．已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】指数函数图像应用 【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案. 【详解】（1）的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的． （2）的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的． （3）与的图象关于y轴对称， 作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象． （4）为偶函数，其图象关于轴对称， 故保留当时，的图象，再作其关于轴的对称图形，即可得到的图象． 4．画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【知识点】对数函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】（1）利用描点法作出函数图象. （2）（3）利用变换法作出函数图象. 【详解】（1）函数的定义域为，列表如下： x 1 3 y 0 1 描点、连线，作出图象：    （2）作出函数的图象，把函数的图象向右平移1个单位长度得的图象，如图：    （3）作出函数的图象，把函数的图象在x轴下方部分沿x轴向上翻折得的图象，如图：    5．根据的图像，作出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)函数图像见解析； (2)函数图像见解析； (3)函数图像见解析； (4)函数图像见解析； 【知识点】对数函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】根据对数函数的图像，结合绝对值的性质，通过平移、对称的方法在直角坐标系内画出函数图像即可. 【详解】（1）作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示： （2）把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分， 函数图像如下图所示： （3）作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示： （4）把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示： 6．由函数图像，画出下列各函数图像. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)图像见解析 (2)图像见解析 (3)图像见解析 (4)图像见解析 (5)图像见解析 (6)图像见解析 【知识点】对数函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】根据题意结合函数图象变换逐项分析作图. 【详解】（1）由于与关于轴对称，可得图象如下： . （2）由于与关于轴对称，可得图象如下： . （3）由于，可得图象如下： . （4）由于为偶函数，可得图象如下： . （5）将向右平移1个单位可得，可得图象如下： . （6）将向左平移1个单位可得， 易得为偶函数，当时，， 所以在轴左侧的图象由的图象关于轴对称而得，如图， . 7．（2025高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】函数图象的变换、画出具体函数图象 【分析】（1）化简可得，根据函数图象的平移规律即可得其图象； （2）根据图象的翻折变换得到图象； （3）根据图象的翻折变换得到的图象，再由平移变换得解. 【详解】（1）原函数解析式可化为， 所以函数图象可由函数上的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． （2）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到， 如图所示． （3），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 所以的图象如图所示． 8．作出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)图见解析 【知识点】指数函数图像应用、对数函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】（1）根据反比例函数结合函数的平移即可画出图像; （2）根据二次函数结合绝对值及翻折即可得出函数图像; （3）根据指数函数的图像结合对称性即可画出图像; （4）根据对数函数的图像结合对称性即可画出图像; 【详解】（1）函数，则其图像可看作由反比例函数的图像， 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图像如图示： （2）设，其图像如图： （3）设，其图像可看作由函数的图像向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到， 而，其图像可由的图像保留时的图像，然后将该部分关于y轴对称得到， 则图像如图示： （4）设，则其图像可由的图像向左平移1个单位， 再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图： 题型2 函数图像的变换 9．（多选题）函数的图象经过平移变换与的图象重合，则该变换正确的是（    ） A．将函数的图象向上平移3个单位长度 B．将函数的图象向上平移1个单位长度 C．将函数的图象向左平移1个单位长度 D．将函数的图象向左平移3个单位长度 【答案】AC 【知识点】函数图象的变换 【详解】将函数的图象向上平移3个单位长度可得，所以A正确，B错误；将函数的图象向左平移1个单位长度可得，所以C正确，D错误． 10．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的变换、函数 【分析】二次函数图象应用平移的规律：左加右减，上加下减求函数解析式. 【详解】抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 所得到的抛物线解析式为，即， 故选：D. 11．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象的变换 【分析】根据函数图象变换关系进行求解即可 【详解】将函数的图象向左平移1个单位，得到， 再向下平移1个单位，得到， 所以， 故选：A 12．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【知识点】函数图象的变换、指数幂的运算 【分析】根据指数函数解析式说明图象平移过程即可. 【详解】向右平移个单位， 则. 故选：. 13．（2025高三·全国·专题练习）将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则 ． 【答案】 【知识点】函数图象的变换、对数的运算性质的应用 【分析】根据函数的图像的平移变换法则可得答案. 【详解】将函数的图象向下平移1个单位长度， 可得函数的图象， 再向右平移1个单位长度，可得函数的图象， 所以． 故答案为： 14．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“平行”函数，给出三个函数：，，，则此三个函数中的“平行”函数是（   ） A．与 B．与 C．与 D．以上均不对 【答案】C 【知识点】函数新定义、函数图象的变换 【分析】将变形为，即可结合选项，根据平移的性质求解. 【详解】由于， 对于A，由于与的系数分别为1和2，系数不一样，所以无法平移重合，故A错误， 对于B，由于与的系数分别为1和2，系数不一样，所以无法平移重合，故B错误， 对于C，将的图象向左平移2个单位可得，再向下平移1个单位可得，故C正确， 故选：C 15．（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的变换 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【详解】，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 16．若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数图象的变换 【分析】利用函数的图象变换求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位， 向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是， 故选：B 17．已知函数图象如右图所示，则的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、函数图象的变换 【分析】根据与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位即可求解. 【详解】将与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位得到，因此D符合， 故选：D 18．定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、函数图象的变换 【分析】先利用中心对称得到的图象，再进行平移变换，即得的图象. 【详解】先把函数的图象关于原点对称，可得函数的图象， 再将其向右平移4个单位长度，即得函数的图象. 故选：B. 19．函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的变换 【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果. 【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为. 故选：D. 20．的图象纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到 的图象. 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、振幅变换及解析式特征 【分析】根据图象的伸缩得出新的解析式即可. 【详解】把的图象纵坐标伸长到原来的3倍， 得到. 故答案为：. 21．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、相位变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，再得到伸缩变换后的解析式. 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 可得的图象； 再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得． 故选：B． 22．（多选题）（24-25高三下·浙江·开学考试）为得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向上平移一个单位长度 B．向下平移一个单位长度 C．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍 D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 【答案】AD 【知识点】函数图象的变换、对数函数图象的应用 【分析】根据函数图象变换可得结果. 【详解】由题意可得，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得到函数的图象，故选项C错误，选项D正确. ∵， ∴将函数的图象向上平移一个单位长度可得到函数的图象，故选项A正确，选项B错误. 故选：AD. 题型3 由函数解析式选图像 23．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【详解】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 24．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切） 【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解. 【详解】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 25．（24-25高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. 26．（多选题）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数图像的识别、求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象． 【详解】令，得， ，令，得， 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，，，递减， ，，递增，故D正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递增，时，，递减， 时，，递减，故B正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，时，，递增， 时，，递增，故C错误； 若，，，且时，恒成立， 时，，递增，，，递增， ，，递减，故A错误； 综上，A,C错误，B,D正确． 故选：BD． 27．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B. 【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 28．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、研究对数函数的单调性、比较余弦值的大小 【分析】由余弦函数性质、函数在上单调递增排除BD，再由可得答案. 【详解】因为，由余弦函数性质可知， 又，且函数在上单调递增，得. 所以当时，，BD错误. 又时，，得，A错误. 故选：C. 29．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】函数图像的识别、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导，分四种情况讨论求解即可. 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：BCD 30．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别 【分析】根据函数的对称性，并代入特值可得解. 【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项， 但满足， 因此的图象关于直线对称，可排除AB， 又，排除D， 故选：C. 题型4 由函数图像选解析式 31．（2024·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可. 【详解】，排除A. 既不是奇函数，也不是偶函数，排除D. 在上单调递减，排除C. 的图象符合题中图象，B正确. 故选：B 32．（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数图象选择解析式 【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D. 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且， 对于A，，为偶函数，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，为奇函数，当时，， 因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确； 对于D，当时，，，所以时，， 单调递增，当时，，单调递减，故D错误， 故选：C. 33．（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、指数函数图像应用、根据函数图象选择解析式 【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【详解】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 34．（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性、根据函数图象选择解析式 【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项. 【详解】由奇偶性判断可知： 是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数， 而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误； 再当时，可知，故A错误； 所以C正确， 故选：C. 35．（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、根据函数图象选择解析式 【分析】根据函数的部分图象可得为偶函数，结合和函数值正负，利用排除法得解. 【详解】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B， 又，排除A，当时，，排除D. 故选：C． 36．（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数图象选择解析式 【分析】依题意可得为奇函数，即可排除A、C，由函数在上的函数值的特征排除D，即可得解. 【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于C：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数， 当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误； 故利用排除法可知选项B符合题意. 故选：B 37．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】本题使用排除法，通过赋值法可排除，项，通过对指数函数与幂函数增长速度的比较，可以排除项，从而得出正确选项. 【详解】对于，，与题图不符，故错误； 对于，当时，因为指数函数的增长速度远大于幂函数的增长速度，所以，与题图不符，故错误； 对于，，与题图不符，故错误； 通过排除法，所以正确. 故选：. 38．（2024·天津河东·一模）如图中，图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数图象选择解析式、二倍角的正弦公式、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据有界性可排除C，根据4处的函数值不超过5，可判断B. 【详解】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数， 对于A，，故函数为偶函数，不符合， 对于B, ， 根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合， 对于C，由于，显然不符合， 故选：D 题型5 函数图像的应用 39．（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图象的应用 【分析】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 40．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围. 【详解】当时，，求导得， 所以在上单调递增，最大值为. 当时，. 当时，；当时，， 画出的图象如下： 因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题. 由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意. 故答案为：. 41．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【详解】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 42．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用、函数图象的变换、画出具体函数图象 【分析】零点问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象数形结合可得结果. 【详解】由得，， 问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象如下： 由图可知，的取值范围为. 故答案为：. 43．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的变换 【分析】画出函数图像即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，      由图可知，两函数的图象的交点个数为4. 故选：C. 44．（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象的应用、对数函数图象的应用、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数. 【详解】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. 45．已知函数，正实数m，n满足，且，若，则在区间上的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】函数图象的变换、对数的运算、对数函数图象的应用、求对数函数的最值 【分析】由对数函数的性质，建立方程可得参数的等量关系，从而求得参数值，根据对数函数的单调性，可得答案. 【详解】根据题意作图如下： 由，可得，则， 由，解得，则区间即， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 因，，则函数在上的最大值为. 故选：A. 一、单选题 1．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）、根据函数图象选择解析式 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数图象选择解析式 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、识别正（余）弦型三角函数的图象 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 5．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数图象选择解析式 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 6．（2017·全国III卷·高考真题）函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、正、余弦型三角函数图象的应用 【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解. 【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C； 当x→＋∞时，y→＋∞，排除B. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题. 7．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别 【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为，则， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD错误； 且时，，据此可知选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 8．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用 【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性. 9．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）、根据函数图象选择解析式 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 10．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 二、解答题 11．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数． (1)求不等式的解集； (2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求． 【答案】(1) (2)2 【知识点】函数图象的应用、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）分和讨论即可; （2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可. 【详解】（1）若,则, 即,解得,即, 若,则, 解得,即, 综上,不等式的解集为. （2）. 画出的草图,则与轴围成, 的高为,所以, 所以,解得. 12．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数． （1）画出和的图像； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2） 【知识点】画出具体函数图象、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像； （2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求. 【详解】（1）可得，画出图像如下： ，画出函数图像如下： （2）， 如图，在同一个坐标系里画出图像， 是平移了个单位得到， 则要使，需将向左平移，即， 当过时，，解得或（舍去）， 则数形结合可得需至少将向左平移个单位，. 【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 函数的图象 基础巩固 一、单选题 1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、函数图象的变换 【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案. 【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误； B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误； C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，错误； D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确. 故选：D 2．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数图象选择解析式、具体函数的定义域 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 3．已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】幂函数图象的判断及应用、函数图象的变换、画出具体函数图象 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 4．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解； 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 5．（2024�北京朝阳�二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以在上单调递增，无最小值， 根据题意，存在最小值， 所以，即. 故选：A. 6．将函数的图像向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象的平移过程直接求出平移后的函数解析式. 【详解】令， ∴， 把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得. 故选：C. 7．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案. 【详解】令，故， 画出与的图象， 函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点， 则， 解得. 故选：D 8．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 二、多选题 9．已知函数，则下列判断错误的是（    ） A．是奇函数 B．的图像与直线有两个交点 C．的值域是 D．在区间上是减函数 【答案】AB 【知识点】函数图象的应用、函数基本性质的综合应用 【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可. 【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A不正确； 函数图象与直线有一个交点，故B错误； 函数的值域为，且在区间上是减函数，即C、D正确； 故选：AB 10．已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】判断零点所在的区间、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】在同一直角坐标系中画出的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD. 【详解】函数在同一坐标系中的图象如下： 所以， 所以 所以 所以， 故选：BD 11．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B．函数的图象关于y轴对称 C．函数的图象在上单调递增 D． 【答案】BCD 【知识点】比较对数式的大小、对数函数图象的应用、对数的运算、函数图象的变换 【分析】由函数图像变换得出新函数图像即可判断ABC，由对数运算与对数函数单调性判断D. 【详解】函数的图象如下： 对于A，由函数图象变换可知，图像如下： 函数图象与原函数图象关于轴对称，故A错误； 对于B，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象在上单调递增，故C正确； 对于D，即，， 在定义域上单调递增， ，则，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．将函数（）的图象先向右平移1个单位长度，得到函数 的图象，再把图象作关于y轴对称，得到函数 的图象． 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、函数图象的变换 【分析】根据函数图象平移法则及对称变化规律求解即可. 【详解】解：将函数（）的图象向右平移1个单位长度，得到函数， 将的图象再作关于y轴对称，得到函数. 故答案为：； 13．已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】对数函数图象的应用 【分析】变形可得，作函数，的图象，观察图象可得不等式的解集. 【详解】， ， 作出函数，的图象如下，    由图可知，满足不等式的的取值范围为， 所以，不等式的解集是. 故答案为：. 14．设，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、对数函数图象的应用 【分析】根据函数图像，分析函数的单调性，结合题目中函数的值域为，分析特殊点的横坐标，分类讨论即可得解. 【详解】作出函数图像， 根据题意， 得， 令， 解得或， 所以结合 ①若，则不合题意，舍去， ②若，则，此时； ③若，则，此时； ④若，则， 综上所述，， 故答案为： 15．用表示三个数中的最大值，设，则的最小值为 . 【答案】0 【知识点】函数与方程的综合应用、画出具体函数图象 【分析】将中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出,,的图象,取它们中的最大部分,得出的图象如图所示,故最小值为0. 故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型. 16．（2024�河北保定�三模）定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为 . 【答案】4 【知识点】函数图象的应用、函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意，推出函数的对称性和周期性，再利用作图即得. 【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，所以，， 则的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，， 故有，则，从而，，即函数是周期为8的周期函数. 根据函数的对称性和周期性，可以画出函数和在上的图象（如图）. 由图可知与的图象在上有4个交点. 故答案为：4. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的对称性和周期性应用，属于难题. 解题思路在于，根据函数的奇偶性，写出抽象函数满足的等式，据此推出函数的轴对称或中心对称特点，再利用条件推得函数的周期性，最后利用这些性质作图即得. 四、解答题 17．作出下列各函数的图象． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【知识点】画出具体函数图象、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据图象翻折变换求解即可. （2）根据图象平移变换求解即可. （3）首先根据题意得到为偶函数，再根据偶函数的性质画图即可. 【详解】（1）将函数的图象向左平移1个单位长度， 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数的图象， 如图①所示． （2）原函数解析式可化为， 故函数图象可由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． （3）因为，且函数为偶函数， 先用描点法作出上的图象，再根据对称性作出上的图象， 最后得函数图象如图③所示． 18．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若直线与的图象所围成的三角形的面积为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分类讨论解绝对值不等式、函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】（1）首先将函数写成分段函数，再分类讨论得到不等式组，解得即可； （2）作出直线和函数的图象，设直线和函数的另一个交点为， 求出点坐标，代入方程求出的值. 【详解】（1）因为， 所以，即或或， 解得或或， 综上可得不等式的解集为. （2）直线恒过点， 如图作出直线和函数的图象如下， 记与轴的交点为，，，则， 设直线和函数的另一个交点为， 则，所以，解得， 则，所以，代入，即，解得. 19．已知函数． (1)在图中画出函数的图象； (2)设，若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)作图见解析； (2)或. 【知识点】指数函数图像应用、解不含参数的一元二次不等式、根据函数零点的个数求参数范围、画出具体函数图象 【分析】（1）借助指数函数图象，利用变换法作出函数图象. （2）由零点的意义，结合（1）的图象，求出直线与的图象有两个交点的范围. 【详解】（1）作出函数的图象，并沿轴负方向平移2个单位得的图象， 再将所得的图象在轴下方部分沿轴翻折到轴上方与在轴上方的图象 合在一起得的图象，如图中实线： （2）由，得，由函数有两个零点， 得直线与的图象有两个交点， 由（1）知，，解得或， 所以实数的取值范围是或. 能力提升 20．已知函数，则的大致图象是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断对数型函数的图象形状 【分析】利用特殊值排除法确定正确答案. 【详解】对于函数， 当时，，排除BCD选项. 故选：A 21．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象的变换、奇偶函数对称性的应用、根据函数图象选择解析式 【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解. 【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同， 当时，所求函数图象与时图象关于轴对称， 即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求， 当时，，，故A正确，C错误. 故选：A. 22．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用、函数图象的变换、求零点的和 【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 23．若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．   C．     D．   【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图象的变换 【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断. 【详解】由题意可知图象上的点变换成点， 意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位， 此时对应的函数解析式为， 若，则时，且单调递减，时，且单调递增， 对比选项可知D选项符合题意. 故选：D. 24．“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数图象选择解析式、基本不等式求积的最大值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数是偶函数，逐项分析函数解析式可排除B,D;求得C,D中函数的最大值可排除C，即可. 【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数， 则函数和都不满足，故排除B、D； 的图象过点，，， 且时，，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为，又“心形”函数的最大值为，故排除； 由的图象过点，，，且时， ，当时，等号成立， 即函数的最大值为，满足题意，故C满足． 故选：． 25．已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画出具体函数图象、判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数单调性和奇偶性得到，画出曲线与曲线的图象，数形结合得到答案. 【详解】由奇函数可知， ， 又单调递增，则， 画出曲线与曲线的图象， 可以看出与有两个交点， 且与分别为两交点横坐标， 所以不等式的解集为． 故选：B 26．设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的最值求参数 【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果. 【详解】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，      当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解. 27．已知函数. (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、分段函数的值域或最值、画出具体函数图象 【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出的图象，通过图象可得最小值； （2）设，可知恒过点，作图并分类讨论，结合条件根据图象，求出k的取值范围. 【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数，，的图象，如图1所示， 由，解得或； 由，解得或. 由图象易得， 结合图象可知，当时，取得最小值， 即. （2）设，则恒过点， 因为，所以记， 由（1）知，的图象如图2所示， 当时，，即， 所以，不等式恒成立. 当时，易知直线AM的斜率， 由图象可知，根据恒成立， 可得，解得，所以， 综上所述，k的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 函数的图象 基础巩固 一、单选题 1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 2．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数则的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   4．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2024�北京朝阳�二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．将函数的图像向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或    二、多选题 9．已知函数，则下列判断错误的是（    ） A．是奇函数 B．的图像与直线有两个交点 C．的值域是 D．在区间上是减函数 10．已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（    ）. A． B． C． D． 11．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B．函数的图象关于y轴对称 C．函数的图象在上单调递增 D． 三、填空题 12．将函数（）的图象先向右平移1个单位长度，得到函数 的图象，再把图象作关于y轴对称，得到函数 的图象． 13．已知函数，则不等式的解集是 . 14．设，若函数的值域为，则的取值范围是 . 15．用表示三个数中的最大值，设，则的最小值为 . 16．（2024�河北保定�三模）定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为 . 四、解答题 17．作出下列各函数的图象． (1)； (2)； (3)． 18．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若直线与的图象所围成的三角形的面积为，求实数的值． 19．已知函数． (1)在图中画出函数的图象； (2)设，若函数有两个零点，求实数的取值范围． 能力提升 20．已知函数，则的大致图象是(　　) A． B． C． D． 21．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 23．若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．   C．     D．   24．“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 25．已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为（    ） A． B． C． D． 26．设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知函数. (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求k的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$