1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 课时作业 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 一、单选题（共8题） 1．的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，这是一块三角尺，其中，，则的结果为（   ） A． B． C． D．1 3．已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．在中，的对边分别为，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 7．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，以顶点A为圆心画弧，恰好与边、相切，分别交、于点E、F．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共6题） 9．如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 10．计算： ． 11．当时， ． 12．在中，，，，则长度是 ． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点，连接并延长交反比例函数的图象于点，若的面积为，则点的坐标为 ． 14．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 3、 解答题（共3题） 15．计算： (1)； (2)． 16．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． 【初步尝试】我们知道：___________，___________． 发现：___________（填“”或“”）． 【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值 【拓展延伸】如图2，在中，，，．请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值． 17．如图，一段长的水渠，它的横截面为梯形，其中，渠深，底，坡角为，那么该段水渠最多能蓄水多少立方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.2 30°，45°，60°角的三角函数值》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B D B C B D 1．A 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：， 故选：A 2．A 【分析】本题主要考查特殊角的函数值，熟练掌握特殊角的函数值即可得到答案．根据三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故， 故选A． 3．B 【分析】本题考查了特殊三角函数值、实数的大小比较，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B ． 4．D 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数等；连接，由线段垂直平分线的性质得，结合菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由特殊角的三角形函数即可求解；掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数是解题的关键． 【详解】解：连接， 于点E，E为的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出，据此求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，等边三角形的判定，特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握非负数的性质，等边三角形的判定，熟记特殊角的锐角三角函数值是解决问题的关键． 根据非负数的性质得且，由，得，则是等腰三角形，由，得锐角，则是等边三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 又， 且， 由，得：， 是等腰三角形， 由，得：， 锐角， 又是等腰三角形， 是等边三角形． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理结合逆定理推出为等腰直角三角形，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选B． 8．D 【分析】设与圆相切于点，连接，由切线的性质定理可得，在中，利用特殊角的三角函数可得，利用菱形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，设与圆相切于点，连接， 则， 在中，，， ， 四边形为菱形， ，， ， 则图中阴影部分的面积为： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，特殊角的三角函数，已知正弦值求边长，菱形的性质，两直线平行同旁内角互补，利用菱形的性质求面积，求扇形面积，求其他不规则图形的面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 9．/ 【分析】本题考查了特殊锐角的三角函数值．根据特殊锐角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 故答案为:． 10． 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，将代入计算可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，根据特殊角的三角函数值进行计算得出，进而根据分式的混合运算化简代数式，最后将代入，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故答案为：． 12．10 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键是利用余弦函数的定义求出直角三角形的斜边． 先根据余弦函数的定义得出的值，再设，最后结合勾股定理求解AB的长度． 【详解】在中，，根据余弦函数的定义， 已知，所以设， 根据勾股定理， 已知，则， 即． 两边同时除以16得， ， ， 则． 故答案为：10． 13． 【分析】根据题意可得，如图所示，设与轴交于点，取线段的中点，连接，可证，由，得到，即，根据三角形面积公式得到，则，如图所示，作点关于轴的对称点，连接，延长交轴于点，过点作于点，可证，则，再证，得到，，所以有，根据线段和差得到，则，由三角形面积公式得到，解得，，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，设与轴交于点，取线段的中点，连接， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴，则， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，延长交轴于点，过点作于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数与几何图形面积的综合运用，掌握反比函数图象的对称轴，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线的判定和性质，特殊角的直角三角函数的祭祀，对称轴点的特点，全等三角形的判定和性质，将不规则图形面积转换为规则图形面积的计算，数形结合分析思想是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质，合理做出辅助线是解本题的关键． 过点作于点M，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过点作于点M， 在菱形中，， ，， ∴为等边三角形，， ∵在中，， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ， 在中，， 则的最小值为． 15．(1) (2) 【分析】（1）将特殊锐角三角函数值代入计算即可； （2）将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是牢记特殊锐角三角函数值． 16．，，，， 【分析】（1）根据锐角三角函数公式即可求解． （2）根据题意可知，，即可求解的值． （3）作的垂直平分线交于点E，连接，根据直角三角形，，设，，解得，即可解得的值． 【详解】解：（1） ，，     ， 故答案为：；                                                  （2）如图1，在中，，，， ∴．                        ∴， ∴， ∴，，                ∴．                                                       （3）如图2，作的垂直平分线交于点E，连接． 则，，．                                                ∵ 中，，，． ∴，． 设，则， 在中，，                                                            解得，即，．                                                   ∴． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，在直角三角形中作辅助线构造是解决本题的关键． 17．． 【分析】根据，，可知梯形是一个等腰梯形，再根据，，坡角为，可得，，可求得，根据可求得梯形的面积，然后在乘以，可求得蓄水的体积． 【详解】解：∵， ∴梯形是一个等腰梯形 ∵，，坡角为， ∴，， ∴ ∴ ∴该段水渠最多能蓄水为：． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，体积的计算等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$