1.1锐角三角函数 课时作业 2024—2025学年北师大版数学九年级下期

1.1锐角三角函数 同步练习 一、单选题（共8题） 1．在中，，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．在中，的对边分别是a，b，且满足，则等于（　　） A．1 B． C．2 D．以上都不对 4．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，若点 A 的坐标为(1，2)，则tan∠1＝（    ） A． B． C． D． 6．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 二、填空题（共6题） 9．在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为 ． 10．如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 11．如图，在中，，D为边的中点，连接，若，，则的值为 ． 12．如图，在中，，，，则 ． 13．第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为 ． 图1             图2 14．如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 三、解答题（共4题） 15．已知：如图，在中，求的值． 16．如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值． 17．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AEBD，交CB的延长线于点E． (1)求证：AE=AC； (2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面积． 18．如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.1锐角三角函数同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B A D B C 1．A 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，，， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键． 2．A 【分析】本题考查了求角的余弦值，根据题意求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：， ， 则，（舍去）， 则， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 5．A 【分析】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据点A的坐标，得到OB=1，AB=2，根据正切的定义计算选择即可． 【详解】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据点A的坐标(1，2)， ∴OB=1，AB=2， ∴ tan∠1＝， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标的意义，正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 6．D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得， ， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，，， ， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 9．/ 【分析】如图，作，垂足为D，结合网格利用勾股定理求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为D， 由图可知， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是找到直角三角形． 10． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用正方形性质和勾股定理求出的长，即的长，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴，， 由旋转得：， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查直角三角形的边角关系，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 ，再根据三角函数的意义，可求出答案． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了三角形函数、勾股定理．首先根据网格求出三角形的三边，在三角形中过点作，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， 在中，，， ， 当以为的底边时，对应的高为， ， ， 解得：， ． 故答案为： ． 15． 【分析】根据勾股定理求，再根据余弦的定义求得． 【详解】解：在中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理、余弦的定义，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义是解决本题的关键． 16．，， 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值，首先表示出各边长，进而求出锐角三角函数值即可． 【详解】解：∵a、b、c分别为的对边，且， ∴设，，， ∴， ∴最小， ∴，，． 17．(1)见解析 (2)矩形ABCD的面积为48 【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，ADBC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论； （2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理求得AB的长,最后求得面积即可． 【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，ADBC， 又∵， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴BD=AE， ∴ AC=AE； （2）解：在矩形ABCD中， ∴AB⊥EC， ∵AE=AC， ∴EB=BC， ∵CE=12， ∴EB=6， ∵， ∴AE=10， 由勾股定理得：． ∴矩形ABCD的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解此题的关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段． 18． 【分析】过A作，在中，因为，，得到，，在中，由，得到，从而得到，再结合垂直平分，得到，，在中，根据，得到，进而根据图形上线段关系得到． 【详解】过A作，垂足为点H，如图所示： 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角函数求线段长问题，涉及含角的直角三角形性质、正切函数、垂直平分线的性质、余弦函数等知识，熟练掌握三角函数求线段长是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$