专题03 数轴上的动点（专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题03 数轴上的动点30题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型、数轴上的动点 1 B 综合攻坚・能力跃升 题型、数轴上的动点 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）如图，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； (2)将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 4．（24-25七年级上·广东汕头·期中）综合与探究： 如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，设运动的时间为（秒）． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； (3)当点到原点的距离为4时，求点到原点的距离． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为． ①当时，求点所表示的数． ②当时，求点所表示的数． (2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 6．（24-25七年级上·北京·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，其中是最大的负整数，是最小的正整数． (1)________，________； (2)用“<”将，，，连接起来； (3)点为数轴上一动点，则的最小值为________． 7．（24-25七年级上·全国·期中）绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若，则 ；②若，则 ； 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值， 表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （2）如图，数轴上点表示，点表示，动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，到达点时停止运动；动点从点出发向以每秒个单位的速度向左运动，几秒后、两点之间的距离是个单位长度？ 8．（24-25七年级上·河南开封·期中）如图，数轴上、两点对应的数分别为和，点为数轴上的一个动点，表示的数为． (1)数轴上、两点之间的距离是 ． (2)若点到、两点的距离相等，那么 ． (3)使取最小值时的所有整数的和为 ． (4)若点以每秒个单位的速度从原点出发向右运动，秒后，点到点的距离恰好是点到点的距离的倍，求此时的值？（要写出解答过程） 9．（24-25七年级上·广西南宁·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示2和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示2与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示2和的两点之间的距离可列式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______；______；_____；（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示x和两点之间的距离是5，则x的值为______； (3)若x为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有，直接写出最小值，若没有，写出理由． 10．（24-25六年级上·山东青岛·期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴帮助我们把数和点建立起对应关系，可以用它揭示数与形之间的内在联系，体现了数形结合的数学思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，请同学们利用数轴进行以下探究活动： (1)如图1，在数轴上点表示的数是____________，点表示的数是____________，，两点的距离是____________； (2)在数轴上，移动点，使它到点的距离为2，则点移动的距离为____________； (3)小明将刻度尺放在图1的数轴下面，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点，如图2．此时点对应刻度尺上的刻度，点E对应刻度，求数轴上点表示的数． 11．（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且点A在点B的左边，，，． (1)______，______； (2)现有一动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动． ①设两动点在数轴上的点C相遇，求点C表示的数； ②两动点相遇后，经过10秒，求两个动点之间的距离． 12．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于________； 联系拓广： （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则________；若，则点P表示的数x为________；由此可得：当取最小值时，整数x的所有取值的和为________． 13．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 14．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一个动点． (1)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为秒时，求点运动的路程及此时点在数轴上所表示的数． (2)若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的？ (3)若点从原点出发，沿着数轴按向右前进个单位长度，然后向左后退个单位长度的路径做往返运动，每秒运动一次（前进个单位长度或后退个单位长度），秒为一个周期． 第秒时，点所在的位置表示的数是________． 若点所在的位置表示的数是，求运动的时间是第多少秒？ 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上的点，，对应的数分别表示，，，点是数轴上一动点．数轴上一个刻度表示一个单位长度． (1)求，的值； (2)若点到点的距离是到点距离的三倍，求点对应的数； (3)点先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，移动后点与点之间的距离和点与点之间的距离相等，则移动前点表示的数是多少？ 16．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·分类讨论思想 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）； (2)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 17．（24-25七年级上·河南南阳·期末）同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 18．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点O是数轴的原点，数轴上点A、B表示的数分别是4、．这个数轴上的动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发沿O→A→B方向运动到点B停止．设点P的运动时间为． (1)当点P与点A重合时，求t的值； (2)当点P表示的是绝对值最小的数时，求t的值； (3)当点P表示的数是倒数等于它本身的数时，求t的值； (4)在点A、B之间，当点P表示的整数的点找不到与它到原点的距离相等的点时，直接写出t的值（写出两个即可）． 19．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 20．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． (1)求点A，B对应的数； (2)动点M，N同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和2个单位的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为．t为何值时，点M，N重合？ 21．（24-25七年级上·全国·期中）如图，数轴上有两点A、B，对应的数分别为，2，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，则 ． (2)数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为8，则 ． (3)点A、B分别以2个单位长度/分，1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以个单位长度/分的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停往返于点A与点B之间，当点A与点B重合时，A、B、P同时停止运动，求此过程中点P所经过的总路程是多少？ 22．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）已知数轴上有不重合的三个点，，，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点，表示的数，并在如图所示的数轴上表示点，，的位置． (2)假设动点，分别从点，同时相向出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点的距离为1个单位长度时，求它们运动的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，直接写出点所对应的数，不必说明理由． 23．（24-25七年级上·天津·阶段练习）如图，点，，是数轴上三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：　　　　，　　　　； (2)动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 当时，求出此时，在数轴上表示的数； 为何值时，点距原点个单位长度． 24．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）【知识准备】数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：． 【问题探究】 (1)如图，点在数轴上表示的数是8，点在数轴上表示的数是，则__________； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设，两点的运动时间为秒，当时，求的值． (3)在（1）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动．当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，请问：当点运动时间为__________秒时，．（直接写出答案，不写解题过程） 25．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)求两点之间的距离； (2)点在点的右侧，在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．    (1)点表示的数是______； (2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）． 4．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 5．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数轴上的动点30题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型、数轴上的动点 1 B 综合攻坚・能力跃升 题型、数轴上的动点 ・1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）如图，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； (2)将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 【答案】(1)数轴见解析，2 (2)数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算． （1）根据题意画出数轴，再根据点到原点的距离的定义可得B点表示的数． （2）根据题意画出数轴，根据点到原点的距离的定义得C点表示的数． 【详解】（1）如图所示， ，B点表示的数为2． （2）如图所示， ，C点表示的数为． 4．（24-25七年级上·广东汕头·期中）综合与探究： 如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，设运动的时间为（秒）． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； (3)当点到原点的距离为4时，求点到原点的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)2或6 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后返回距离原点为，点Q到原点O的距离为4，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 因为，所以， 所以当时，点到原点的距离为6； （2）解：当时，点运动的距离为， 因为，所以， 所以当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到原点的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时，，，则， 运动时间为（秒），所以； ②点向右运动时，，运动的距离为， 运动时间为（秒），所以． 综上，点到原点的距离为2或6． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点为，点为，点是数轴上的一个动点． (1)若点到的距离为，点到的距离为． ①当时，求点所表示的数． ②当时，求点所表示的数． (2)如图，数轴上动点在动点右侧，并且始终与动点保持个单位长度的距离，四个点中，记其中两个点的距离为，剩余两个点的距离为，当，在点之间运动时，若，求点所表示的数． 【答案】(1)①；②点所表示的数为或； (2)点所表示的数为或或或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解数轴上表示数的特征是解答关键． （1）利用当时，点是的中点来求解；分两种情况：若在左侧，若在之间，分别进行计算求解； （2）利用，画出图形进行计算求解． 【详解】（1）解：①， 当时，点是的中点， 点所表示的数． ②当时， 若在左侧，， 点所表示的数 若在之间，， 点所表示的数 点所表示的数为或． （2）解：，， 点所表示的数 ，， 点所表示的数 ，， 点所表示的数 ，, 点所表示的数 点所表示的数为或或或． 6．（24-25七年级上·北京·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，其中是最大的负整数，是最小的正整数． (1)________，________； (2)用“<”将，，，连接起来； (3)点为数轴上一动点，则的最小值为________． 【答案】(1)；1； (2)； (3)2． 【知识点】有理数大小比较、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值以及数轴，正确得出、的值是解答本题的关键． （1）根据最大的负整数为，最小的正整数为1可得答案； （2）根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果；（3）根据数轴上两点之间的结论解答即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是最小的正整数， ∴，， 故答案为：，1； （2）解：由题意可知，即， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，当点在、之间时，的最小，的最小值为2． 故答案为：2． 7．（24-25七年级上·全国·期中）绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 【代数意义】 正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）①若，则 ；②若，则 ； 【几何意义】 在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值， 表示数轴上表示数a的点和表示数b的点的距离． （2）如图，数轴上点表示，点表示，动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，到达点时停止运动；动点从点出发向以每秒个单位的速度向左运动，几秒后、两点之间的距离是个单位长度？ 【答案】（1），或；（2）秒或秒后、两点之间的距离是个单位长度 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，数轴上两点的距离； （1）对绝对值内的有理数的正负进行分类讨论即可解决问题． （2）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）①当时，，则， 当时，，则， 故答案为：． ②当，同为正数时， ； 当，同为负数时， ； 当，异号时， ； 所以或． 故答案为：或． （2）∵与点之间的距离为， P、Q相遇前：（秒） P、Q相遇后：（秒） 答：秒或秒后、两点之间的距离是个单位长度 8．（24-25七年级上·河南开封·期中）如图，数轴上、两点对应的数分别为和，点为数轴上的一个动点，表示的数为． (1)数轴上、两点之间的距离是 ． (2)若点到、两点的距离相等，那么 ． (3)使取最小值时的所有整数的和为 ． (4)若点以每秒个单位的速度从原点出发向右运动，秒后，点到点的距离恰好是点到点的距离的倍，求此时的值？（要写出解答过程） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【知识点】有理数的减法运算、绝对值方程、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查数轴，绝对值的几何意义，一元一次方程，熟练掌握数轴上两点之间的距离表示方法并会应用是解题的关键． （1）利用两点之间距离求解即可； （2）由点到、两点的距离相等，可知点在、中间，利用，列式求解即可； （3）利用表示点到、两点的距离和，结合数轴分类讨论即可求解； （4）秒后，点的位置为，则点到点的距离为，点到点的距离为，利用点到点的距离恰好是点到点的距离的倍，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵、两点对应的数分别为和， ∴、两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵点到、两点的距离相等， ∴点在、中间， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：∵表示点到点的距离，表示点到点的距离， ∴， 当点在点左侧时，， ∴； 当点在点右侧时，， ∴； 当点在点、点中间时（包括点、点），， ∴； ∴在点、点中间时（包括点、点）最小， 此时所有整数为，，，，，，， 和为， 故答案为：； （4）解：秒后，点的位置为（在点右侧）， 则点到点的距离为，点到点的距离为， 根据题意得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上，的值为或． 9．（24-25七年级上·广西南宁·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示2和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示2与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示2和的两点之间的距离可列式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______；______；_____；（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示x和两点之间的距离是5，则x的值为______； (3)若x为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有，直接写出最小值，若没有，写出理由． 【答案】(1)5，4，7 (2)或2 (3)有，3 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的加减运算： （1）根据两点间的距离公式，绝对值的意义求解即可； （2）根据两点间的距离，分两种情况进行求解即可； （3）根据绝对值的意义，表示数轴的数到数之间的距离之和，进而得到当在之间时，有最小值为数之间的距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是，，； 故答案为：5，4，7 （2）∵数轴上表示x和两点之间的距离是5， ∴表示的数为：或； 故答案为：或2； （3）有最小值，最小值为；理由如下： 表示数轴的数到数之间的距离之和， ∴当当在之间时，有最小值为数之间的距离，即：． 10．（24-25六年级上·山东青岛·期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴帮助我们把数和点建立起对应关系，可以用它揭示数与形之间的内在联系，体现了数形结合的数学思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，请同学们利用数轴进行以下探究活动： (1)如图1，在数轴上点表示的数是____________，点表示的数是____________，，两点的距离是____________； (2)在数轴上，移动点，使它到点的距离为2，则点移动的距离为____________； (3)小明将刻度尺放在图1的数轴下面，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点，如图2．此时点对应刻度尺上的刻度，点E对应刻度，求数轴上点表示的数． 【答案】(1)，5，8 (2)10或6 (3)数轴上点表示的数为 【知识点】有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了用数轴表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题： （1）根据在数轴上表示有理数的方法即两点间的距离公式可得解； （2）根据数轴上两点间的距离即可求解； （3）根据A，B两点的距离可得数轴与刻度尺之间的比例尺，再根据比例尺即可求解； 解题的关键是掌握数轴上表示有理数的方法及两点间的距离公式． 【详解】（1）解：由数轴得： 点A表示的数是，点B表示的数是5， 则A，B两点的距离为：， 故答案为：；5；8． （2）解：∵到点A的距离为2的点表示的数是或， ∴将点B向左移动个单位长度或个单位长度， 故答案为： 10或6． （3）解：由（1）得：， ， 则数轴上1个单位长度对应刻度尺为， ， 点E距离点A两个单位长度， 故点E所表示的有理数为：． 11．（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且点A在点B的左边，，，． (1)______，______； (2)现有一动点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动． ①设两动点在数轴上的点C相遇，求点C表示的数； ②两动点相遇后，经过10秒，求两个动点之间的距离． 【答案】(1)， (2)①50；②50 【知识点】有理数四则混合运算、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）由点A在点B的左边，，可知．再根据绝对值的性质和即可求出a和b的值； （2）①设运动时间为t，则，，根据题意可列出关于t的方程，解出t的值，结合点A表示的数即可求解；②再经过10秒后，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A在点B的左边，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：①由数轴可知． 设运动时间为t，则，， ∵两动点在数轴上的点C相遇， ∴，即， 解得：， ∴， ∴点C表示的数为50； ②两动点相遇，经过10秒后，，， ∴两个动点之间的距离． 【点睛】本题考查绝对值的性质，用数轴上的点表示数，有理数的乘法，有理数的加法，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，利用数形结合的思想是解题关键． 12．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： （1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于________； 联系拓广： （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则________；若，则点P表示的数x为________；由此可得：当取最小值时，整数x的所有取值的和为________． 【答案】（1）13；；或7；（2）6，或6；22 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴，绝对值，正确列出含绝对值的代数式是基础，通过分类讨论去掉绝对值符号是解答本题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据P是动点，分析点P的位置，再计算即可． 【详解】解：（1）数轴上有理数与3对应的两点之间的距离等于； 数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； 若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； 故答案为：13；；或7； （2）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴ ∵， ∴点在线段外， 当P在N左边，即，， 解得，； 当P在M点右边时，即，， 解得，； ∴点表示的数为或6； 当取最小值时，整数x在和7之间，可能为 ∴； 故答案为：6，或6；22． 13．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【知识点】乘方运算的符号规律、绝对值非负性、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 14．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一个动点． (1)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，到达点后，再从点出发沿着数轴向左运动，最终回到点．当点运动的时间为秒时，求点运动的路程及此时点在数轴上所表示的数． (2)若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左运动，问经过多少秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的？ (3)若点从原点出发，沿着数轴按向右前进个单位长度，然后向左后退个单位长度的路径做往返运动，每秒运动一次（前进个单位长度或后退个单位长度），秒为一个周期． 第秒时，点所在的位置表示的数是________． 若点所在的位置表示的数是，求运动的时间是第多少秒？ 【答案】(1) (2)当经过5秒或秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的 (3)①6；②当点所在的位置表示的数为2025时，运动的时间为第2023秒 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】（1）根据点运动的速度和时间求出点运动的路程是个单位长度，而点和点之间的距离为个单位长度，所以点从点运动到点后又向左运动了个单位长度，求出点所在位置表示的数； （2）首先根据点、所表示的数得到，所以点、之间的距离的是个单位长度，而点、之间的距离为个单位长度分为两种情况：点、相遇前两点之间的距离为个单位长度；点、相遇后继续运动两点之间的距离为个单位长度； （3）根据点运动的规律计算可得第秒时点所在位置表示的数； 根据点运动的规律计算出当运动秒、秒、秒、秒、秒、秒时点表示的数找到规律，根据规律求出点表示时运动的时间． 【详解】（1）解：点运动的路程为个单位长度． 两点之间的距离为个单位长度， 点到达点后，又继续向左运动了个单位长度， 此时点表示的数为；点之间的距离为个单位长度， （2）点之间的距离为个单位长度， 当点与点还没有相遇时，在点的左边：； 当点与点相遇后继续运动，点在点的右边时，； 综上所述，当经过5秒或秒时，点之间的距离恰好为点之间的距离的． （3），第秒时，点原点出发从运动了个周期， 点所在位置表示的数为：； 根据点运动的规律可得：点第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， 第秒所在的位置为， …， 根据此规律，可知当点所在的位置表示的数为时，运动的时间为第秒． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题．解决本题的关键是根据动点出发的位置、运动的方向、运动的速度和时间，求出动点所到达的位置表示的数． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上的点，，对应的数分别表示，，，点是数轴上一动点．数轴上一个刻度表示一个单位长度． (1)求，的值； (2)若点到点的距离是到点距离的三倍，求点对应的数； (3)点先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，移动后点与点之间的距离和点与点之间的距离相等，则移动前点表示的数是多少？ 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】两个有理数的乘法运算、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上的两点距离，有理数的加减法，乘法，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据题目给出的数轴进行求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）根据数轴上两点移动方式，求出两点间的距离求解即可． 【详解】（1）解：由题图可得，． （2）点，之间的距离为， ①当点在点，之间时，点到点的距离 此时点对应的数为； ②当点在点左侧时，点到点的距离， 此时点对应的数为； （3）点先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，相当于向右移动2个单位长度，点与点之间的距离为3． 因为移动后点与点之间的距离和点与点之间的距离相等分两种情况， ①移动后点在点左侧，表示的数为， 所以移动前点表示的数为； ②移动后点在点右侧，表示的数为， 所以移动前点表示的数为． 综上所述，移动前点表示的数是或． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·分类讨论思想 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）； (2)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)， (2)不发生变化．其值为7 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据，点A表示的数为8，即可得出B表示的数；再根据动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点P表示的数； （2）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，都等于7；理由如下： ∵①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 17．（24-25七年级上·河南南阳·期末）同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 【答案】(1)7，3 (2)①；②2或 (3)11 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【详解】（1）解：根据A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为， 则数轴上表示-2和5的两点之间的距离， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离． 故答案为7，3． （2）解：①数轴上A，B两点表示的数分别为x和， A，B两点之间的距离． ②， ， 解得或． （3）解：点P在线段上，因此x的取值范围为， 计算的值： 当时，； 当时，， 因此： 【点睛】此题综合考查了数轴距离、绝对值性质、绝对值方程、动点问题以及数轴上的几何意义等多个知识点，要求学生具备较强的数形结合能力和代数运算能力． 18．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点O是数轴的原点，数轴上点A、B表示的数分别是4、．这个数轴上的动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发沿O→A→B方向运动到点B停止．设点P的运动时间为． (1)当点P与点A重合时，求t的值； (2)当点P表示的是绝对值最小的数时，求t的值； (3)当点P表示的数是倒数等于它本身的数时，求t的值； (4)在点A、B之间，当点P表示的整数的点找不到与它到原点的距离相等的点时，直接写出t的值（写出两个即可）． 【答案】(1)秒； (2)秒或秒； (3)秒或秒或秒； (4)秒或秒或秒或秒． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了绝对值的性质、相反数、倒数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件求解． （1）由题意得点P运动的距离为4个单位长度，再根据时间=路程速度，即可求解； （2）由题意得绝对值最小的数是0，同（1）即可求解； （3）由题意得倒数等于它本身的数是1或，同（1）即可求解； （4）由题意得点P表示的数为或或或，同（1）即可求解． 【详解】（1）解：当点P与点A重合时，点P运动的距离为4个单位长度， 此时，秒； （2）解：∵绝对值最小的数是0，则点P运动的距离为0或8个单位长度， ∴秒或秒； （3）解：∵倒数等于它本身的数是1或，则点P运动的距离为1或7或9个单位长度， ∴秒或秒或秒； （4）解：由题意得点P表示的数为或或或， 则点P运动的距离为13或14或15或16个单位长度， ∴秒或秒或秒或秒． 19．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 20．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． (1)求点A，B对应的数； (2)动点M，N同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和2个单位的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为．t为何值时，点M，N重合？ 【答案】(1)点A，B对应的数分别是和2 (2)秒时，点M，N重合 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离公式，追及问题，求数轴上点表示的数等知识点，解题的关键是把数轴上的动点问题转化为追及问题求解； （1）根据长求出点B对应的数，再根据长求出点A对应的数； （2）根据数轴上两点之间距离公式求出追及距离，利用追及时间追及距离速度差求解即可． 【详解】（1）解：点C对应的数为6，， 点B对应的数为， ， 点A对应的数为， 点A，B对应的数分别是和2； （2）解：点C对应的数为6，点A对应的数为， ， 秒， 秒时，点M，N重合． 21．（24-25七年级上·全国·期中）如图，数轴上有两点A、B，对应的数分别为，2，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，则 ． (2)数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为8，则 ． (3)点A、B分别以2个单位长度/分，1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以个单位长度/分的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停往返于点A与点B之间，当点A与点B重合时，A、B、P同时停止运动，求此过程中点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1) (2)3或 (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到A、B两点之间的距离为，则，据此求解即可； （2）分当P在之间时，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时，三种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）先求出点A与点B重合的时间，即点P的运动时间，再根据路程等于速度乘以时间即可得到答案． 【详解】（1）解：∵数轴上有两点A、B，对应的数分别为，2， ∴A、B两点之间的距离为， ∵P到A、B两点的距离相等， ∴， ∴点P对应的数为，即， 故答案为：； （2）解：①当P在之间时，，不符合题意． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为3或时，点P到A、B两点距离之和为8； 故答案为：3或； （3）解：分， ∴运动6分钟时，点A和点B重合 由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴点P的运算时间为6分， 又∵整个运动过程中点P的速度保持不变， ∴当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是． 22．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）已知数轴上有不重合的三个点，，，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点，表示的数，并在如图所示的数轴上表示点，，的位置． (2)假设动点，分别从点，同时相向出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点的距离为1个单位长度时，求它们运动的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，直接写出点所对应的数，不必说明理由． 【答案】(1)点B表示的数为5，点C表示的数为，数轴表示见解析 (2)运动时间为6秒，点M表示的数为或运动时间为8秒，点M表示的数为 (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度，再分二者相遇前和相遇后两种情况，讨论求解即可； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， 数轴表示如下： （2）解：设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则， 当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则， 当时，点M表示的数为；当时，点M表示的数为； 综上所述，运动时间为6秒，点M表示的数为或运动时间为8秒，点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 23．（24-25七年级上·天津·阶段练习）如图，点，，是数轴上三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：　　　　，　　　　； (2)动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． 当时，求出此时，在数轴上表示的数； 为何值时，点距原点个单位长度． 【答案】(1)，； (2)，在数轴上表示的数分别是和；或． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义 【分析】（）点表示的数是，点表示的数是，求出即可； （）求出，，根据表示的数求出表示的数，将代入计算即可； 利用点距原点个单位长度列出关于的方程，并解答即可； 本题考查了数轴上表示数，数轴上两点之间距离，绝对值的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵点对应的数为，， ∴点表示的数是， ∵， ∴点表示的数是， 故答案是：，； （2）由题意得：，， ∴在数轴上点表示的数是，在数轴上点表示的数是， 当时，，， ∴，在数轴上表示的数分别是和， 由得数轴上点表示的数是， ∵点距原点个单位长度， ∴， ∴或． 24．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）【知识准备】数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：． 【问题探究】 (1)如图，点在数轴上表示的数是8，点在数轴上表示的数是，则__________； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设，两点的运动时间为秒，当时，求的值． (3)在（1）的条件下，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动．当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，请问：当点运动时间为__________秒时，．（直接写出答案，不写解题过程） 【答案】(1)18 (2)或 (3)，5，，． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，有理数的加减运算；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）首先表示出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据列方程求解即可； （3）首先求出根据题意得，M的路程为，N的路程为，M运动的时间为（秒），N的运动时间为（秒），然后根据题意分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在数轴上表示的数是8，点在数轴上表示的数是， ∴； 故答案为：18； （2）解：根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 整理得，， ∴或， 解得或； （3）解：∵， 根据题意得，M的路程为，N的路程为，M运动的时间为（秒），N的运动时间为（秒）； ∵， ∴第一次相遇前，， 解得秒； 第一次相遇后，， 解得秒； ∴第二次相遇前，， 解得秒； 第二次相遇后，时，N回到点B停止运动，M的路程为，此时， 当时，， 解得秒； 综上所述，t的值为，5，，． 故答案为：． 25．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 【答案】(1)3或9 (2)或 (3)存在，P在A、B两点之间，8 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可； （2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别的长，再根据点Q是的中点，求得线段的长即可； （3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，的值最小，据此判断并求解即可． 【详解】（1）解：①点P在点B的左边时， ∵，， ∴点P表示的是3． ②点P在点B的右边时， ∵，， ∴点P表示的是9． 综上，可得点P表示的是3或9． （2）解：∵， ∴线段的长度是8． ①点P在点B的左边时， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． ②点P在点B的右边时， ∵， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． 综上，可得线段的长是2.5或5.5． （3）解：如图：当点P在A、B两点之间时，的值最小， 此时， 所以的最小值是8． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当运动秒时，点追上点；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【知识点】有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为6，是数轴上在原点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点表示的数为， 当点运动到的中点时，点P表示的数为， 故答案为：，； （2）解：①根据题意，得， 解得， ∴当运动秒时，点追上点； ②根据题意得： 当点与点相遇前，点与点距离8个单位长度时，则， 解得； 当点与点相遇后，点与点距离8个单位长度时，则， 解得， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)求两点之间的距离； (2)点在点的右侧，在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点表示的数是多少？ 【答案】(1)18 (2)4 (3)经过秒相遇，点表示的数为 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据绝对值的性质可得点表示的数，再根据两点之间距离的计算方法即可求解； （2）根据两点之间的距离分别求出点表示的数，由此即可求解； （3）根据题意，设运动时间为秒，且由（1）可得的距离为18，由此列式可得，再根据点的移动可求出点表示的数． 【详解】（1）解：已知，且，， ∴，，解得，， ∴点表示的数是，点表示的数为6， ∴、两点之间的距离为：； （2）解：点在点的右侧，为14个单位长度，在点的左侧，为8个单位长度， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴点与点之间的距离为：； （3）解：根据题意，设经过秒相遇，由（1）可得，两点之间距离为18， ∴，解得（秒）， ∴点表示的数为， ∴经过秒相遇，点表示的数为． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．    (1)点表示的数是______； (2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（）根据数轴两点间的距离即可求解； （）根据数轴两点间的距离即可求解； （）根据数轴上点的运动特征即可求解； 此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的特点． 【详解】（1）设表示的数为， ∵点到点、点的距离相等， ∴，解得：， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴运动时间， 故答案为：； （3）∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动过程中点表示的数是， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)；． (2)当点运动秒时，点与点相遇． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）由题意知，，因为点在原点左边，从而得出数轴上点表示的数；动点从点出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点表示的数； （2）设点运动秒时追上点，根据题意列方程，解得值． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， 又∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点， 根据题意，得，         解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 5．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 8 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$