专题01 直线方程与位置关系 5种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题01 直线方程与位置关系5种题型归类 目录 类型一、斜率与倾斜角的变化关系 类型二、斜率公式的应用 类型三、直线与坐标轴围成图形面积问题 类型四、平行，垂直关系的应用 类型五、直线过定点的应用 压轴专练 类型一、斜率与倾斜角的变化关系 （1）如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （2）当倾斜角在逐渐增大时，斜率从逐渐增大到 （2）当倾斜角在逐渐增大时，斜率从逐渐增大到 例1．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 变式1-1．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 变式1-3．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 类型二、斜率公式的应用 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： 在应用斜率公式时，可以将分式转化为斜率的几何意义，形如：可转化为与两点的斜率。 例2、已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 变式2-1．已知曲线C的参数方程为，且点在曲线C上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 类型三、直线与坐标轴围成图形面积问题 ，令；令，则面积 （1）解题时注意很容易忽略绝对值而造成错误； （2）常设计基本不等式，转化为二次函数等方法求面积最值或范围 例3．已知动直线过定点. (1)求的坐标： (2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 变式3-1．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 变式3-2．已知直线，，，直线交轴于点，交轴于点，坐标原点为． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在轴上截距小于0，在轴上截距大于0．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程； （3）直接写出的面积（）在不同取值范围下直线的条数． 变式3-3．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 类型四、平行，垂直关系的应用 1、若两条直线的方程为，有 (1)且; (2)与重合且; (3)与相交； (4); 2、特别指出:上述给出的为斜截式方程，其斜率心定存在，在一般情况下有： (1)两条直线或均不存在，直线或中一个为零，另一个不存在. 3.若直线不为零)，有： (1)且; (2); (3)与相交; (4)与重合且. 例4．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 变式4-1．如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 变式4-2．已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 变式4-3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    类型五、直线过定点的应用 例5．若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 . 变式5-1．直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 变式5-3．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 压轴专练 1．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 2．已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 6．设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为 ． 7．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 8．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ． 9．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则 . 10．（22-23高二上·四川遂宁·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 11．已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 12．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 13．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线方程与位置关系5种题型归类 目录 类型一、斜率与倾斜角的变化关系 类型二、斜率公式的应用 类型三、直线与坐标轴围成图形面积问题 类型四、平行，垂直关系的应用 类型五、直线过定点的应用 压轴专练 类型一、斜率与倾斜角的变化关系 （1）如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （2）当倾斜角在逐渐增大时，斜率从逐渐增大到 （2）当倾斜角在逐渐增大时，斜率从逐渐增大到 例1．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 变式1-1．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 变式1-2．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 变式1-3．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 由直线l与线段总有公共点，得直线的斜率，即， 当时，而，则；当，得， 所以l的倾斜角的取值范围为. 故选：D 类型二、斜率公式的应用 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： 在应用斜率公式时，可以将分式转化为斜率的几何意义，形如：可转化为与两点的斜率。 例2、已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 变式2-1．已知曲线C的参数方程为，且点在曲线C上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在半圆上动，所求式子 ，为半圆上动点P与点C（0，1）连线斜率，数形结合即可求解． 【详解】解：因为，即 ， 所以，其中 由题意作出图形： 而， 令，则可看作半圆上的动点到点的连线的斜率， 由题意可得当直线与半圆相切时斜率最大， 如图直线与半圆相切，在直角三角形中，， 由图形知，的取值范围是. 则的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题考查曲线的参数方程与标准方程的转化，作出图形是解题关键.重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了数形结合和等价转化的思想． 变式2-2．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 变式2-3．在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，画出图形，再利用的几何意义求出最大值. 【详解】依题意，，即， 于是得或或或， 动点的轨迹如图中正方形，其中， 表示正方形边上的点与定点确定直线的斜率， 观察图象知，当点与点重合时，直线的斜率最大， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用分类讨论的思想作出轨迹，再利用目标函数的几何意义求解是关键. 类型三、直线与坐标轴围成图形面积问题 ，令；令，则面积 （1）解题时注意很容易忽略绝对值而造成错误； （2）常设计基本不等式，转化为二次函数等方法求面积最值或范围 例3．已知动直线过定点. (1)求的坐标： (2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)存在，且直线的方程为 (3) 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组，可得出点的坐标； （2）设直线的截距式方程，代入定点，再分别表示的周长和面积，求解参数、即可； （3）由（1）直线的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可 【详解】（1）解：直线的方程可化为， 由，解得，故直线过定点． （2）解：设直线l的方程为， 将代入得．① 由、，的周长为，面积为，得， 令，则， 所以，即，化简得，解得， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线的方程为，即满足条件． （3）解：由（1）可知直线l过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点， 所以直线的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即． 【点睛】关键点点睛：解本题第（3）问的关键在于引入角，利用几何关系将、用含的三角函数式表示，再结合三角恒等变换结合三角函数的有界性来求最值. 变式3-1．如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形. 【分析】(1)设出直线的方程，求出点A，B坐标，借助三角形面积求解而得； (2)由给定面积关系导出，再利用相似三角形性质求解即得； (3)假定存在符合条件的点M，再按照直角顶点分别为点Q，P，M分类讨论判断作答 【详解】1）显然直线斜率存在，设直线方程为， 则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 于是得，解得， 所以直线斜率为； （2）由（1）知直线的方程为：，即，， 因，则， 又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点， 所以时，点为线段中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图， 当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合， 设，因，则，于是有，解得，此时， 当时，由，知四边形为正方形， 设，则，于是有，解得，此时， 当时，由，得，即， 设，则，直线上点， 显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时， 综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形. 变式3-2．已知直线，，，直线交轴于点，交轴于点，坐标原点为． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在轴上截距小于0，在轴上截距大于0．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程； （3）直接写出的面积（）在不同取值范围下直线的条数． 【答案】（1）定点为；（2）的最小值为4，此时直线l的方程为；（3）答案见解析. 【解析】（1）令，可得，即得出定点； （2）分别求出直线在轴和轴的截距，求出面积，利用基本不等式即可求出最值； （3）将表示出来，则直线的条数等价于与的交点个数，利用图象可求出. 【详解】（1）直线的方程可变形为，由，可得， 直线过定点； （2）当时，；当时，， ， 由题，解得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为4，此时直线l的方程为； （3）由（2）， 令，则直线的条数等价于与的交点个数， 画出函数图象， 由图可知，当时，直线l有2条； 当时，直线l有3条； 当时，直线l有4条. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积问题，第二问主要利用基本不等式求出最值，第三问的关键是将问题转化为与的交点个数，从而可利用数形结合的方式求出. 变式3-3．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求： （1）求证：不论为何实数，直线过定点P； （2）分别求和时，所对应的直线条数； （3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 【答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线；   ②时，3条直线；   ③时，4条直线. 【分析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点； （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； （3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数． 【详解】（1）直线可化为， 令，解得， ∴不论为何实数，直线过定点. （2）由题意知，直线的斜率存在，且， 设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为； ∴的面积为； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线； 综上知，时有两条直线； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线； 综上知，时有四条直线； （3）由题意得，，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，， 时， ，方程无实数根，此时无直线； 时，，方程有一负根，此时有一条直线； 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线； 所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【点睛】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 类型四、平行，垂直关系的应用 1、若两条直线的方程为，有 (1)且; (2)与重合且; (3)与相交； (4); 2、特别指出:上述给出的为斜截式方程，其斜率心定存在，在一般情况下有： (1)两条直线或均不存在，直线或中一个为零，另一个不存在. 3.若直线不为零)，有： (1)且; (2); (3)与相交; (4)与重合且. 例4．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】首先确定点A和点B的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形ABP，利用三角函数求最值即可. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， ， ∵动直线和动直线满足， ∴两条直线始终垂直，又因为是两条直线的交点，所以. 所以. 所以是直角三角形，且， 设，则， ∴ 所以的最大值是. 故选：B. 变式4-1．如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【分析】首先设正方形的边长是a，则点B的坐标是，设点Q的坐标是，点P的坐标是;然后根据，，推得，再根据，可得，所以其函数图象是线段. 【详解】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ， ， ①， ， ， ②， 把①代入②，可得， 整理,可得， ，， ， ， ， ∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段. 故选:A. 变式4-2．已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 变式4-3．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，由已知条件得出点A、E的坐标，求得直线AD、BE的方程，然后求交点P坐标，由得到AP和CP垂直． 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，    设等边三角形ABC的边长为6，则， ∵， ∴直线AD的方程为，即，① ∵， ∴直线BE的方程为，即，② 联立①②解得，则， ∵， ∴，∴AP⊥CP． 类型五、直线过定点的应用 例5．若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】先确定直线恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线的位置关系，数形结合求解即可. 【详解】直线恒过点且斜率存在的动直线， 又，作出图象，如图： 易知， 由，消得到，由， 得到或（舍）（因为时，，不合题意）， 所以当时，与（或）相切， 由图可知，当时，直线与曲线有1个交点，不合题意； 当时，直线与曲线没有交点，不合题意； 当时，直线与曲线有1交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 设直线与曲线相切于点， 联立，消y得， 由 解得或（舍去，此时方程的根为，不合题意） 当，即时， 直线与曲线有4交点，符合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 综上，k的取值范围为. 故答案为： 变式5-1．直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线确定定点，求出定点与已知点所成直线的斜率，数形结合得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题设，则，可得， 所以直线过定点，则，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又， 所以或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， 所以的取值范围为. 故选：C 变式5-2．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 变式5-3．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 压轴专练 1．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点以及函数的中心对称性质计算可得. 【详解】由题意可得直线恒过点，且关于对称． 函数满足，则函数的对称中心为， 所以，， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数对称性得出的对称中心为，再结合直线过定点即可求得结果. 2．已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出直线的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，则直线的斜率，直线的斜率，    因为直线过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 3．已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 4．已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简，函数上一点与连线斜率的倍，求出的范围，即可得出答案. 【详解】因为，图象如下图，，   ， 表示函数上一点与连线斜率的倍， ，， 由图可知：或， 所以或， 则的取值范围为. 故选：D. 5．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【详解】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以， 由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以. 故答案为： 6．设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为 ． 【答案】 【分析】设点分别为，，求得斜率，进而得出的取值范围，由题意可知，只需即可. 【详解】设点分别为， ，， 为使区间与最多只有一个点重合，应有，即． 故答案为： 7．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 【答案】 【分析】若选择线路，设，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果. 【详解】若选择线路，设，其中，，， 则，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置； 若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， 直线的方程为，设点，其中， ，， 所以， ， 令，则， 所以， ， 当且仅当时，即当，即当时，等号成立， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 此时，， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 故答案为：；. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点的坐标（用中的参数表示），结合点E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意，利用投影数量的几何意义可求其范围. 【详解】 由题意以点为原点，所在直线分别为轴，轴， 因为是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足， 所以，即， 设点的坐标为， 所以， 所以点的坐标为， 因为点在直线上面， 所以，即， 所以（这里的是指中的）； 因为向量在向量上的投影向量记为， 所以， 如图，于，过作直线平行于，过作该直线的垂线，垂足为， 当为锐角时，，当且仅当重合时等号成立； 当为直角时，； 当为钝角时，即， 综上，. 【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点坐标，结合三点共线，第二空的关键是将问题转换为方程有解即可顺利得解. 9．已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则 . 【答案】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点时，根据可求得点的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】    由题意得，直线过定点，. 如图1，当直线与线段交于点时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点时， 由，得直线方程为，即. 中，设边上的高为，则，即，解得，故. ∵点在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 10．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 11．已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 12．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意线段∥，∥，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 13．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形，设直线的斜率为． (1)求直线的方程（用表示）； (2)求锯成的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程；（2）先由题意确定的范围，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）设直线， 因为直线过点，所以，即， 所以， （2）又因为，，易得直线，直线， 联立，解得；联立，解得， 故，. 因为，，所以，所以， 因为， 设M到直线的距离为d，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$