第1章 有理数（知识清单）数学沪教版2024六年级上册

第1章 有理数 一、有理数的分类 1.有理数的分类方法 （1）按定义来分类 （2）按正、负来分类 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 二、有理数有关概念 1. 规定了 、 、 的直线叫做数轴. 2. 只有符号不同的两个数叫做互为 . 3. 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的 ，记作 . 4. 一个正数的绝对值是它的 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 ， 5.乘积是 的两数互为倒数． 三、有理数比较大小 1.数轴法比较大小：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数 ． 2.法则法比较大小 正数 0，0 负数，正数 负数.两个负数，绝对值大的 . 四、有理数运算 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取 ，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取 的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与 相加，仍得这个数. 2.有理数的减法 （1）有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的 . 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. （2）两数相减差的符号 较大的数－ 较小的数= ，即若a>b，则a－b>0 . 较小的数－ 较大的数= ，即若a<b，则a－b<0 . 相等的两个数的差为 ，即若a=b，则a－b=0 . 3.有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ． （2）任何数同零相乘，都得 ． （3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 ；当负因数有偶数个时，积为 ． （4）几个数相乘，有一个因数为0，积就为 ． 注意： （1）运算前先确定积的符号；（2）小数要化为分数； （3）带分数要化为假分数；（4）灵活运用乘法交换律、乘法结合律． 4.有理数除法 两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；零除以任何一个不为零的数，都得 。 甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） 5.有理数的乘方 求n个 因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做 ，n叫做 ．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 乘方的法则：正数的任何次幂都是 ；负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；0的任何正整数次幂都是 ． 6.有理数的混合运算 先 ，再 ，最后 ；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号） 1.概念理解错误：错误认为小数都是有理数。实际上，有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数不是有理数，比如π就不是有理数。觉得大于负数的数就是正数，忽略了0，0大于负数，但0既不是正数也不是负数。以为有理数不是正数就是负数，忘记了有理数还包括0。 2.分类错误：在对有理数进行分类时，容易出现混淆。 3.对字母表示数的误解：对于−a，很多同学会直接认为它是负数。但实际上，当a是正数时，−a是负数；当a=0时，−a=0；当a是负数时，−a是正数。 4.数轴的三要素理解不透彻：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，缺一不可。在画数轴时，容易出现缺少某一要素的情况，或者单位长度不统一等问题。 5.点与数的对应关系出错：数轴上到原点距离为一定值的点有两个，它们互为相反数。例如，数轴上到原点距离为3个单位的点表示的数是3和−3。另外，数轴上到某一已知点距离为定值的点，也有两个。如数轴上到表示2的点的距离为4个单位的点表示的数为−2和6，容易漏解。 6.利用数轴比较大小出错：在数轴上，右边的数总比左边的数大，但在比较一些较复杂的数的大小时，可能会出现判断错误，或者没有正确运用这个规则。 7.绝对值的性质应用错误：绝对值的性质是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。例如，求∣−5∣，应该等于5，但可能会出现计算错误。另外，已知∣x∣=3，则x=±3，容易只得出一个值。 8.绝对值相关的化简问题：当式子中含有绝对值符号时，在化简过程中容易出错。比如，已知a<0，化简∣a−3∣，根据绝对值的性质，应该得到3−a，但可能会因为没有正确判断a−3的正负性而化简错误。 9.绝对值的非负性理解不到位：绝对值具有非负性，即∣a∣≥0。当出现∣a∣+∣b∣=0时，根据非负性可知a=0且b=0，但可能会忽略这一性质，导致无法解题 10.有理数运算中的易错：符号错误、运算顺序错误、乘方运算错误、倒数概念混淆。 易错点01不能准确理解正数、负数的概念 1．给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 1．下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．，在数轴上的位置如图．则在，，，中负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 易错点02对有理数概念理解不清 4．下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 5．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，-700，-3.88，0，3.14159265，，． 正整数集合：{ 　　　　　…}，  负整数集合：{　　　　　 …}， 整数集合：{　　　　　 …}，    正分数集合：{　　　　 …}，    负分数集合：{　　　　　　 …}，分数集合：{ 　　　　　…}， 非负数集合：{　　　　　　 …}，非正数集合：{ 　　　　　…}． 易错点03不能正确理解相反数的意义 6．如果，，，那么，，，的大小顺序为 ． 易错点04已知绝对值求原数时漏解 7．若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 8．若，且，则 ；若，则 ． 易错点05对绝对值的意义理解不透彻致错 9．如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 10．若，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 11．如果m是一个有理数，那么下面结论中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．不是负数 易错点06计算有理数加减运算时符号易错 12．计算：． 13．计算：． 14．计算：． 易错点07运用乘法分配律时因符号出错或是漏乘项出错 15．计算：． 16．计算：． 易错点08运算顺序不正确致错 17．计算：． 18．计算：． 19．计算： 易错点09错用运算律致错 20．阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 21．阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 易错点10乘方的意义理解不清出错 22．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错点11对有理数运算顺序把握不准出错 24．计算： 25．计算：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 一、有理数的分类 1.有理数的分类方法 （1）按定义来分类 （2）按正、负来分类 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 二、有理数有关概念 1. 规定了 原点 、 正方向 、 单位长度 的直线叫做数轴. 2. 只有符号不同的两个数叫做互为 相反数 . 3. 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的 绝对值 ，记作 |a| . 4. 一个正数的绝对值是它的 本身 ；一个负数的绝对值是它的 相反数 ；0的绝对值是 0 ， 5.乘积是1的两数互为倒数． 三、有理数比较大小 1.数轴法比较大小：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 2.法则法比较大小 正数 ＞ 0，0 ＞ 负数，正数 ＞ 负数.两个负数，绝对值大的 反而小 . 四、有理数运算 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2.有理数的减法 （1）有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. （2）两数相减差的符号 较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . 较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . 相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 3.有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． （4）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 注意： （1）运算前先确定积的符号；（2）小数要化为分数； （3）带分数要化为假分数；（4）灵活运用乘法交换律、乘法结合律． 4.有理数除法 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不为零的数，都得零。 甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） 5.有理数的乘方 求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 6.有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号） 1.概念理解错误：错误认为小数都是有理数。实际上，有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数不是有理数，比如π就不是有理数。觉得大于负数的数就是正数，忽略了0，0大于负数，但0既不是正数也不是负数。以为有理数不是正数就是负数，忘记了有理数还包括0。 2.分类错误：在对有理数进行分类时，容易出现混淆。 3.对字母表示数的误解：对于−a，很多同学会直接认为它是负数。但实际上，当a是正数时，−a是负数；当a=0时，−a=0；当a是负数时，−a是正数。 4.数轴的三要素理解不透彻：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，缺一不可。在画数轴时，容易出现缺少某一要素的情况，或者单位长度不统一等问题。 5.点与数的对应关系出错：数轴上到原点距离为一定值的点有两个，它们互为相反数。例如，数轴上到原点距离为3个单位的点表示的数是3和−3。另外，数轴上到某一已知点距离为定值的点，也有两个。如数轴上到表示2的点的距离为4个单位的点表示的数为−2和6，容易漏解。 6.利用数轴比较大小出错：在数轴上，右边的数总比左边的数大，但在比较一些较复杂的数的大小时，可能会出现判断错误，或者没有正确运用这个规则。 7.绝对值的性质应用错误：绝对值的性质是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。例如，求∣−5∣，应该等于5，但可能会出现计算错误。另外，已知∣x∣=3，则x=±3，容易只得出一个值。 8.绝对值相关的化简问题：当式子中含有绝对值符号时，在化简过程中容易出错。比如，已知a<0，化简∣a−3∣，根据绝对值的性质，应该得到3−a，但可能会因为没有正确判断a−3的正负性而化简错误。 9.绝对值的非负性理解不到位：绝对值具有非负性，即∣a∣≥0。当出现∣a∣+∣b∣=0时，根据非负性可知a=0且b=0，但可能会忽略这一性质，导致无法解题 10.有理数运算中的易错：符号错误、运算顺序错误、乘方运算错误、倒数概念混淆。 易错点01不能准确理解正数、负数的概念 1．给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查化简多重符号，将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可．掌握化简多重符号，正负数的意义，是解题的关键． 【详解】解：，，，，， 则共有3个负数，即，，． 故选：C． 1．下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：不是负数的数是正数或0，则①错误； ，它是负数，，它是正数，则②错误； 一个正数前面加上“”号就是负数，则③正确； 正数都大于0，则④正确； 当为负数时，为正数，则⑤错误； 综上，正确的个数为2个， 故选：B． 3．，在数轴上的位置如图．则在，，，中负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较等知识点，根据题中所给的数轴得：，，，可得，，，，进而即可得解，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，，， ∴和是负数，共两个， 故选：B． 易错点02对有理数概念理解不清 4．下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的定义与有理数的分类，根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、正数和负数、零统称为有理数 ，选项错误，不符合题意； B、是最大的负整数，选项错误，不符合题意； C、零不是正数，也不是负数，但是整数，选项正确，符合题意； D、除0以外的自然数就是正整数，选项错误，不符合题意； 故选：C． 5．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，-700，-3.88，0，3.14159265，，． 正整数集合：{ 　　　　　…}，  负整数集合：{　　　　　 …}， 整数集合：{　　　　　 …}，    正分数集合：{　　　　 …}，    负分数集合：{　　　　　　 …}，分数集合：{ 　　　　　…}， 非负数集合：{　　　　　　 …}，非正数集合：{ 　　　　　…}． 【分析】根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正整数集合：{1…}； 负整数集合：{-700…}； 整数集合：{1，-700，0…}； 正分数集合：{0.0708，3.14159265，；…}； 负分数集合：{ -3.88，…}； 分数集合：{0.0708，3.14159265，，-3.88，…}； 非负数集合：{1，0.0708，3.14159265，0，…}； 非正数集合：{-700，-3.88，0，…}． 【点睛】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 易错点03不能正确理解相反数的意义 6．如果，，，那么，，，的大小顺序为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴判断式子的大小，能够由题意判断出，在数轴上的大致位置是解题的关键． 根据题意将，表示在数轴上即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，将，，，在数轴上表示， 根据数轴特点可得：， 故答案为：． 易错点04已知绝对值求原数时漏解 7．若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 8．若，且，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义进行化简计算即可求解； 【详解】解：， 或， ， ； ， ， ； 故答案为：； 易错点05对绝对值的意义理解不透彻致错 9．如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系． 【详解】解：∵， ∴，且， 故选：B． 10．若，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：， ，为非正数． 故选：D． 11．如果m是一个有理数，那么下面结论中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，当时，，，据此可判断A、B、C，由绝对值的非负性即可判断D． 【详解】解：如果m是一个有理数，那么不是负数， 当时，，， ∴四个选项中，只有D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 易错点06计算有理数加减运算时符号易错 12．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．在加减混合运算中，通常将分母相同的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 14．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用加法交换律和结合律计算即可求解，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 易错点07运用乘法分配律时因符号出错或是漏乘项出错 15．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法分配律，先把原式变形为，再利用乘法分配律计算求解即可． 【详解】解：原式 ． 16．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键，应用运算律会使计算简便，根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ． 易错点08运算顺序不正确致错 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为除法，再根据乘法法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先把小数和带分数化成假分数，再把除法化成乘法，最后根据多个数相乘法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】解： 易错点09错用运算律致错 20．阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）在利用分配律计算时，除法需要先变成乘法，才能够使用，并且需要连同其前面的正负号带上，通过观察三种解法即可得到答案； （2）通过观察可得到解法三最简便，所以利用解法三的方法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在利用分配律的时候，除法需要先变成乘法，才能够使用，且解法一的计算结果与其它两种不同， ∴解法一不正确； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故原式． 21．阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 易错点10乘方的意义理解不清出错 22．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了乘方的运算，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0． （1）（2）（3）（4）根据乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 易错点11对有理数运算顺序把握不准出错 24．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先算平方、再算绝对值，然后按有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 25．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先算乘方，再算绝对值，然后算括号里面的，最后算除法即可． 【详解】解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$