1.3 两条直线的平行与垂直（题型专练）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.3 两条直线的平行与垂直 题型一：由斜率判断两条直线平行 1．过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可. 【详解】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B 2．下列与直线平行的直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案. 【详解】直线斜率为，纵截距为， A选项：直线斜率为，纵截距为，符合； B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合； 故选：A. 3．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 【答案】C 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误； 若，则或，的斜率都不存在，B错误； 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确； 若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误． 故选：C. 4．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线平行、直线斜率的定义 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 5．判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点. 【答案】(1)不平行，理由见解析 (2)不平行，理由见解析 【知识点】由斜率判断两条直线平行、已知两点求斜率 【分析】（1）分别计算出和的斜率，再比较两斜率是否相等即可； （2）求出的斜率，再与的斜率比较即可. 【详解】（1）设直线，的斜率分别为，， 因为经过点，经过点， 所以，， 所以， 所以与不平行； （2）设直线，的斜率分别为，，则， 因为经过点， 所以， 所以， 所以与不平行. 题型二：由斜率判断两条直线垂直 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线斜率的定义、由斜率判断两条直线垂直 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 8．（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 【答案】 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、由一般式方程判断直线的垂直、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据直线垂直的性质进行填空. 【详解】（1）若直线，直线，则的充要条件； （2）若直线，直线， 则的充要条件为. 故答案为：， 9．判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【答案】(1)不垂直 (2)垂直 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）根据斜率乘积不等于即可判断； （2）根据两直线倾斜角即可判断. 【详解】（1）将的方程化为斜截式为．因此的斜率为， 又因为的斜率为2， 而且， 从而可知与不垂直． （2）显然，的倾斜角为，的倾斜角为，从而可知与垂直． 题型三：已知直线平行求参数 10．（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线与平行，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行列式求解，并代入检验即可. 【详解】由题意可得：，解得， 若，则直线、，两直线平行， 综上所述：. 故选：A. 11．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线，，若，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据平行可得方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 解得或， 当时，，，与重合，不成立； 当时，，，，成立； 综上所述， 故选：B. 12．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】已知直线平行求参数、充要条件的证明 【分析】根据两直线平行的条件进行判断 【详解】当时，直线与直线， 即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件； 若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意， 当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件； 故选：C 13．（22-23高二上·江苏徐州·期中）若直线与直线平行，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．1或 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两直线平行关系，可得的系数成比例，再检验是否有重合情况，从而可作出判断. 【详解】由直线与直线平行可得： ，解得：或， 检验，当时，直线与直线重合，故舍去； 当时，直线与直线平行； 故选：A. 14．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）若两条直线和平行，则实数的值为 . 【答案】或 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由两条直线平行，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得当时，， 解得或， 当时，两直线方程分别为和， 两直线不平行， 故答案为：或 15．（24-25高二上·江苏连云港·期中）直线过点且与直线平行，则直线与轴围成的三角形面积为 ． 【答案】 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知直线平行求参数 【分析】确定直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解. 【详解】设直线方程为：，代入可得：，解得：，所以直线方程为：， 令，得，令，得， 所以直线与轴围成的三角形面积为， 故答案为： 16．已知直线和直线.若，求实数的值. 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的性质列式求解即可，但是要注意检验是否重合的情况. 【详解】若，则，所以，解得或1. 当时，，满足， 当时，，此时与重合， 所以. 17．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行. 【答案】(1)(1)且 (2)(2) 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）已知，直线， 若与平行，则，即，解得. 题型四：已知直线垂直求参数 18．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知直线与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 故选：B. 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 20．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】根据对称关系得出直线斜率及直线所过的点即可得解. 【详解】因为，所以， 又的中点在直线l上， 所以直线l的方程为，即， 故选：A 21．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线，且，则的最小值为（    ） A．15 B． C．12 D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 由于， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 22．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】9 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】根据直线垂直求出直线的方程，再求出直线与坐标轴的交点，进而可得与坐标轴围成的三角形面积. 【详解】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为，得直线的斜率为2， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：9 23．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. （2）因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 24．（24-25高二上·江苏常州·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知两点求斜率、直线过定点问题、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据即可求解，利用垂直，根据斜率关系即可求解， （2）根据中点坐标求解，即可根据两点斜率公式求解斜率，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】（1）由可得， 令且，解得， 故直线恒过定点， 设，则,故则，解得， 故 （2）由于，，故的中点坐标， 则, 故直线方程为，即 25．（24-25高二上·江苏徐州·期中）（1）已知直线过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线方程； （2）已知点，直线，点在上，且，求点的坐标． 【答案】（1）和，（2） 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据截距是否为0，即可利用待定系数法求解， （2）根据垂直满足的斜率关系即可求解. 【详解】（1）当直线经过原点时，设直线，代入可得， 当直线截距不为0时，设，代入可得，解得 故直线方程为，即， 综上可得直线方程为和 （2）设， 由于直线的斜率为 故， 又，解得则， 故 26．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，设直线：． (1)求证：直线经过第一象限； (2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据题意，将直线化为，即可得到结果； （2）根据题意，由，再由直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】（1）方程可化为， 由解得 所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限． （2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大， 因为，则，所以直线的方程为， 即． 题型五：直线平行、垂直的判定在几何中的应用 27.已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】根据题意，只要证明四边形一组对边平行，且不相等，即可证明四边形为梯形. 【详解】由点，，，， 可得 , 而 , , 故,但 , 所以四边形ABCD是梯形． 28.已知顶点坐标分别是，，． （1）求过点C且与直线AB平行的直线方程， （2）若点，当实数取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】（1）由两直线平行的斜率相等和直线的点斜式求解即可； （2）由斜率公式结合二次函数的性质求解即可 【详解】（1）由已知可得AB的斜率为， 所以与直线AB平行的直线的斜率也为， 从而所求直线的方程为，即； （2）可得直线AD的斜率为， 所以直线AD倾斜角的取值范围为． 29.在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 30.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 31.已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线平行、垂直的判定在几何中的应用、斜率公式的应用 【分析】（1）利用直线的垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，进而得出答案； （2）由得，所以角平分线的倾斜角为，求出的斜率，进而可得出答案． 【详解】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为．    32.已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【答案】(1)直角梯形；证明见解析； (2)． 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形； （2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程． 【详解】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先画图，再根据图像把长度关系转化为垂直关系即可. 【详解】如图所示，为中点，故， 又 所以中，， 于是， 故，即 所以，解得. 故选：C.    2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】A 【分析】根据已知得出，求解得出的值，代入的方程检验，即可得出答案. 【详解】由可得，，即， 解得或. 当时，方程为，方程为不重合，满足； 当时，方程为，方程为，即，与重合，舍去. 综上所述，. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，解得或， 当，则，，满足，符合题意； 当，则，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：等价于. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线与，则下列说法正确的有（   ） A．任意实数，直线恒过点 B．存在实数，使得直线与平行 C．若，则 D．若，则或 【答案】AC 【分析】整理直线的方程可得直线恒过点，即A正确；对参数是否为零进行讨论可知不存在实数，使得直线与平行，即B错误；利用两直线垂直的斜率关系可得C正确，由可知，即D错误. 【详解】对于A，将直线整理可得， 易知当时，不管实数取何值时，该方程恒成立，即任意实数，直线恒过点，即A正确； 对于B，当时，直线即为，此时与不平行， 当时，要使直线与平行可得其斜率为，此时无解， 即不存在实数，使得直线与平行，即B错误； 对于C，当时，直线即为，直线为，显然不垂直； 当时，两直线斜率乘积为，即，解得，即C正确； 对于D，由BC选项可知当时，两直线不平行， 当时，若可得，解得或； 经检验时，两直线重合，不合题意，即可得，即D错误. 故选：AC 6．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过点 B．若，则或 C．若，则 D．当时，始终不过第一象限 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，直接求出直线的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D. 【详解】对于A：直线，即， 令，解得，所以直线过定点，故A正确； 对于B：若，则，解得或， 当时，，，则， 当时，，，即， 则与重合，故舍去，所以，故B错误； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，斜率， 所以该直线过第二、三、四象限，不过第一象限，故D正确． 故选：ACD． 7．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BC 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 三、填空题 8．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）点关于直线对称的点的坐标是 ．直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，根据对称的性质列方程求即可，在直线上取两个点求它们关于点的对称点，由此可求对称直线方程. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，则 ，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标是， 由取可得，取可得，所以直线经过点和点，又点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，所以直线关于点对称的直线方程式为， 故答案为：，. 9．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知直线l与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是 ． 【答案】或 【分析】根据题意设直线的方程为，分别令、可得直线与轴的交点，求出三角形的面积等于可得答案. 【详解】根据题意，直线与直线平行，则设直线的方程为， 对于，令可得，即直线与轴的交点为， 令可得，即直线与轴的交点为， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积，解得：， 故直线的方程为或． 故答案为：或． 四、解答题 10．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 11．已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【详解】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在中，，，. (1)求中，边上的中线所在直线的方程； (2)求中，边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式可得线段的中点为，利用两点式方程即可得结果； （2）根据垂直关系可得高所在直线的斜率为，利用点斜式方程即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：线段的中点为， 则边上的中线所在直线的方程为，即. （2）由题意可知：直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即. 13．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，直线：. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由直线与直线平行可设其方程为，代入点，求可得结论； （2）求点关于直线的对称点，利用点斜式求反射直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为； （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线方程为，即．    14．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平行四边形中，已知，，. (1)求直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用平行四边形的性质和点斜式求出即可； （2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系，点斜式求解即可； 【详解】（1）设， 因为，所以， 即， 所以， 所以直线的方程为，即. （2）因为， 所以中边上的高所在直线的方程为，即. 15．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）原点到直线的距离最大时，，先求出直线的斜率，即可求解； （3）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由（1）知直线过定点，当时，原点到直线的距离最大， 又，所以直线的方程为，即， 所以与原点距离最大的直线方程为. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 16．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程； （2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程； （3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）首先求BC中点坐标，已知， 根据中点坐标公式，BC中点， 已知中线过和两点，根据两点式， 即，化简得，整理得. （2）先求BC边的斜率，已知， 根据斜率公式， 因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得， 又因为高过点，根据点斜式，整理得. （3）先求AB边的斜率，BC边的斜率， 设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简 交叉相乘得， 继续化简，即或， 继续化简（舍去），或，即， 因为角平分线的斜率应该在和之间，所以， 又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 两条直线的平行与垂直 题型一：由斜率判断两条直线平行 1．过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 2．下列与直线平行的直线的方程是（    ）. A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 4．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 5．判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点. 题型二：由斜率判断两条直线垂直 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 7．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 8．（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 9．判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 题型三：已知直线平行求参数 10．（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线与平行，则（   ） A． B． C． D．2 11．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线，，若，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 12．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（22-23高二上·江苏徐州·期中）若直线与直线平行，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．1或 14．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）若两条直线和平行，则实数的值为 . 15．（24-25高二上·江苏连云港·期中）直线过点且与直线平行，则直线与轴围成的三角形面积为 ． 16．已知直线和直线.若，求实数的值. 17．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行. 题型四：已知直线垂直求参数 18．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知直线与垂直，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 20．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线，且，则的最小值为（    ） A．15 B． C．12 D． 22．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 23．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 24．（24-25高二上·江苏常州·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为直角的一个顶点，为直角顶点，点在轴上 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程. 25．（24-25高二上·江苏徐州·期中）（1）已知直线过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线方程； （2）已知点，直线，点在上，且，求点的坐标． 26．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，设直线：． (1)求证：直线经过第一象限； (2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 题型五：直线平行、垂直的判定在几何中的应用 27.已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形． 28.已知顶点坐标分别是，，． （1）求过点C且与直线AB平行的直线方程， （2）若点，当实数取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围． 29.在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    30.如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 31.已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 32.已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 二、多选题 5．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线与，则下列说法正确的有（   ） A．任意实数，直线恒过点 B．存在实数，使得直线与平行 C．若，则 D．若，则或 6．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过点 B．若，则或 C．若，则 D．当时，始终不过第一象限 7．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 三、填空题 8．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）点关于直线对称的点的坐标是 ．直线关于点对称的直线方程为 . 9．（22-23高二上·江苏连云港·期末）已知直线l与直线平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是 ． 四、解答题 10．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 11．已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在中，，，. (1)求中，边上的中线所在直线的方程； (2)求中，边上的高所在直线的方程. 13．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，直线：. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 14．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平行四边形中，已知，，. (1)求直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 15．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 16．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$