必刷题九 万有引力理论的成就-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一物理暑假必刷题

必刷题九 万有引力理论的成就 1.计算天体的质量: 方法 重力加速度法 环绕法 理论 依据 忽略星球自转影响, 重力等于万有引力 万有 引 力 提 供 向 心力 mg=GMmR2 G Mm r2 =mr4π 2 T2 结果 M=gR 2 G M= 4π2r3 GT2 说明 (1)R为星球半径 (2)g 为星球表面 的重力加速度 (1)r为外围球体绕 中心天体做匀速圆 周运动的半径 (2)T 为外围球体 绕中心天体做匀速 圆周运动的周期 2.计算天体的密度: 方法 计算公式 利用天 体的重 力加速 度 由mg=GMmR2 和ρ= M 4 3πR 3 ,得ρ= 3g 4πGR (其中g 为天体表面的重力加 速度) 利用天 体的卫 星 设卫星绕天体的运动的半径为r,周 期为T,则对卫星而言,万有引力提 供向心力. GMm r2 =m4π 2 T2 r 又由ρ= M 4 3πR 3 ,代入上式得ρ= 3πr3 GT2R3 当卫星环绕天体表面运动时,其轨道 半径r等于天体半径R,则ρ= 3π GT2 【例】 利用引力常量G 和下列某一组数据,不 能计算出地球质量的是 ( ) A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自 转) B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的 速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地 球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太 阳间的距离 【解析】 由于不考虑地球自转,则在地球表 面附近,有G Mm0 R2 =m0g,故可得 M=g R2 G ,A 项错误;由万有引力提供人造卫星的向心力, 有G Mm1 R2 =m1 v2 R ,v=2πRT ,联 立 得 M = v3T 2πG ,B项错误;由万有引力提供月球绕地球 运动的向心力,有G Mm2 r2 =m2( 2π T' )2r,故可 得 M=4π 2r3 GT'2 ,C项错误;同理,根据地球绕太 阳做圆周 运 动 的 周 期 及 地 球 与 太 阳 间 的 距 离,可求出太阳的质量,但不可求出地球的质 量,D项正确. 【答案】 D 1.熟练掌握万有引力提供向心力公式: GMmr2 =m v2 r=mrω 2=mr4π 2 T2 , 2.掌握黄金代换公式gR2=GM. 3.分清楚中心天体与环绕天体. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02· |假日必刷题·物理| 知识点1 计算天体质量 1.如果你站在月球上,由静止释放质量为 m 的 物体,物体在t秒内下落了h 米,若已知月球 的半径为R、引力恒量为G,根据以上给出的 物理量得出月球的质量为 ( ) A.mg B.2hR 2 Gt2 C.2hR Gt2 D.2hR 2 Gt 2.卫星绕某一行星的运动轨道可近似看成是圆 轨道,观察发现每经过时间t,卫星运动所通 过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ.已知 引力常量为G,由此可计算该行星的质量为 ( ) A.l 2 Gt2 B.l 3 Gθt2 C.l Gθt2 D.l 2 Gθt2 3.(多选)一宇宙飞船以速度v环绕行星表面匀 速飞行,测得其周期为T.已知万有引力常量 为G,行星可视为均匀球体,忽略行星自转. 则 ( ) A.该行星的半径为vT2π B.该行星的质量为v 3T πG C.该行星的平均密度为3πGT D.该行星表面的重力加速度为2πvT 知识点2 计算天体密度 4.(多选)科学家计划在2025年将首批宇航员 送往火星进行考察.一质量为 m 的物体,假 设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读 数为F1,在火星赤道上宇航员用同一个弹簧 测力计测得的读数为F2,通过天文观测测得 火星的自转角速度为ω,引力常量为G,将火 星看成是质量分布均匀的球体,则火星的密 度和半径分别为 ( ) A.ρ= 3F1ω2 4πG(F1-F2) B.ρ= 3ω2 4πG C.R= F1-F2 mω2 D.R= F1+F2 mω2 5.地球可视为球体,其自转周期为T,在它的两极 处,用弹簧秤测得一物体重为P,在赤道上,用弹 簧秤测得同一物体重为0.9P,已知万有引力常 量为G,则地球的平均密度是 ( ) A.3π T2G B.2.7π T2G C.30π T2G D.π T2G 6.科学家在南极冰层中发现了形成于30亿年 前的火星陨石,并从中发现了过去微生物的 生命迹象,从此火星陨石变得异常珍贵.中国 新闻网报道:2011年7月坠落于摩洛哥的陨 石被证实来自于火星.某同学根据平时收集 来的部分火星资料(如图所示),计算出火星 的密度,再与这颗陨石的密度进行比较(G 是 引力常量,忽略火星自转的影响).下列计算 火星密度的公式,正确的是 ( ) A. 3g0 πGd B. g0T2 3πd C. 6M πd3 D.3π 4GT2 7.2023年5月,我国神舟十六号宇宙飞船成功 发射,三位宇航员与神舟十五号的三位宇航 员在中国空间站成功会师.空间站绕地球运 行视为匀速圆周运动,运行周期为T.若不考 虑地球自转,地球表面的重力加速度为g,地 球半径为R,万有引力常量为G.求: (1)地球的平均密度ρ; (2)空间站距离地面的高度h. 8.宇航员在半径为R的某星球表面将一小钢球 以v0的初速度竖直向上抛出,测得小钢球上 升的最大高度为h.不计空气阻力,忽略该星 球的自转,R 远大于h,该星球为密度均匀的 球体,引力常量为G.求: (1)该星球表面的重力加速度g的大小; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·12· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| (2)该星球的质量 M; (3)该星球的密度ρ. (2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道, 周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引 力常量为G,则月球的平均密度为 ( ) A.3π (1+k)3 GT2k3 B.3π GT2 C.π (1+k) 3GT2k D.3π GT2 (1+k)3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十 宇宙航行 1.第一宇宙速度(环绕速度):是人造卫星在地 面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速 度,也是人造地球卫星的最小发射速度,v= 7.9km/s. 2.第二宇宙速度(脱离速度):在地面上发射物 体,使之能够脱离地球的引力作用,成为绕太 阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人 造卫星所 必 需 的 最 小 发 射 速 度,其 大 小 为 11.2km/s. 3.第三宇宙速度(逃逸速度):在地面上发射物 体,使之最后能脱离太阳的引力作用,飞到太 阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速 度,其大小为16.7km/s. 4.人造地球卫星绕地球运行的动力学原理:人 造地球卫星在绕地球运行时,只受到地球对 它的万有引力作用,人造地球卫星做圆周运 动的向心力由万有引力提供. 5.卫星的轨道: (1)卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道, 也可以是圆轨道. (2)卫星绕地球沿椭圆轨道运行时,地心是椭 圆的一个焦点,其周期和半长轴的关系遵循 开普勒第三定律. 卫星绕地球沿圆轨道运行时,由于地球对卫 星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心 力,而万有引力指向地心,所以地心一定是卫 星圆轨道的圆心. 【例】 若取地球的第一宇宙速度为8km/s,某 行星的质量是地球质量的6倍,半径是地球 半径的1.5倍,此行星的第一宇宙速度约为 ( ) A.16km/s B.32km/s C.4km/s D.2km/s 【解析】 由GMm R2 =mv 2 R 得v= GMR ,因行 星的质量 M'是地球质量M 的6倍,半径R' 是地球半径R 的1.5倍,即 M'=6M,R'= 1.5R,所以v'v= GM' R' GM R = M'RMR'=2 ,则v'=2v =16km/s,A正确. 【答案】 A 天体运动的加速度、线速度、角速度和周期 与轨道半径的关系 GMm r2 = ma→a=GM r2 →a∝1 r2 mv 2 r→v= GM r →v∝ 1 r mrω2→ω= GM r3 →ω∝ 1 r3 mr4π 2 T2 →T= 4π 2r3 GM →T∝ r 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 越 高 越 慢 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·22· |假日必刷题·物理| 设乙的运动周期为T乙,由开普勒第三定律 T乙 T 2 = r乙r甲 3 综合解得T乙 =2 2T 所以C项正确;ABD错误;故选C. 3.C A.牛顿发现万有引力定律之后,是英国的科学家卡 文迪什通过实验测出了引力常量G,故 A错误;B.第谷 用了20年时间观测记录行星的运动,开普勒通过研究第 谷记录的数据,发现了行星运动的三大定律,故B错误; C.伽利略最先把科学实验和逻辑推理方法相结合,否认 了力是维持物体运动状态的原因,故C正确;D.在推导 匀变速直线运动位移公式时,把整个运动过程分成很多 小段,每一小段近似看作匀速直线运动,然后把各小段 的位移相加,这里运用了微元法,故D错误.故选C. 4.D 两个球的半径分别为r1 和r2,两球之间的距离为r, 所以两球心间的距离为r1+r2+r,根据万有引力定律得 两球间的万有引力大小为:F=G m1m2 r+r1+r2 2 ,故D正 确,ABC错误. 5.C 根据万有引力定律可知,卫星与地球之间的万有引 力大小为F=G Mm R+h 2 ,故选C. 6.BD 根据F=GmM R2 ,由 m、M、R、F 四个物理量的国 际单位可推导出G 的单位,为N·m2/kg2,故A错误;由 F=GmM R2 可知G=FR 2 Mm ,两个质量各为1kg的质点相距 1m时万有引力的数值等于G 的数值,故B正确;在不同 星球上,G 的数值均是一样的,故C错误;引力常量G 是 由卡文迪什用扭秤实验测出来的,D正确.故选BD. 【刷综合题】 7.A 设该点到地心的距离为r1,到月心的距离为r2,由万 有引力定律可得GM地 m r21 =GM月 m r22 整理得 r1 r2 = M地 M月 = 9 1 A正确.故选A. 8.【解析】 设同步卫星高度为 H,由万有引力定律及卫星 做圆周运动的规律可得G Mm H+R 2 =m4π 2 T2 (R+H) 解得 H= 3 GMT2 4π2 -R=3.6×107m 则一方讲话,另一方听到对方讲话的最短时间 T=2Hc =0.24s. 【答案】 0.24s 【刷高考题】 A 根据万有引力公式F=GMm r2 ,可知题图中a处单位 质量的海水受到月球的引力最大,故选A。 必刷题九 万有引力理论的成就 【刷基础题】 1.B 物体做自由落体运动有h=12gt 2,根据万有引力与 重力的关系GMm R2 =mg,解得月球的质量为 M=2hR 2 Gt2 , 故选B. 2.B 设卫星的质量为 m,卫星做匀速圆周运动的轨道半 径为r,由万有引力提供向心力,则有GMm r2 =mv 2 r 其中r=lθ v=lt 联立可得 M= l 3 Gθt2 故B正确,ACD错误.故选B. 3.AD 根据题意,由公式v=2πrT 可得,则轨道半径为r= vT 2π ,由于卫星在星球表面飞行,则星球的半径等于卫星 的轨道半径vT 2π ,故 A正确;根据题意,由万有引力提供 向心力有GMm r2 =mv 2 r ,解得行 星 的 质 量 为 M=v 2r G = v3T 2πG ,又有V=43πR 3=v 3T3 6π2 ,行星的平均密度为ρ= M V =3π GT2 ,故B、C错误;根据题意,由万有引力等于重力有 GMm R2 =mg,解得g=GMR2 =2πvT ,故D正确.故选AD. 4.AC 在火星两极GMm R2 =F1 在火星赤道上GMm R2 =F2+mω2R 密度公式为ρ= M V = M 4 3πR 3 联立得ρ= 3F1ω2 4πG(F1-F2) ,R=F1-F2 mω2 ,故选AC. 5.C 设地球质量为 M,半径为R,由于两极处物体的重力 等于地球对物体的万有引力,则P=GMm R2 在赤道上,地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉 力的合力提供向心力,则有GMm R2 -0.9P=mR4π 2 T2 联立解得 M=40π 2R3 GT2 所以地球的平均密度ρ= M V = 40π2R3 GT2 4πR3 3 =30π GT2 故C项正确,ABD三项错误. 6.C 设近地卫星的质量为m,火星的质量为 M,对近地卫 星,火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力, 则有GMm (d 2 )2 = 4π2m(d2 ) T2 可得 M=π 2d3 2GT2 火星的密度为ρ= M 4 3π (d 2 )3 =6M πd3 将 M=π 2d3 2GT2 代入上式可得ρ= 6M πd3 = 6π2d3 2GT2 πd3 =3π GT2 又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重 力,则有mg0=G Mm (d 2 )2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·56· |参考答案| 解得 M=g0d 2 4G 火星的密度为ρ= M 4 3π (d 2 )3 = g0d2 4G 1 6πd 3 = 3g0 2πGd 故A、B、D错误,C正确;故选C. 【刷综合题】 7.【解析】 (1)在地球表面GMm R2 =mg 根据密度公式ρ= M V ,V=43πR 3 解得ρ= 3g 4πGR. (2)空间站绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心 力 GMm(R+h)2 =m 2πT 2 (R+h) 在地球表面GMm R2 =mg 解得h= 3 gR2T2 4π2 -R. 【答案】 (1)3g4πGR ;(2) 3 gR2T2 4π2 -R 8.【解析】 (1)根据题意,速度位移关系公式,有v20=2gh 解得该星球表面的重力加速度g= v20 2h. (2)静止在该星球表面的物体,根据重力等于万有引力, 有GMm R2 =mg 解得星球的质量 M=v 2 0R2 2Gh. (3)星球的体积V=4πR 3 3 故该星球的密度ρ= M V 解得星球的密度ρ= M V = 3v20 8πhGR. 【答案】 (1)g= v20 2h ;(2)M=v 2 0R2 2Gh ;(3)ρ= 3v20 8πhGR 【刷高考题】 D 设月球半径为R,质量为 M,对嫦娥六号,根据万有 引力提供向心力有G Mm[(k+1)R]2 =m4π 2 T2 ·(k+1)R 月球的体积V=43πR 3 月球的平均密度ρ= M V 联立可得ρ= 3π GT2 (1+k)3,故选D。 必刷题十 宇宙航行 【刷基础题】 1.D 第一宇宙速度是最大的环绕速度也是最小的发射速 度,而第二宇宙速度是脱离地球的最小速度,第三宇宙 速度是脱离太阳的最小速度,所以能离开地球的是b和 c,故D正确;故选D. 2.CD 根据万有引力充当向心力GMm r2 =mv 2 r ,可得v= GM r ,可知,卫星的轨道半径r越大,即距离地面越远, 卫星的环绕速度越小,v1=7.9km/s是人造地球卫星环 绕地球表面做圆周运动的最大运行速度,实际上,由于 人造卫星的轨道半径都大于地球半径,卫星绕地球在圆 轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度,故A错误,D 正确;美国发射的“凤凰号”火星探测卫星,仍在太阳系 内,所以其发射速度小于第三宇宙速度,故B错误;第二 宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一 颗人造行星的最小发射速度,故C正确.故选CD. 3.BD 人造地球卫星、宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动, 根据万有引力提供向心力,有GMm r2 =mv 2 r =m (2π T )2r 解得v= GMr T=2π r 3 GM 即运转速度与飞船的质量无关,当飞船内的宇航员从舱 内慢慢走出并离开飞船时,飞船的速度不变,故A错误; 根据v= GMr 可知两颗卫星的线速度相等,则其轨道半径就相等;根 据T=2π r 3 GM 可知不管它们的质量、形状差别有多大,它们的周期一 定相等,故B正确; 当后面的卫星加速时,地球对卫星的万有引力将小于卫 星做圆周运动所需要的向心力,故卫星要做离心运动, 不可能与前面的卫星相撞,故C错误; 先让航天飞机进入较低的轨道,若让航天飞机加速,其 做圆周运动所需要的向心力变大,万有引力不变,所以 航天飞机做离心运动,轨道半径变大,即可进入较高轨 道与空间站实现对接,故D正确.故选BD. 4.A 由图可知,卫星a、b的轨道半径相等,根据GMm r2 = m4π 2 T2 r,解得T= 4π 2r3 GM ,即卫星b的周期与地球同步卫 星周期相等为24h.故 A正确;地球的自转方向为自西 向东,卫星a发射时为了节约能源,应该自西向东发射. 故B错误;由图可知卫星c为地球的环绕卫星,其发射速 度必须大于 第 一 宇 宙 速 度 小 于 第 二 宇 宙 速 度.故C错 误;卫星a为地球同步卫星,在赤道上空与地球保持相对 静止,且离地面的高度是一定的.在运行时不可能经过 连云港的正上方.故D错误.故选A. 5.A 卫星C为同步卫星,周期与 A物体周期相等,又万 有引 力 提 供 向 心 力,即GMm R2 =m(2πT )2R,解 得 T= 2π R 3 GM ,所以A的周期大于B的周期,故选项A正确; 卫星 B、卫 星 C的 向 心 力 由 万 有 引 力 提 供,即 ma= GMm R2 ,则有aC<aB;根据a=( 2π T )2r可得aC>aA,故选 项B错误;卫星C与卫星B的周期不同,它们的角速度 也不同,故选项C错误;由于卫星 A的角速度与卫星C 的角速度相等,由v=ωr可知vA<vC,比较卫星B和卫 星C,根据万有引力提供向心力可得GMm R2 =mv 2 R ,解得 v= GMR ,可得vC<vB,因而vA<vC<vB,故选项D错误. 6.D A.“天问一号”探测器需要脱离地球的引力才能奔向 火星绕 火 星 运 行,发 射 的 最 小 速 度 为 第 二 宇 宙 速 度 11.2km/s,故A错 误;B.火 星 引 力 小 于 地 球,“天 问 一 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·66· |假日必刷题·物理|