第一章 空间向量与立体几何 第三课时 空间向量基本定理-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

第三课时 空间向量基本定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【课标要求】 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解.(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的 向量作为基底表示其他向量的方法.(重点) 知识点1 基底的判断 1.如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个 空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y, z),使得p= . 2.其中{a,b,c}叫做空间的一个 ,a,b,c 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量 都可以构成空间的一个基底. 判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能 构成基底;若不共面,则能构成基底. 【例1】 有以下命题:①如果向量a,b与任何向 量不能构成空间向量的一组基底,那么a,b 的关系是不共线;②O,A,B,C 为空间四点, 且向量OA →,OB →,OC → 不构成空间的一个基底, 则点O,A,B,C 一定共面;③已知向量a,b,c 是空间的一个基底,则向量a+b,a-b也是 空间的一个基底,其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【分析】 本题考查空间向量的基本定理,以 及共线向量与共面向量,考查分析问题解决 问题的能力,是基础题. 根据空间向量的基本定理即可判断②③的正 误,找出反例判断①命题错误,即可得到正确 选项. 【解析】 ①如果向量a,b与任何向量不能构 成空间向量的一组基底,那么a,b的关系是 不共线,不正确. 反例:如果a,b中有一个向量为零向量,a,b 共线但不能构成空间向量的一组基底,所以 不正确. ②O,A,B,C 为空间四点,且向量OA →,OB →,OC → 不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C 一 定共面;这是正确的. ③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量 a+b,a-b,c,也是空间的一个基底;因为三 个向量非零不共线,正确. 故选C. 【答案】 C 【练1】 (多选题)已知A、B、C、D、E 是空间五 点,若{AB →,AC →,AD →}、{AB →,AC →,AE →}均不能 构成空间的一个基底,则在下列四个结论中, 正确的是 ( ) A.{AB →,AD →,AE →}不构成空间的一个基底 B.{AC →,AD →,AE →}不构成空间的一个基底 C.{BC →,CD →,DE →}不构成空间的一个基底 D.{AB →,CD →,EA →}构成空间的一个基底 知识点2 用基底表示向量 当基底确定后,空间向量基本定理中实数 组(x,y,z)是唯一的 基向量的选择和使用方法 (1)尽可能选择具有垂直关系的,从同一起 点出发的三个向量作为基底. (2)用基向量表示一个向量时,如果此向量 的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑加 法,否则考虑减法;如果此向量与一个易求的向 量共线,可用数乘. 【例2】 正方体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3 分别是AC,AB',AD'的中点,以{AO → 1,AO → 2, AO → 3}为基底,AC' → =xAO → 1+yAO2 → +zAO → 3, 则x,y,z的值是 ( ) A.x=y=z=1 B.x=y=z=12 C.x=y=z= 22 D.x=y=z=2 【解析】 AC' → =AA' → +AD → +AB → =12 (AB → +AD →)+12 (AA' → +AD →)+12 (AA' → +AB →) =12AC → + 12AD' → + 12AB' → =AO1 → +AO3 → +AO2 →, 由空间向量的基本定理,得x=y=z=1. 【答案】 A 【练2】 若a=e1+e2+e3,b=e1-e2-e3,c= e1+e2,d=e1+2e2+3e3(e1、e2、e3 为空间一 个基底)且d=xa+yb+zc,则x、y、z的值分 别为 ( ) A.52 ,-12 ,-1 B.52 ,1 2 ,1 C.-52 ,1 2 ,1 D.52 ,-12 ,18 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·25· |假日必刷题·数学| 正交分解在立体几何中的应用 1.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三 个基向量两两垂直,且长度都是1,那么这个 基底叫做单位正交基底.常用{i,j,k}表示. 2.正交分解:把一个空间向量分解为三个两两 垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 【例】 如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M, N 分 别 是 A1B,B1C1 上 的 点,且 BM = 2A1M,C1N=2B1N.设AB → =a,AC → =b,AA1 → =c. (1)试用a,b,c表示向量MN →; (2)若 ∠BAC=90°,∠BAA1= ∠CAA1= 60°,AB=AC=AA1=1,求 MN 的长. 【解析】 (1)MN → =MA1 → +A1B1 → +B1N → =13 BA1 → +AB → +13B1C1 → =13 (c-a)+a+13 (b- a)=13a+ 1 3b+ 1 3c. (2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b ·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2 ×1×1×12=5 , ∴|a+b+c|= 5, ∴|MN → |=13|a+b+c|= 5 3 ,即 MN= 53. ◉速记口诀 1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个 非零向量都为共线向量,与任意两个非零向 量都共面,所以三个向量为基底隐含着三个 向量一定为非零向量. 2.空间向量基本定理说明,用空间三个不共面 的向量构成的向量组{a,b,c}可以表示空间 任意一个向量,并且表示结果是唯一的. 3.用基底表示空间向量,一般要用向量的加法、 减法、数乘的运算法则,及加法的平行四边形 法则,加法、减法的三角形法则.逐步向基向 量过渡,直到全部用基向量表示. ◉解题有法 基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 1.设出基向量. 2.用基向量表示出直线的方向向量. 3.用|a|= a·a求长度,用a·b=0⇔a⊥b,用 cosθ= a ·b |a||b| 求夹角. 4.转化为线段长度,两直线垂直及夹角问题. 1.若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中 不能构成空间的一个基底的是 ( ) A.a,2b,3c B.a+b,b+c,c+a C.a+b+c,b+c,c D.a+2b,2b+3c,3a-9c 2.若向量MA →,MB →,MC → 的起点M 与终点A,B,C 互不重合,且点 M,A,B,C 中无三点共线,满 足下列关系(O 是空间任一点),则能使向量 MA →,MB →,MC → 成为空间一个基底的关系是 ( ) A.OM → =13OA → +13OB → +13OC → B.MA → ≠MB → +MC → C.OM → =OA → +OB → +OC → D.MA → =2MB → -MC → 3.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n= xa+yb+c,若m 与n 共线,则x= , y= . 4.在空间四边形 ABCD 中,AB → =a-2c,CD → = 5a-5b+8c,对角线 AC,BD 的中点分别是 E,F,则EF → = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·35· |第二部分 开局之篇·赢定下一学期| 4.B BC→·BD→=(AC→-AB→)·(AD→-AB→)=AC→·AD→- AC→·AB→-AB→·AD→+AB→2=AB→2>0, 同理,可证CB→·CD→>0,DB→·DC→>0. 所以△BCD 的每个内角均为锐角,故△BCD 是锐角三 角形. 5.解析 EF→=12BD →,BD→·BC→=2×2×cosπ3=2, 故|BC→-EF→|2=|BC→- 12BD →|2=BC→2-BC→·BD→+ 1 4BD →2=4-2+14×4=3. 故|BC→-EF→|= 3. 又因为EF→=12BD →=12(AD →-AB→), 故AC→·EF→=12AC →·(AD→-AB→) =12 (AC→·AD→-AC→·AB→)=0, 因为<EF→,AC→>∈[0,π], 所以<EF→,AC→>=π2. 答案 3 π2 第三课时 空间向量基本定理 【新课学得早】 知识点1 1.xa+yb+zc 2.基底 练1 ABC 由AB→、AC→、AD→与AB→、AC→、AE→均不能构成空 间的一个基底可知AB→、AC→、AD→、AE→为共面向量,即 A、 B、C、D、E 五点共面,故ABC为真命题. 练2 A d=xa+yb+zc =(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3. 又∵d=e1+2e2+3e3,∴ x+y+z=1 x-y+z=2 x-y=3 , 解得:x=52 ,y=-12 ,z=-1. 【课时勤演练】 1.D 因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面. 对于A,B,C选项,每组都是不共面的向量,能构成空间 的一个基底;对于D:a+2b,2b+3c,3a-9c满足3a-9c =3[(a+2b)-(2b+3c)],所以这三个向量是共面向量, 故不能构成空间的一个基底.故选D. 2.C 若MA→,MB→,MC→为空间一组基向量,则 M,A,B,C 四 点不共面.选项A中,因为13+ 1 3+ 1 3=1 ,所以点 M, A,B,C共面;选项B中,MA→≠MB→+MC→,但可能存在实 数λ,μ使得MA →=λMB→+μMC →,所以点 M,A,B,C 可能 共面;选项D中,四点 M,A,B,C显然共面.故选C. 3.解析:因为m 与n 共线,所以存在实数λ,使 m=λn,即 a-b+c=λxa+λyb+λc,于是有 1=λx, -1=λy, 1=λ, 解得 x=1, y=-1. 答案 1 -1 4.解析 EF→=12(ED →+EB→)=14(AD →+CD→)+14(AB →+ CB→)=14AB →+14BD →+14CD →+14AB →+14CD →+14DB → =12 (AB→+CD→)=3a-52b+3c. 答案 3a-52b+3c 第四课时 空间向量及其运算的坐标表示 【新课学得早】 知识点2 1.xi+yj+zk (x,y,z) A(x,y,z) x y z xi+yj +zk (x,y,z) a=(x,y,z) 2.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3),λ∈R a1b1+a2b2+a3b3 知识点3 a1=λb1 a2=λb2,(λ∈R) a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3= 0 a21+a22+a23 练1 C 空间直角坐标系中,点P(3,-2,-5), 因为点Q 与点P 关于Ozx 平面对称, 所以点Q 的坐标是(3,2,-5). 练2 (1)D ∵CB→=(-6,1,2k),CA→=(-3,2,-k), ∴CB→·CA→=(-6)×(-3)+2+2k·(-k)=-2k2+ 20=0,∴k=± 10. (2)解析 ∵p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1), ∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1. 答案 -1 练3 BD 因为向量a=(1,1,0),所以不妨设与a共线的 单位向量e=(a,a,0),则|e|= a2+a2+0=1.解 得 a=± 22 ,所 以 与a 共 线 的 单 位 向 量 为 2 2 ,2 2 ,0 或 - 22,- 22,0 .故选BD. 【课时勤演练】 1.B ∵a-b=(-2,2,2),又(a-b)⊥c,(a-b)·c=0,即 4+2x+4=0,∴x=-4. 2.ABCD 若∠A=90°,AB→=(-3,-1,3k),AC→=(3,-2, k),则AB→·AC→=(-3)×3+(-1)×(-2)+3k×k= 3k2-7=0,∴k=± 213 . 若∠B=90°,BA→=(3,1,-3k),BC→=(6,-1,-2k),则 BA→·BC→=3×6+1×(-1)+(-3k)×(-2k)=6k2+ 17=0,此时k无解. 若∠C=90°,CB→=(-6,1,2k),CA→=(-3,2,-k),则CB→ ·CA→=(-6)×(-3)+2+2k×(-k)=-2k2+20=0, ∴k=± 10. 3.解析 ∵a、b、c三向量共面,则存在不全为零的实数x, y,使c=xa+yb, 即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2)=(2x-y,-x +4y,3x-2y), ∴ 2x-y=7, -x+4y, 3x-2y=λ. 解得 x=337 , y=177. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴c=337a+ 17 7b ,λ=3x-2y=657. 答案 337a+ 17 7b 65 7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·67· |假日必刷题·数学|