第一章 空间向量与立体几何 第二课时 空间向量的数量积运算-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

知识点2 (1)OA→+OC→ OA→-OC→ b+a a+(b+c) (2)λa 向量 相同 相反 0 |λ| μ(λa) (λμ)a λa+μa λa+λb 知识点3 (1)互相平行或重合 共线向量 (2)平行 (3)a=λb 知识点4 (1)同一个平面 (2)p=xa+yb (3)xAB →+yAC→ OA→+ xAB→+yAC→ 练1 B 根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个 向量是相等向量,①正确;平行且模相等的两个向量可 能是相等向量,也可能是相反向量,②不正确;当a=-b 时,也有|a|=|b|,③不正确;只要模相等、方向相同,两 个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,④不 正确.综上可知只有①正确,故选B. 练2 B MG→-AB→+AD→=MG→-(AB→-AD→)=MG→-DB→ =MG→+BD→=MG→+2MG→=3MG→. 练3 A ∵BD→=BC→+CD→=-5a+6b+7a-2b=2a+4b =2(a+2b)=2AB→, ∴A,B,D 三点共线,故选A.答案:A. 练4 D 因为OM→=xOA→+13OB →+13OC →,且 M,A,B,C 四点共面,所 以 必 有1+ 13 + 1 3 =1 ,解 得 x= 13 ,故 选D. 【课时勤演练】 1.B ∵34+ 1 8+ 1 8=1 , ∴点P,A,B,C四点共面. 2.ABCD A中,(AB→+BC→)+CC1→=AC→+CC1→=AC1→; B中,(AA1 →+A1D1→)+D1C1→=AD1→+D1C1→=AC1→; C中,(AB→+BB1→)+B1C1→=AB1→+B1C1→=AC1→; D中,(AA1 →+A1B1→)+B1C1→=AB1→+B1C1→=AC1→. 所以,所给4个式子的运算结果都是AC1 →. 3.解析 根据空间向量的加减法运算,对于①:AB→+BC→= AC→恒成立;对于③:当AB→,BC→,AC→方向相同时,有|AB→| +|BC→|=|AC→|;对于④:当BC→,AB→,AC→共线且AB→,AC→方 向相同,|AB→|>|AC→|时,有|AB→|-|AC→|=|BC→|.只有 ②一定不成立. 答案 ② 4.解析 如 图,延 长 DE 交 边BC 于点F, 则AB→+12BC →=AF→,32DE →+AD→ =AD→+DF→=AF→,故AB→+12BC → -32DE →-AD→=0. 答案 0 5.解:如图所示, (1)∵OQ→=PQ→-PO→ =PQ→-12(PA →+PC→) =PQ→-12PA →-12PC →, ∴x=y=-12. (2)∵PA→+PC→=2PO→,∴PA→=2PO→-PC→. 又∵PC→+PD→=2PQ→,∴PC→=2PQ→-PD→. 从而有PA→=2PO→-(2PQ→-PD→)=2PO→-2PQ→+PD→. ∴x=2,y=-2. 第二课时 空间向量的数量积运算 【新课学得早】 知识点1 1.(1)<a,b> (2)π 垂直 a⊥b 2.(1)|a||b|cos<a,b> |a||b|cos<a,b> 0 (2)a·b=0 |a||a|cos<a,a> |a|2 a ·b |a||b| (3)(a·b) (λb) b·a a·b+a·c 知识点2 a·b=0 知识点3 a·b |a||b| 练1 B 由题意得FG→=12AC →,所以FG→·AB→=12AC →· AB→=12×1×1×cos60°= 1 4. 故选B. 练2 证明 由底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°, AB=2AD 知,DA⊥BD,则BD→·DA→=0. 由PD⊥底面ABCD 知,PD⊥BD,则BD→·PD→=0. 又PA→=PD→+DA→,∴PA→·BD→=(PD→+DA→)·BD→=PD→ ·BD→+DA→·BD→=0,即PA⊥BD. 练3 解析 不妨设棱长为2,则AB→1=BB1→-BA→, BM→=BC→+12BB1 →, cos<AB1 →,BM→>= (BB1 →-BA→)·(BC→+12BB1 →) 22×5 =0-2+2-0 22×5 =0,故填90°. 答案 90° 【课时勤演练】 1.BD 由于数量积不满足结合律,故 A不正确,由数量积 的性质知B正确,C中,|a|2·b=|b|2·a不一定成立, D运算正确. 2.AB 如图所示,(AA1 →+AD→+AB→)2= (AA1 →+A1D1→+D1C1→)2 =AC1→2 =3 AB→2,故A正确;A1C→·(A1B1→-A1A→) =A1C →·AB1→=0,故 B正 确;AD1→与 A1B → 的夹角是D1C → 与D1A → 夹角的补角, 而D1C → 与D1A → 的夹角为60°,故AD1 → 与A1B → 的夹角为120°, 故C错误;正方体的体积为|AB→||AA1→||AD→|,故D错 误.综上可知,AB正确. 3.解析 由已知OA→·OB→=OA→·OC→=OB→·OC→=0, 且OG→=OA →+OB→+OC→ 3 , 故OG→·(OA→+OB→+OC→)= 13 (OA →+OB→+OC→)2= 1 3 (|OA→|2+|OB→|2+|OC→|2)=13(1+4+9)= 14 3. 答案 143 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·57· |参考答案| 4.B BC→·BD→=(AC→-AB→)·(AD→-AB→)=AC→·AD→- AC→·AB→-AB→·AD→+AB→2=AB→2>0, 同理,可证CB→·CD→>0,DB→·DC→>0. 所以△BCD 的每个内角均为锐角,故△BCD 是锐角三 角形. 5.解析 EF→=12BD →,BD→·BC→=2×2×cosπ3=2, 故|BC→-EF→|2=|BC→- 12BD →|2=BC→2-BC→·BD→+ 1 4BD →2=4-2+14×4=3. 故|BC→-EF→|= 3. 又因为EF→=12BD →=12(AD →-AB→), 故AC→·EF→=12AC →·(AD→-AB→) =12 (AC→·AD→-AC→·AB→)=0, 因为<EF→,AC→>∈[0,π], 所以<EF→,AC→>=π2. 答案 3 π2 第三课时 空间向量基本定理 【新课学得早】 知识点1 1.xa+yb+zc 2.基底 练1 ABC 由AB→、AC→、AD→与AB→、AC→、AE→均不能构成空 间的一个基底可知AB→、AC→、AD→、AE→为共面向量,即 A、 B、C、D、E 五点共面,故ABC为真命题. 练2 A d=xa+yb+zc =(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3. 又∵d=e1+2e2+3e3,∴ x+y+z=1 x-y+z=2 x-y=3 , 解得:x=52 ,y=-12 ,z=-1. 【课时勤演练】 1.D 因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面. 对于A,B,C选项,每组都是不共面的向量,能构成空间 的一个基底;对于D:a+2b,2b+3c,3a-9c满足3a-9c =3[(a+2b)-(2b+3c)],所以这三个向量是共面向量, 故不能构成空间的一个基底.故选D. 2.C 若MA→,MB→,MC→为空间一组基向量,则 M,A,B,C 四 点不共面.选项A中,因为13+ 1 3+ 1 3=1 ,所以点 M, A,B,C共面;选项B中,MA→≠MB→+MC→,但可能存在实 数λ,μ使得MA →=λMB→+μMC →,所以点 M,A,B,C 可能 共面;选项D中,四点 M,A,B,C显然共面.故选C. 3.解析:因为m 与n 共线,所以存在实数λ,使 m=λn,即 a-b+c=λxa+λyb+λc,于是有 1=λx, -1=λy, 1=λ, 解得 x=1, y=-1. 答案 1 -1 4.解析 EF→=12(ED →+EB→)=14(AD →+CD→)+14(AB →+ CB→)=14AB →+14BD →+14CD →+14AB →+14CD →+14DB → =12 (AB→+CD→)=3a-52b+3c. 答案 3a-52b+3c 第四课时 空间向量及其运算的坐标表示 【新课学得早】 知识点2 1.xi+yj+zk (x,y,z) A(x,y,z) x y z xi+yj +zk (x,y,z) a=(x,y,z) 2.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3),λ∈R a1b1+a2b2+a3b3 知识点3 a1=λb1 a2=λb2,(λ∈R) a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3= 0 a21+a22+a23 练1 C 空间直角坐标系中,点P(3,-2,-5), 因为点Q 与点P 关于Ozx 平面对称, 所以点Q 的坐标是(3,2,-5). 练2 (1)D ∵CB→=(-6,1,2k),CA→=(-3,2,-k), ∴CB→·CA→=(-6)×(-3)+2+2k·(-k)=-2k2+ 20=0,∴k=± 10. (2)解析 ∵p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1), ∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1. 答案 -1 练3 BD 因为向量a=(1,1,0),所以不妨设与a共线的 单位向量e=(a,a,0),则|e|= a2+a2+0=1.解 得 a=± 22 ,所 以 与a 共 线 的 单 位 向 量 为 2 2 ,2 2 ,0 或 - 22,- 22,0 .故选BD. 【课时勤演练】 1.B ∵a-b=(-2,2,2),又(a-b)⊥c,(a-b)·c=0,即 4+2x+4=0,∴x=-4. 2.ABCD 若∠A=90°,AB→=(-3,-1,3k),AC→=(3,-2, k),则AB→·AC→=(-3)×3+(-1)×(-2)+3k×k= 3k2-7=0,∴k=± 213 . 若∠B=90°,BA→=(3,1,-3k),BC→=(6,-1,-2k),则 BA→·BC→=3×6+1×(-1)+(-3k)×(-2k)=6k2+ 17=0,此时k无解. 若∠C=90°,CB→=(-6,1,2k),CA→=(-3,2,-k),则CB→ ·CA→=(-6)×(-3)+2+2k×(-k)=-2k2+20=0, ∴k=± 10. 3.解析 ∵a、b、c三向量共面,则存在不全为零的实数x, y,使c=xa+yb, 即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2)=(2x-y,-x +4y,3x-2y), ∴ 2x-y=7, -x+4y, 3x-2y=λ. 解得 x=337 , y=177. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴c=337a+ 17 7b ,λ=3x-2y=657. 答案 337a+ 17 7b 65 7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·67· |假日必刷题·数学| 3.对于空间中的非零向量AB →,BC →,AC →,有下列 各式:①AB → +BC → =AC →;②AB → -AC → =BC →; ③|AB → |+|BC → |=|AC → |;④|AB → |-|AC → |= |BC → |.其中一定不成立的是 . 4.在三棱锥 A-BCD 中,若△BCD 是正三角 形,E为其中心,则化简AB → +12BC → -32DE → - AD → 的结果为 . 5.已知四边形 ABCD 为正方形,P 是四边形 ABCD 所在平面外一点,P 在平面ABCD 上 的射影恰好是正方形ABCD 的中心O,Q 是 CD 的中点.求下列各式中x,y的值. (1)OQ → =PQ → +xPC → +yPA →; (2)PA → =xPO → +yPQ → +PD → . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二课时 空间向量的数量积运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【课标要求】 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算 律及计算方法.(重点) 3.掌握投影向量的概念.(重点) 4.能用向量的数量积解决立体几何问题.(难点) 知识点1 空间向量数量积的运算 1.空间向量的夹角 (1)夹角的定义:已知两个 非零向量a,b,在空间任取 一点O,作OA → =a,OB → =b,则∠AOB 叫做向 量a,b的夹角,记作 . (2)夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ 的取值范围是[0,π].特别地,当θ=0时,两 向量同向共线;当θ= 时,两向量反 向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或π;当<a, b>=π2 时,两向量 ,记作 . 2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b= . 规定:零向量与任何向量的数量积为 . (2)常用结论(a,b为非零向量) ①a⊥b⇔ . ②a·a= = . ③cos<a,b>= . (3)数量积的运算律 数乘向量与 数量积的结合律 (λa)·b=λ = a· 交换律 a·b= 分配律 a·(b+c)= 【例1】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长 为1,则AC →·AD1 → 等于 ( ) A.0 B.1 C.12 D.-1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·94· |第二部分 开局之篇·赢定下一学期| 【解析】 AC →·AD1 → =(AB → +AD →)·(AD → + AA1 →) =AB →·AD → +AB →·AA1 → +AD →2+AD →·AA1 → =0+0+1+0=1. 【答案】 B 【练1】 如图,空间四边形 ABCD 的每条边和对角线 的长都等于1,点 E,F,G 分别是AB,AD,CD 的中 点,则FG →·AB → = ( ) A.34 B. 1 4 C. 1 2 D. 3 2 知识点2 利用数量积证明空间垂直关系 常用结论:a⊥b⇔ . 【例2】 已知空间四边形OABC 中,∠AOB= ∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N 分 别是OA,BC的中点,G是MN 的中点,求证: OG⊥BC. 【思路探究】 首先把向量OG → 和BC → 均用OA →、 OB →、OC → 表示出来,通过证明OG →·BC → =0来证 得OG⊥BC. 【证 明】 连 接 ON,设 ∠AOB=∠BOC=∠AOC =θ, 又设OA → =a,OB → =b,OC → =c, 则|a|=|b|=|c|. 又OG → =12 (OM → +ON →) =12 1 2OA → +12 (OB → +OC →) =14 (a+b+c),BC → =c-b. ∴OG →·BC → =14 (a+b+c)·(c-b) =14 (a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c) =14 (|a|2·cosθ-|a|2·cosθ-|a|2+|a|2) =0. ∴OG → ⊥BC →,即OG⊥BC. 【练2】 如图,四棱锥 P- ABCD 中,底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形,∠DAB =60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.证明: PA⊥BD. 知识点3 夹角问题 常用结论:cos<a,b>= . 【例3】 已知a、b是异面直线,A、B∈a,C、D∈ b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b 所成的角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】 设<AB →,CD →>=θ,AB →·CD → =(AC → +CD → +DB →)·CD → =|CD → |2 =1,∴cosθ= AB →·CD → |AB → ||CD → | =12 ,又∵0°≤θ≤180°,∴θ=60°, 故选C. 【答案】 C 【练 3】 如 图,已 知 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相 等,M 是侧棱CC1 的中点,则 异面直线 AB1 和 BM 所成的 角的大小是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·05· |假日必刷题·数学| 用数量积解决的距离问题 1.用数量积解决的距离问题常见线段长度即点 点距、点线距、点面距. 2.常用求模的大小公式 由公式|a|= a·a可以推广为|a±b|= (a±b)2= a2±2a·b+b2. 【例】 在正四面体 ABCD 中,棱长为a,M,N 分 别 是 棱 AB,CD 上 的 点,且|MB|= 2|AM|,|CN|=12|ND| ,求|MN|. 【解析】 ∵MN → =MB → +BC → +CN → =23AB → +(AC → -AB →)+13 (AD → -AC →)=-13 AB → +13AD → +23AC → . ∴MN →·MN → = -13AB → +13AD → +23AC → . -13AB → +13AD → +23AC → =19AB →2-29AD →·AB → -49AB →·AC → +49AC → ·AD → +19AD 2→+49AC →2 =19a 2-19a 2-29a 2+29a 2+19a 2+49a 2=59a 2. 故|MN → |= MN →·MN → = 53a. 即|MN|= 53a. ◉速记口诀 1.空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求 法完 全 相 同,都 是 应 用 公 式 cos<a,b>= a·b |a|·|b| ,解题的关键就是求a·b 和|a|、 |b|.求模时注意|a|2=a·a的应用. 2.在空间,向量a向向量b 投影,可以先将它们 平移到同一个平面内,进而利用平面上向量 的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a| cos<a,b>b|b| ,则向量c称为向量a 在向量b 上的投影向量,同理向量b在向量a 上的投 影向量是|b|cos<a,b>a|a|. ◉解题有法 求两点间的距离或线段长的方法 1.将相应线段用向量表示,通过向量运算来求 对应向量的模. 2.因为a·a=|a|2,所以|a|= a·a,这是利用 向量解决距离问题的基本公式.另外,该公式 还 可 以 推 广 为 |a ± b| = (a±b)2 = a2±2a·b+b2. 3.可用|a·e|=|a||cosθ|(e为单位向量,θ为 a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在 直线上的投影. 1.(多选题)设a,b,c是任意的非零平面向量,且 它们相互不共线,下列命题中正确的有 ( ) A.(a·b)c-(c·a)b=0 B.|a|= a·a C.a2b=b2a D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 2.(多选题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下 列四个命题中,正确的是 ( ) A.(AA1 → +AD → +AB →)2=3AB →2 B.A1C →·(A1B1 → -A1A →)=0 C.AD1 → 与A1B → 的夹角为60° D.正方体的体积为|AB →·AA1 →·AD → | 3.在四面体OABC 中,棱 OA、OB、OC 两两垂 直,且OA=1,OB=2,OC=3,G 为△ABC 的 重心,则OG →·(OA → +OB → +OC →)= . 4.设A,B,C,D 是空间中不共面的四点,且满足 AB →·AC → =0,AC →·AD → =0,AB →·AD → =0,则 △BCD 是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 5.(多空题)如图,四面体ABCD 的每条棱长都 等于2,点E,F 分别为棱AB,AD 的中点,则 |BC → -EF → |= ,EF → 与AC → 所成的角为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·15· |第二部分 开局之篇·赢定下一学期|