第一章 空间向量与立体几何 第一课时 空间向量及其线性运算-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

第一章 空间向量与立体几何 第一课时 空间向量及其线性运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【课标要求】 1.理解空间向量的概念.(难点) 2.掌握空间向量的线性运算.(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的 应用.(重点、难点) 知识点1 空间向量的有关概念 1.空间向量 (1)定义:在空间,具有 和 的量叫做空间向量. (2)长度或模:空间向量的 . (3)表示方法 ①几何表示法:空间向量用 表示; ②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量 a 的 起 点 是 A,终 点 是 B,也 可 记 作: ,其模记为 或 . 2.几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 单位向量 任意 相反 向量 相等 a的相反向量: AB → 的相反向量: 相等向量 相同 a=b 【例1】 (1)给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b或a=-b; ②若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|; ③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC → =A1C1 →; ④若空间向量 m,n,p 满足m=n,n=p,则 m=p. 其中正确命题的序号是 . (2)如图所示,在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中,顶点连 接的向量中,与向量AA' → 相等 的向 量 有 ;与向量 A'B' → 相反的向量有 . (要求写出所有适合条件的向量) 【解析】 (1)对于①,向量a与b 的方向不一 定相同或相反,故①错;对于②,根据相反向 量的定义知|a|=|b|,故②正确;对于③,根 据相等向量的定义知,AC → =A1C1 →,故③正确; 对于④,根据相等向量的定义知正确. (2)根据相等向量的定义知,与向量AA' → 相等 的向量有BB' →,CC' →,DD' → .与向量A'B' → 相反的 向量有B'A' →,BA →,CD →,C'D' → . 【答案】 (1)②③④ (2)BB' →,CC' →,DD' → B'A' →,BA →,CD →,C'D' → 【练1】 下列关于空间向量的命题中,正确命题 的个数是 ( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ②平行且模相等的两个向量是相等向量; ③若a≠b,则|a|≠|b|; ④两个向量相等, 则它们的起点与终点相同. A.0 B.1 C.2 D.3 知识点2 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向 量的运 算 加 法 OB → = =a+b 减 法 CA → = =a-b 加法运 算律 ①交换律:a+b= ②结合律:(a+b)+c= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·64· |假日必刷题·数学| (2)空间向量的数乘运算 ①定义:实数λ与空间向量a的乘积 仍然是一个 ,称为向量的数乘运算. 当λ>0时,λa与向量a方向 ; 当λ<0时,λa与向量a方向 ; 当λ=0时,λa= ;λa 的长度是a 的长度的 倍. ②运算律 a.结合律:λ(μa)= = . b.分配律:(λ+μ)a= ,λ(a+b)= . 【例2】 (1)如图所示,在长方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为AC 的中点. ①化简:A1O → -12AB → -12AD → = ; ②用AB →,AD →,AA1 → 表示OC1 →,则OC1 → = . 【解】 ①A1O → -12AB → -12AD → =A1D → -12 (AB → + AD →)=A1O → -12AC → =A1O → -AO → =A1A → . ②OC1 → =OC → +CC1 → =12 (AB → +AD →)+AA1 → = 1 2AB → +12AD → +AA1 → . (2)在三棱锥O-ABC 中,OA → =a,OB → =b,OC → =c,D 为BC 的中点,则AD → = ( ) A.-a+12b+ 1 2c B.-2a+b+c C.a+12b+ 1 2c D.a-12b- 1 2c 【解】 依题意得AD → =OD → -OA → =12 (OB → + OC →)-OA → =-a+12b+ 1 2c ,故选A. 【练2】 已知空间四边形ABCD,连接AC,BD, 设 M,G 分别是BC,CD 的中点,则MG → -AB → +AD → 等于 ( ) A.32DB → B.3MG → C.3GM → D.2MG → 知识点3 共线向量 (1)定义:表示若干空间向量的有向线段所 在的直线 ,则这些向量叫做 或平行向量. (2)方向向量:在直线l上取非零向量a,与 向量a 的非零向量称为直线l的方向 向量. 规定:零向量与任意向量平行,即对任意向 量a,都有0∥a. (3)共线向量定理:对于空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ 使 . (4)如图,O 是直线l 上一点,在直线l上取非 零向 量a,则 对 于 直 线l 上任意一点P,由数乘向 量定义及向量共线的充要条件可知,存在实数 λ,使得OP → =λa. 【例3】 设e1,e2 是空间两个不共线的向量,已 知AB → =e1+ke2,BC → =5e1+4e2,DC → =-e1- 2e2,且A,B,D 三点共线,实数k= . 【解析】 AD → =AB → +BC → +CD → =(e1+ke2)+(5e1 +4e2)+(e1+2e2)=7e1+(k+6)e2. 设AD → =λAB →,则7e1+(k+6)e2=λ(e1+ke2), 所以 λ=7 λk=k+6 ,解得k=1. 【答案】 1 【练3】 已知空间向量a,b,且AB → =a+2b,BC → =-5a+6b,CD → =7a-2b,则一定共线的三 点是 ( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 知识点4 共面向量 (1)定义:平行于 的向量叫做共面 向量. (2)共面向量定理:若两个向量a,b 不共 线,则向量p 与向量a,b共面的充要条件是存 在唯一的有序实数对(x,y),使 . (3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条 件:存在有序实数对(x,y),使AP → = 或对空间任意一点O,有OP → = . 【例4】 已知A,B,C三点不共线,对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点 M 与点 A,B,C一定共面的是 ( ) A.OM → =OA → +OB → +OC → B.OM → =2OA → -OB → -OC → C.OM → =OA → +12OB → +13OC → D.OM → =13OA → +13OB → +13OC → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·74· |第二部分 开局之篇·赢定下一学期| 【解析】 由OM → =13OA → +13OB → +13OC →, 可得3OM → =OA → +OB → +OC → ⇒OM → -OA → +OM → -OB → +OM → -OC → =0,即AM → =-BM → -CM → . 所以AM → 与BM →,CM → 在一个平面上,即点 M 与 点A,B,C 一定共面. 【答案】 D 【练4】 已知点 M 在平面ABC 内,并且对空间 任意一点O,都有OM → =xOA → +13OB → +13OC →, 则x的值是 ( ) A.1 B.0 C.3 D.13 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决向量共面的策略 1.若已知点P 在平面ABC 内,则有AP → =xAB → +yAC → 或OP → =xOA → +yOB → +zOC →(x+y+ z=1),然后利用指定向量表示出已知向量, 用待定系数法求出参数. 2.证明三个向量共面(或四点共面),需利用共 面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的 分解与合成,将其中一个向量用另外两个向 量来表示. 【例】 如 图,已 知 四 边 形 ABCD 是平行四边形,点 P 是ABCD 所在平面外的 一点,连 接 PA,PB,PC, PD.设点E,F,G,H 分别为△PAB,△PBC, △PCD,△PDA 的重心.试用向量方法证明 E,F,G,H 四点共面. 【证明】 分 别 连 接 PE, PF,PG,PH 并 延 长,交 对边于点 M,N,Q,R, 连接 MN,NQ,QR,RM, 因为点E,F,G,H 分别是 所在三角形的重心,所以 M,N,Q,R 是所在 边的中点,且 PE → =23PM →,PF → =23PN →,PG → =23PQ →,PH → = 2 3PR → . 由题意知四边形 MNQR 是平行四边形, 所以MQ → =MN → +MR → =(PN → -PM →)+(PR → - PM →)=32 (PF → -PE →)+32 (PH → -PE →)=32 (EF → + EH →). 又MQ → =PQ → -PM → =32PG → -32PE → =32EG → . 所以EG → =EF → +EH →,由共面向量定理知,E, F,G,H 四点共面. ◉速记口诀 P,A,B,C四点共面的结论有 (1)存在有序实数对(x,y),使得AP → =xAB → +yAC → . (2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件 是存在有序实数组(x,y,z)使得OP → =xOA → + yOB → +zOC →(其中x+y+z=1). (3)四点中任意两点的方向向量与另外两 点的方向向量共线,如PA → ∥BC → . ◉解题有法 空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件 是存在有序实数对(x,y),使MP → =xMA → +y MB →,满足这个关系式的点都在平面MAB内;反 之,平面 MAB内的任一点都满足这个关系式. 这个充要条件常用于证明四点共面. 1.A,B,C 不共线,对空间任意一点O,若OP → = 3 4OA → +18OB → +18OC →,则P,A,B,C四点 ( ) A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断 2.(多选题)如图所示,在正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中, 下列各式中运算的结果为 向量AC1 → 的有 ( ) A.(AB → +BC →)+CC1 → B.(AA1 → +A1D1 →)+D1C1 → C.(AB → +BB1 →)+B1C1 → D.(AA1 → +A1B1 →)+B1C1 → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·84· |假日必刷题·数学| 3.对于空间中的非零向量AB →,BC →,AC →,有下列 各式:①AB → +BC → =AC →;②AB → -AC → =BC →; ③|AB → |+|BC → |=|AC → |;④|AB → |-|AC → |= |BC → |.其中一定不成立的是 . 4.在三棱锥 A-BCD 中,若△BCD 是正三角 形,E为其中心,则化简AB → +12BC → -32DE → - AD → 的结果为 . 5.已知四边形 ABCD 为正方形,P 是四边形 ABCD 所在平面外一点,P 在平面ABCD 上 的射影恰好是正方形ABCD 的中心O,Q 是 CD 的中点.求下列各式中x,y的值. (1)OQ → =PQ → +xPC → +yPA →; (2)PA → =xPO → +yPQ → +PD → . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二课时 空间向量的数量积运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【课标要求】 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算 律及计算方法.(重点) 3.掌握投影向量的概念.(重点) 4.能用向量的数量积解决立体几何问题.(难点) 知识点1 空间向量数量积的运算 1.空间向量的夹角 (1)夹角的定义:已知两个 非零向量a,b,在空间任取 一点O,作OA → =a,OB → =b,则∠AOB 叫做向 量a,b的夹角,记作 . (2)夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ 的取值范围是[0,π].特别地,当θ=0时,两 向量同向共线;当θ= 时,两向量反 向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或π;当<a, b>=π2 时,两向量 ,记作 . 2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b= . 规定:零向量与任何向量的数量积为 . (2)常用结论(a,b为非零向量) ①a⊥b⇔ . ②a·a= = . ③cos<a,b>= . (3)数量积的运算律 数乘向量与 数量积的结合律 (λa)·b=λ = a· 交换律 a·b= 分配律 a·(b+c)= 【例1】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长 为1,则AC →·AD1 → 等于 ( ) A.0 B.1 C.12 D.-1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·94· |第二部分 开局之篇·赢定下一学期| 必刷题十八 频率与概率 【刷基础题】 1.CD 对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误; 对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误; 对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则 出现1点的频率是950 ,符合频率定义,故C正确; 对于D,频率是概率的估计值,故D正确. 故选:CD. 2.A 因 为 这 句 谚 语 是 提 醒 人 们 需 提 防 小 概 率 事 件.故 选A. 3.ABD 频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试 验总数的比值,随某事件出现的次数而变化 概率指的是 某 一 事 件 发 生 的 可 能 程 度,是 个 确 定 的 理 论值 故选:ABD 4.AB 对于A,试验次数越多,频率就会稳定在概率的附 近,故A正确; 对于B,如果骰子均匀,则各点数应该均匀出现,所以根 据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀,故 B正确. 对于C,中奖概率为 11000 是指买一次彩票,可能中奖的概 率为 1 1000 ,不 是 指1000张 这 种 彩 票 一 定 能 中 奖,故 C 错误. 对于D,“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为 0.7,故D错. 故选:AB. 5.CD A.某人打靶,射击10次,击中6次,那么此人中靶 的频率为0.6,故A错误; B.买这种彩票是一个随机事件,中奖或者不中奖都有可 能,但事先无法预料,故B错误; C.根据古典概型的概率公式可知C正确; D.大量试验后,可以用频率近似估计概率,故D正确. 故选:CD. 6.解析 通过做大量重复试验可以发现,正面朝上的频率都 在0.5附近摆动,故掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 答案 0.5 7.B 出现6点的频率为19100=0.19. 8.解析 样本中白糖质量在497.5g~501.5g之间的有5 袋,所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5g ~501.5g之间的频率为520=0.25 ,则概率约为0.25. 答案 0.25 9.D 游戏1中,取2个球的所有可能情况为:(黑1,黑2), (黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑2,白),(黑3, 白).所以甲胜的可能性为0.5,故游戏是公平的;游戏2 中,显然甲胜的可能性为0.5,游戏是公平的;游戏3中, 取2个球的所有可能情况为:(黑1,黑2),(黑1,白1), (黑2,白1),(黑1,白2),(黑2,白2),(白1,白2).所以 甲胜的可能性为1 3 ,游戏是不公平的.故选D. 10.B 由题意得肇事车是甲公司的概率为 1003000+100= 1 31 ,是乙公司的概率为 3000 3000+100= 30 31 ,可以认定肇事 车为乙公司的车辆较为合理.故选B. 11.解析 根据题中随机数表中的数据,这三天均下雨的 随机数组有431,113,则估计这三天均下雨的概率为220 =0.1. 答案 0.1 12.解析 “种 子 发 芽”这 个 事 件 发 生 的 频 率 为19622000= 0.981;若用户需要该批可发芽的稻谷种100000粒,则 需采购该批稻谷种子100000× 10.981 (粒),故需要购 买该批稻谷种子100000× 10.981÷35000≈3 (千克). 答案 0.981 3 【刷综合题】 13.解 设保护区中天鹅的数量为n,假设每只天鹅被捕到 的可能性是相等的,从保护区中任捕一只, 设事件A={捕到带有记号的天鹅}, 则P(A)=200n . 从保护区中捕出150只天鹅, 其中有20只带有记号, 由概率的定义可知P(A)≈20150. 由200 n ≈ 20 150 ,解得n≈1500, 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只. 14.解 (1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,用 频率估计概率,4月份任选一天,该市在该天不下雨的 概率约是26 30= 13 15. (2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2 日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日 期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天 的次日不下雨的频率约为14 16= 7 8 ,用频率估计概率,运 动会期间不下雨的概率约为7 8. 【刷高考题】 1.C 方法1:设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学 生人数为x,则x+80-60=90,解得x=70, 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数 比值的估计值为70 100=0.7. 故选C. 方法2:用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西 游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图: 易知调查的100位 学 生 中 阅 读 过《西 游 记》的 学 生 人 数 为70, 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数 比值的估计值为70 100=0.7. 故选C. 2.【解析】 x=10×0.97+20×0.98+10×0.9910+20+10 =0.98. 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值 为0.98. 【答案】 0.98 第二部分 开局之篇·赢定下一学期 第一章 空间向量与立体几何 第一课时 空间向量及其线性运算 【新课学得早】 知识点1 1.(1)大小 方向 (2)大小 (3)有向线段 AB→ |a| |AB→| 2.任意 0 0 1 相反 -a BA→ 相等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·47· |假日必刷题·数学| 知识点2 (1)OA→+OC→ OA→-OC→ b+a a+(b+c) (2)λa 向量 相同 相反 0 |λ| μ(λa) (λμ)a λa+μa λa+λb 知识点3 (1)互相平行或重合 共线向量 (2)平行 (3)a=λb 知识点4 (1)同一个平面 (2)p=xa+yb (3)xAB →+yAC→ OA→+ xAB→+yAC→ 练1 B 根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个 向量是相等向量,①正确;平行且模相等的两个向量可 能是相等向量,也可能是相反向量,②不正确;当a=-b 时,也有|a|=|b|,③不正确;只要模相等、方向相同,两 个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,④不 正确.综上可知只有①正确,故选B. 练2 B MG→-AB→+AD→=MG→-(AB→-AD→)=MG→-DB→ =MG→+BD→=MG→+2MG→=3MG→. 练3 A ∵BD→=BC→+CD→=-5a+6b+7a-2b=2a+4b =2(a+2b)=2AB→, ∴A,B,D 三点共线,故选A.答案:A. 练4 D 因为OM→=xOA→+13OB →+13OC →,且 M,A,B,C 四点共面,所 以 必 有1+ 13 + 1 3 =1 ,解 得 x= 13 ,故 选D. 【课时勤演练】 1.B ∵34+ 1 8+ 1 8=1 , ∴点P,A,B,C四点共面. 2.ABCD A中,(AB→+BC→)+CC1→=AC→+CC1→=AC1→; B中,(AA1 →+A1D1→)+D1C1→=AD1→+D1C1→=AC1→; C中,(AB→+BB1→)+B1C1→=AB1→+B1C1→=AC1→; D中,(AA1 →+A1B1→)+B1C1→=AB1→+B1C1→=AC1→. 所以,所给4个式子的运算结果都是AC1 →. 3.解析 根据空间向量的加减法运算,对于①:AB→+BC→= AC→恒成立;对于③:当AB→,BC→,AC→方向相同时,有|AB→| +|BC→|=|AC→|;对于④:当BC→,AB→,AC→共线且AB→,AC→方 向相同,|AB→|>|AC→|时,有|AB→|-|AC→|=|BC→|.只有 ②一定不成立. 答案 ② 4.解析 如 图,延 长 DE 交 边BC 于点F, 则AB→+12BC →=AF→,32DE →+AD→ =AD→+DF→=AF→,故AB→+12BC → -32DE →-AD→=0. 答案 0 5.解:如图所示, (1)∵OQ→=PQ→-PO→ =PQ→-12(PA →+PC→) =PQ→-12PA →-12PC →, ∴x=y=-12. (2)∵PA→+PC→=2PO→,∴PA→=2PO→-PC→. 又∵PC→+PD→=2PQ→,∴PC→=2PQ→-PD→. 从而有PA→=2PO→-(2PQ→-PD→)=2PO→-2PQ→+PD→. ∴x=2,y=-2. 第二课时 空间向量的数量积运算 【新课学得早】 知识点1 1.(1)<a,b> (2)π 垂直 a⊥b 2.(1)|a||b|cos<a,b> |a||b|cos<a,b> 0 (2)a·b=0 |a||a|cos<a,a> |a|2 a ·b |a||b| (3)(a·b) (λb) b·a a·b+a·c 知识点2 a·b=0 知识点3 a·b |a||b| 练1 B 由题意得FG→=12AC →,所以FG→·AB→=12AC →· AB→=12×1×1×cos60°= 1 4. 故选B. 练2 证明 由底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°, AB=2AD 知,DA⊥BD,则BD→·DA→=0. 由PD⊥底面ABCD 知,PD⊥BD,则BD→·PD→=0. 又PA→=PD→+DA→,∴PA→·BD→=(PD→+DA→)·BD→=PD→ ·BD→+DA→·BD→=0,即PA⊥BD. 练3 解析 不妨设棱长为2,则AB→1=BB1→-BA→, BM→=BC→+12BB1 →, cos<AB1 →,BM→>= (BB1 →-BA→)·(BC→+12BB1 →) 22×5 =0-2+2-0 22×5 =0,故填90°. 答案 90° 【课时勤演练】 1.BD 由于数量积不满足结合律,故 A不正确,由数量积 的性质知B正确,C中,|a|2·b=|b|2·a不一定成立, D运算正确. 2.AB 如图所示,(AA1 →+AD→+AB→)2= (AA1 →+A1D1→+D1C1→)2 =AC1→2 =3 AB→2,故A正确;A1C→·(A1B1→-A1A→) =A1C →·AB1→=0,故 B正 确;AD1→与 A1B → 的夹角是D1C → 与D1A → 夹角的补角, 而D1C → 与D1A → 的夹角为60°,故AD1 → 与A1B → 的夹角为120°, 故C错误;正方体的体积为|AB→||AA1→||AD→|,故D错 误.综上可知,AB正确. 3.解析 由已知OA→·OB→=OA→·OC→=OB→·OC→=0, 且OG→=OA →+OB→+OC→ 3 , 故OG→·(OA→+OB→+OC→)= 13 (OA →+OB→+OC→)2= 1 3 (|OA→|2+|OB→|2+|OC→|2)=13(1+4+9)= 14 3. 答案 143 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·57· |参考答案|