必刷题十八 频率与概率-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

必刷题十八 频率与概率 【刷基础题】 1.CD 对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误; 对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误; 对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则 出现1点的频率是950 ,符合频率定义,故C正确; 对于D,频率是概率的估计值,故D正确. 故选:CD. 2.A 因 为 这 句 谚 语 是 提 醒 人 们 需 提 防 小 概 率 事 件.故 选A. 3.ABD 频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试 验总数的比值,随某事件出现的次数而变化 概率指的是 某 一 事 件 发 生 的 可 能 程 度,是 个 确 定 的 理 论值 故选:ABD 4.AB 对于A,试验次数越多,频率就会稳定在概率的附 近,故A正确; 对于B,如果骰子均匀,则各点数应该均匀出现,所以根 据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀,故 B正确. 对于C,中奖概率为 11000 是指买一次彩票,可能中奖的概 率为 1 1000 ,不 是 指1000张 这 种 彩 票 一 定 能 中 奖,故 C 错误. 对于D,“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为 0.7,故D错. 故选:AB. 5.CD A.某人打靶,射击10次,击中6次,那么此人中靶 的频率为0.6,故A错误; B.买这种彩票是一个随机事件,中奖或者不中奖都有可 能,但事先无法预料,故B错误; C.根据古典概型的概率公式可知C正确; D.大量试验后,可以用频率近似估计概率,故D正确. 故选:CD. 6.解析 通过做大量重复试验可以发现,正面朝上的频率都 在0.5附近摆动,故掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 答案 0.5 7.B 出现6点的频率为19100=0.19. 8.解析 样本中白糖质量在497.5g~501.5g之间的有5 袋,所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5g ~501.5g之间的频率为520=0.25 ,则概率约为0.25. 答案 0.25 9.D 游戏1中,取2个球的所有可能情况为:(黑1,黑2), (黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑2,白),(黑3, 白).所以甲胜的可能性为0.5,故游戏是公平的;游戏2 中,显然甲胜的可能性为0.5,游戏是公平的;游戏3中, 取2个球的所有可能情况为:(黑1,黑2),(黑1,白1), (黑2,白1),(黑1,白2),(黑2,白2),(白1,白2).所以 甲胜的可能性为1 3 ,游戏是不公平的.故选D. 10.B 由题意得肇事车是甲公司的概率为 1003000+100= 1 31 ,是乙公司的概率为 3000 3000+100= 30 31 ,可以认定肇事 车为乙公司的车辆较为合理.故选B. 11.解析 根据题中随机数表中的数据,这三天均下雨的 随机数组有431,113,则估计这三天均下雨的概率为220 =0.1. 答案 0.1 12.解析 “种 子 发 芽”这 个 事 件 发 生 的 频 率 为19622000= 0.981;若用户需要该批可发芽的稻谷种100000粒,则 需采购该批稻谷种子100000× 10.981 (粒),故需要购 买该批稻谷种子100000× 10.981÷35000≈3 (千克). 答案 0.981 3 【刷综合题】 13.解 设保护区中天鹅的数量为n,假设每只天鹅被捕到 的可能性是相等的,从保护区中任捕一只, 设事件A={捕到带有记号的天鹅}, 则P(A)=200n . 从保护区中捕出150只天鹅, 其中有20只带有记号, 由概率的定义可知P(A)≈20150. 由200 n ≈ 20 150 ,解得n≈1500, 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只. 14.解 (1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,用 频率估计概率,4月份任选一天,该市在该天不下雨的 概率约是26 30= 13 15. (2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2 日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日 期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天 的次日不下雨的频率约为14 16= 7 8 ,用频率估计概率,运 动会期间不下雨的概率约为7 8. 【刷高考题】 1.C 方法1:设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学 生人数为x,则x+80-60=90,解得x=70, 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数 比值的估计值为70 100=0.7. 故选C. 方法2:用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西 游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图: 易知调查的100位 学 生 中 阅 读 过《西 游 记》的 学 生 人 数 为70, 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数 比值的估计值为70 100=0.7. 故选C. 2.【解析】 x=10×0.97+20×0.98+10×0.9910+20+10 =0.98. 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值 为0.98. 【答案】 0.98 第二部分 开局之篇·赢定下一学期 第一章 空间向量与立体几何 第一课时 空间向量及其线性运算 【新课学得早】 知识点1 1.(1)大小 方向 (2)大小 (3)有向线段 AB→ |a| |AB→| 2.任意 0 0 1 相反 -a BA→ 相等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·47· |假日必刷题·数学| 必刷题十八 频率与概率 频率与概率的关系问题 频率与概率的关系 概率可以通过频率来“测量”或者说频率是 概率的一个近似值,概率从数量上反映了一个 事件发生的可能性的大小. 说明:(1)频率本身是随机的,在试验前不 能确定,做同样次数的重复试验得到事件的频 率会不同.而概率是一个确定的常数,是客观存 在的,与每次试验无关. (2)频率是概率的近似值,随着试验次数的 增加,频率会越来越接近概率. 【例】 某险种的基本保费为a(单位:元),继续 购买该险种的投保人称为续保人,续保人本 年度 的 保 费 与 其 上 年 度 出 险 次 数 的 关 联 如下: 上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内 的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A 为事件:“一续保人本年度的保费不 高于基本保费”,求P(A)的估计值. (2)记B 为事件:“一续保人本年度的保费高 于基本保费但不高于基本保费的160%”.求 P(B)的估计值. (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 【解析】 (1)事件A 发生当且仅当一年内出 险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 60+50 200 =0.55 ,故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大 于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小 于4的频率为30+30200 =0.3 , 故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+ 1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05= 1.1925a. 因 此,续 保 人 本 年 度 平 均 保 费 的 估 计 值 为1.1925a. ◉高分秘籍 1.得出概率为0.8,显然是对概率的统计性定义 的曲解.事实上,概率定义中用频率的近似值 刻画概率,要求试验次数足够多. 2.随着试验次数的增加,随机事件发生的频率 会在某个常数附近摆动并趋于稳定,用这个 常数来刻画该随机事件发生的可能性大小, 即称为这一事件发生的概率的近似值,而概 率是一个确定的常数,与试验的次数无关. ◉速记口诀 1.频率的稳定性:一般地,随着试验次数n的增 大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A 发 生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A 发生的 概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的 稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概 率P(A). 2.概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随 机事件发生的频繁 程度,是随机的 概率是一个确定 的 值,它 反 映 随 机事件发生的可 能性的大小 联系 频率是概率的估计值,随着试验次数 的增加,频率会越来越接近概率 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·34· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 知识点1 概率的稳定性 1.(多选题)给出下列四个命题,其中正确的命 题有 ( ) A.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正 面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51 100 B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发 生的概率 C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18 次,则出现1点的频率是950 D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事 件发生的概率 2.“不怕一万,就怕万一”这句民间谚语说明( ) A.小概率事件虽很少发生,但也可能发生,需 提防 B.小概率事件很少发生,不用怕 C.小概率事件就是不可能事件,不会发生 D.大概率事件就是必然事件,一定发生 知识点2 频率与概率的关系 3.(多选题)下列说法中,正确的是 ( ) A.频率反映随机事件的频繁程度,概率反映 随机事件发生的可能性大小; B.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是 具有确定性的不依赖于试验次数的理论值; C.做n次随机试验,事件发生m 次,则事件发 生的频率m n 就是事件的概率; D.频率是概率的近似值,而概率是频率的稳 定值. 4.(多选题)下列说法正确的是 ( ) A.随着试验次数的增加,频率一般会越来越 接近概率 B.连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1 点,可以认为这枚骰子质地不均匀 C.某种福利彩票的中奖概率为 11000 ,那么买 1000张这种彩票一定能中奖 D.某市气象台预报“明天本市降水概率为 70%”,指 的 是:该 市 气 象 台 专 家 中,有 70%认为明天会降水,30%认为不降水 5.(多选题)下列说法正确的是 ( ) A.一个人打靶,打了10发子弹,有6发子弹 中靶,因此这个人中靶的概率为0.6 B.某地发行福利彩票,其回报率为47%,有个人 花了100元钱买彩票,一定会有47元回报 C.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽, 则乙与甲中奖的可能性相同 D.大量试验后,可以用频率近似估计概率 知识点3 用随机事件的频率估计其概率 6.把一枚质地均匀的硬币连续掷1000次,其中 有496次正面朝上,504次反面朝上,则可认 为掷一次硬币正面朝上的概率为 . 7.某人将一枚均匀的正方体骰子,连续抛掷了 100次,出现6点的次数为19次,则 ( ) A.出现6点的概率为0.19 B.出现6点的频率为0.19 C.出现6点的频率为19 D.出现6点的概率接近0.19 8.从某自动包装机包装的白糖中,随机抽取20 袋,测得各袋的质量(单位:g)分别为: 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理,该自动 包装机包装的袋装白糖质 量 在497.5g~ 501.5g之间的概率约为 . 知识点4 生活中的概念 9.下面有三种游戏规则:袋子中分别装有大小 相同的球,从袋中取球, 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和 1个白球 1个黑球和 1个白球 2个 黑 球 和 2 个白球 取1个 球, 再取1个球 取1个球 取 1 个 球,再 取1个球 取出的两个 球 同 色 → 甲胜 取出的球是 黑球→甲胜 取出的两个球 同色→甲胜 取出的两个 球不同色→ 乙胜 取出的球是 白球→乙胜 取出的两个球 不同色→乙胜 问其中不公平的游戏是 ( ) A.游戏1 B.游戏1和游戏3 C.游戏2 D.游戏3 10.某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有 的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔 纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车 牌号码及颜色,而该市有两家出租车公司, 其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3000 辆帕萨特出租车;乙公司有3000辆桑塔纳 出租车,100辆帕萨特出租车,交警部门应认 定肇事车为哪个公司的车辆较合理 ( ) A.甲公司 B.乙公司 C.甲、乙公司均可 D.以上都对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·44· |假日必刷题·数学| 知识点5 简单的随机模拟试验的应用 11.采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有 两天下雨的概率:先利用计算器产生0到9 之间取整数值的随机数,用1,2,3,4表示下 雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,再以每三 个随机数作为一组,代表这三天的下雨情 况.经 随 机 模 拟 试 验 产 生 了 如 下20组 随 机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,这三天中均下雨的概率为 . 12.种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子,进 行了种子发芽试验.在统计的2000粒种子 中有1962粒发芽,“种子发芽”这个事件发 生的频率是 ,若用户需要该批可发 芽的稻谷种100000粒,需采购该批稻谷种 子 千克(每千克约35000粒).(结 果取整数) 13.为了估计某自然区天鹅的数量,可以使用以 下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天 鹅,如200只,给每只天鹅作上记号且不影 响其存活,然后放回保护区,经过适当的时 间,让它们和保护区中其余的天鹅充分混 合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如 150只.查看其中有记号的天鹅,设有20只, 试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅 的数量. 14.随机抽取一个年份,对某市该年4月份的天 气情况进行统计,结果如下: 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11121314151617181920 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21222324252627282930 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天,估计该市在该天不 下雨的概率; (2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始 举行连续两天的运动会,估计运动会期间不 下雨的概率. 1.(2019·全国Ⅲ卷(文))《西游记》《三国演义》 《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝, 并称为中国古典小说四大名著.某中学为了 解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查 了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼 梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学 生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红 楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游 记》的学生人数与该校学生总数比值的估计 值为 ( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 2.(2019·全国Ⅱ卷)我国高铁发展迅速,技术 先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有 10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正 点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99, 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·54· |第一部分 收官之作·完胜上一学期|