必刷题十七 事件的独立性-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

13.解析 试验的样本空间={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2, 6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5, 3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6)},共有36个样本点.“朝上的一面数字相 同”的样本点有6个:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5, 5),(6,6),则概率为16. “朝上一面数字之积不为偶数” 的结果有9个:(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3, 5),(5,1),(5,3),(5,5).故“朝上一面数字之积为偶数” 的概率为1-936= 3 4. 答案 16 3 4 14.C 由题意可知B表示“大于或等于5的点数出现”,事 件A 与事件B互斥.由概率的加法公式可得P(A+B)= P(A)+P(B)=26+ 2 6= 4 6= 2 3. 15.B 因为事件“羽毛球的质量在[4.74,5.50]内”(质量 符合规定标准)的对立事件为“质量小于4.74或质量大 于5.50”,而“质量小于4.74”和“质量大于5.50”互斥, 所以由互斥事件概率公式和对立事件概率公式可得质 量符合规定标准的概率为1-(0.1+0.2)=0.7. 【刷综合题】 16.解 (1)记“他乘火车去”为事件A,“他乘轮船去”为事 件B,“他乘汽车去”为事件C,“他乘飞机去”为事件D. 这四个事件两两不可能同时发生,故它们彼此互斥. 所以P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不 乘 轮 船 去 的 概 率 为 P(B),则 P(B)=1- P(B)=1-0.2=0.8, 所以,他不乘轮船去的概率为0.8. (3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5, P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5, 故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞 机去. 17.解 (1)试 验 的 样 本 空 间 共 有27个 样 本 点,如 下 表 所示: 红 红 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 蓝 红 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 黄 红 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 所以一共能布置27排小凳子. (2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A,由上表可 知,事件 A 的 样 本 点 有1×3=3个,故 P(A)= 327 =19. (3)设“每排的小凳子颜色都不同”为事件B,由上表可 知,事件B 的样本点有2×3=6个,故P(B)=627= 2 9. 【刷高考题】 A 用1,2,3,4,5,6表示6个主题,甲、乙二人每人抽取 1个主题的所有结果如下表: 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 共有36个不同结果,它们等可能,其中甲、乙抽到相同结 果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个, 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个, 概率P=3036= 5 6. 故选:A. 必刷题十七 事件的独立性 【刷基础题】 1.ACD 在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环” 两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在 B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙 射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C 中,甲,乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都 没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件,不独 立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中 目标但乙未射中目标”为 事 件 B,则 AB=B,因 此 当 P (A)≠1时,P(AB)≠P(A)·P(B),故A、B 不独立,故 选:ACD. 2.A 对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不 影响的,所以事件 A与B相互独立;对同一目标射击, 甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件 A与B 可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A. 3.A 由题意知A2=“第 二 次 摸 到 的 不 是 白 球”,即A2= “第二次摸到的是黄球”,由于采用有放回地摸球,故每 次是否摸到黄球或白球互不影响,故事件A1 与A2 是相 互独立事件. 4.A 由题意①中,根据对立事件与互斥事件的关系,可得 是正确;②中,当A 与B 是互斥事件时,才有P(A∪B)= P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B 满足P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB),所以是不正确的;③也不正确. P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,还可能小于1;④也 不正确.例如:袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球,从 袋中任摸一个球,设事件A={摸到红球或黄球},事件B ={摸到黄球或黑球},显然事件A 与B 不互斥,但P(A) +P(B)=12+ 1 2=1. 5.BD A选项:如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.5,P(AB) =0.2,故A选项错误; B选项:如果A 与B 互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB) =0,故B选项正确; C选项:如果 A 与B 相互独立,那么 P(A∪B)=0.7, P(AB)=0.1,故C选项错误; D选项:如果A 与B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)· P(B)=0.4, P(AB)=P(A)·P(B)=0.4,故D选项正确. 故选:BD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·27· |假日必刷题·数学| 6.D 甲、乙两人参加歌唱比赛,晋级概率分别为45 和3 4 , 且两人是否晋级相互独立,故有甲晋级乙不能晋级的概 率为4 5× 1 4 ,而乙晋级甲不能晋级的概率为1 5× 3 4 ,则 两人中恰有一人晋级的概率为4 5× 1 4+ 1 5× 3 4= 7 20. 7.D 记E=“甲组研发新产品成功”,F=“乙组研发新产 品成功”,由题设知P(E)=23 ,P(E)=13 ,P(F)=35 , P(F)=25 ,且事件E 与F,E 与F,E与F,E与F都相互 独立. 记 H=“至少有一种新产品研发成功”,则H=E∩F,于 是P(H)=P(E)×P(F)=13× 2 5= 2 15 ,故所求的概率 P(H)=1-P(H)=1-215= 13 15. 故选D. 8.解析 设A=“两个闹钟至少有一个准时响”, 则P(A)=1-(1-0.80)(1-0.90)=1-0.20×0.10= 0.98. 答案 0.98 9.B 设T=“A 与B 中至少有一个不闭合”,R=“E 与F 至少有一个不闭合”,则P(T)=P(R)=1-12× 1 2= 3 4 ,所以灯亮的概率为P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)= 1-34× 3 4× 1 2× 1 2= 55 64 ,故选B. 10.C 若 M,N 为互斥事件,且P(M)=15 ,P(N)=14 , 则P(M∪N)=15+ 1 4= 9 20 ,故(1)正确; 若P(M)=12 ,P(N)=13 ,P(MN)=16. 则由相互独立事件乘法公式知 M,N 为相互独立事件, 故(2)正确; 若P(M)=12 ,P(N)=13 ,P(MN)=16 , 则P(M)=1-P(M)=12 ,P(MN)=P(M)·P(N). 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M,N 为相互独立事件,故(3)正确; 若P(M)=12 ,P(N)=13 ,P(MN)=16 , 当 M,N 为相互独立事件时,P(N)=1-P(N)=23 , P(MN)=12× 2 3= 1 3 ,故(4)错误; 若P(M)=12 ,P(N)=13 ,P(􀮄M􀭿N)=56 , 则P(M)=12 ,P(N)=23 ,P(􀮄M􀭿N)≠P(M)·P(N). 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M,N 为相互独立事件,故(5)错误.故选C. 11.C 甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3,丙、丁比赛丙获胜 的概率是0.5,甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3, 根据独立事件的概率等于概率之积,所以,甲得冠军且 丙得亚军的概率:0.3×0.5×0.3=0.045.故选C. 12.解析 ∵P(ABC)=P(AB)P(C)=16P (C)=18 , ∴P(C)=34 ,即P(C)=14. 又P(BC)=P(B)·P(C)=18 , ∴P(B)=12 ,P(B)=12. 又P(AB)=16 ,则P(A)=13 , ∴P(AB)=P(A)·P(B)= 1-13 ×12=13. 答案 12 1 3 【刷综合题】 13.解 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别 为A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率为P1=P(ABC) +P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5×0.6×0.1+ 0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9 =0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率为P2= 1 3P (AB) +13P (BC)+13P (AC)=13×0.5×0.6+ 1 3×0.6× 0.9+13×0.5×0.9=0.43. 14.解 (1)设A1=“甲在第一轮比赛中胜出”,A2=“甲在 第二轮比赛中胜出”,B1=“乙在第一轮比赛中胜出”, B2=“乙在第二轮比赛中胜出”,则 A1A2=“甲赢得比赛”,P(A1A2)=P(A1)P(A2)= 3 5 ×23= 2 5. B1B2=“乙赢得比赛”,P(B1B2)=P(B1)P(B2)= 3 4× 2 5= 3 10. 因为2 5> 3 10 ,所以派甲参赛获胜的概率更大. (2)由(1)知,设C=“甲赢得比赛”,D=“乙贏得比赛”, 则P(C)=1-P(A1B2)=1- 2 5= 3 5 ; P(D)=1-P(B1B2)=1- 3 10= 7 10. 于是C∪D=“两人中至少有一人赢得比赛” P(C∪D)=1-P(CD)=1-P(C)P(D)=1-35× 7 10 =2950. 【刷高考题】 1.C 不妨设该校学生总人数为100,既喜欢足球又喜欢游 泳的学生人数为x,则100×96%=100×60%-x+100 ×82%,所以x=46,所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生 数占该校学生总数的比例为46%.选C. 2.解析 设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n, 4n,6n,所以总数为15n, 所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n; 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事 件A,所以, P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05; 记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件B, 黑球总共有2n+n+3n=6n个,白球共有9n个, 所以,P(B)=9n15n= 3 5. 故答案为:0.05;35. 答案 0.05 35 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·37· |参考答案| 17.幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小 凳子布置联欢会的会场,每排三个小凳子, 并且任何两排不能完全相同.求: (1)假设所需的小凳子足够多,那么,根据要 求一共能布置多少排小凳子; (2)每排的小凳子颜色都相同的概率; (3)每排的小凳子颜色都不同的概率. (2023·全国乙卷(文))某学校举办作文比 赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取 一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽 到不同主题概率为 ( ) A.56 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十七 事件的独立性 混淆互斥事件和独立事件的概念 解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率) 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立 事件的意义,若A,B 相互独立,则􀭿A 与B,A 与 􀭺B,􀭿A 与􀭺B 也是相互独立的,代入相互独立事件 的概率公式求解. 【例】 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑 游的人越来越多.某自行车租车点的收费标 准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收费2元(不足一 小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人来 该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙 不超过两小时还车的概率分别为1 4 ,1 2 ,两小 时以上且不超过三小时还车的概率分别为 1 2 ,1 4 ,两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元 的概率. 【解析】 甲、乙两人租车时间超过三小时且 不超过四小时的概率分别为1-14- 1 2= 1 4. 1-12- 1 4= 1 4. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2 元、4元三种情况.租车费都为0元的概率为 P1= 1 4× 1 2= 1 8 ,租车费都为2元的概率为 P2= 1 2× 1 4= 1 8 ,租车费都为4元的概率为 P3= 1 4× 1 4= 1 16. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为 P= P1+P2+P3= 5 16. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ,则 “ξ=4”表示“两人的租车费用之和为4元”,其 可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、 4元,②2元、2元,③4元、0元.所 以 可 得 P(ξ=4)= 1 4× 1 4+ 1 2× 1 4+ 1 4× 1 2= 5 16 ,即 甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概 率为5 16. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·04· |假日必刷题·数学| ◉高分秘籍 1.错误地把相互独立事件当成互斥事件来考 虑,将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A =“甲恰好命中2次”与B=“乙恰好命中2 次”的概率之和. 2.首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概 念,并且区分计算概率的公式.A,B 为互斥事 件时,有 概 率 公 式 为P(A∪B)=P(A)+ P(B),A,B 为独立事件时,有概率公式为 P (AB)=P(A)P(B). 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 相互独立事件的判断 1.(多选题)下列各对事件中,不是相互独立事 件的有 ( ) A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8 环” B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10 环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中 目标”与“甲、乙都没有射中目标” D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射 中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 2.甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A =“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,则 事件A 与事件B ( ) A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥 3.一袋中装有5个白球,3个黄球,在有放回地 摸球中,设A1=“第一次摸得白球”,A2=“第 二次摸得白球”,则事件A1与􀭿A2是 ( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 知识点2 利用概率判断互斥对立事件 4.下列命题: ①对立事件一定是互斥事件;②若A,B 为两 个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B) +P(C)=1;④若事件 A,B 满足P(A)+ P(B)=1,则A 与B 是对立事件. 其中正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(多选题)已知事件 A,B,且 P(A)=0.5, P(B)=0.2,则下列结论正确的是 ( ) A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB) =0.5, B.如果A 与B 互斥,那么P(A∪B)=0.7, P(AB)=0, C.如果A 与B 相互独立,那么P(A∪B)= 0.7,P(AB)=0 D.如果A 与B 相互独立,那么P(􀭿A􀭺B)=0.4, P(AB)=0.4, 知识点3 相互独立事件同时发生的概率 6.甲、乙两人参加歌唱比赛,晋级概率分别为45 和3 4 ,且两人是否晋级相互独立,则两人中恰 有一人晋级的概率为 ( ) A.1920 B. 3 5 C. 2 5 D. 7 20 7.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产 品成功的概率分别为2 3 和3 5. 现安排甲组研 发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组 的研发相互独立,则至少有一种新产品研发 成功的概率为 ( ) A.215 B. 2 5 C. 3 5 D. 13 15 8.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为 了准时起床,他用甲乙两个闹钟叫醒自己,假 设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时 响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一个准 时响的概率是 . 知识点4 相互独立事件概率的综合应用 9.一个电路如图所示,A,B, C,D,E,F 为6个开关,其 闭合的概率为1 2 ,且是相 互独立的,则灯亮的概率 是 ( ) A.164 B. 55 64 C. 1 8 D. 1 16 10.设 M,N 为两个随机事件,给出以下命题: (1)若 M,N 为互斥事件,且 P(M)=15 , P(N)=14 ,则P(M∪N)=920 ;(2)若P(M) =12 ,P(N)=13 ,P(MN)=16 ,则 M,N 为 相互独立事件;(3)若 P(􀮄M)=12 ,P(N)= 1 3 ,P(MN)=16 ,则 M,N 为相互独立事件; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·14· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| (4)若P(M)=12 ,P(􀭿N)=13 ,P(MN)=16 , 则 M,N 为相互独立事件;(5)若P(M)=12 , P(N)=13 ,P(􀮄M􀭿N)=56 ,则 M,N 为相互独 立事件.其中正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛,首先甲、乙 一组,丙、丁一组进行比赛,两组的胜者进入决 赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相 互比赛的胜率如下表所示,表中的数字表示所 在行选手击败其所在列选手的概率. 甲 乙 丙 丁 甲 — 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 — 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 — 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 — 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是 ( ) A.0.15 B.0.105 C.0.045 D.0.21 12.(多 空 题)事 件 A,B,C 相 互 独 立,如 果 P(AB)=16 ,P(􀭺BC)=18 ,P(AB􀭺C)=18 ,则 P(B)= ,P(􀭿AB)= . 13.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两 种考试方案. 方案一:考三门课程,至少有两门及格为考 试通过. 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两 门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的 概率分别为0.5,0.6,0.9,且三门课程考试 是否及格相互之间没有影响.求: (1)该应聘者用方案一考试通过的概率; (2)该应聘者用方案二考试通过的概率. 14.为普及亚运会知识,某学校组织亚运会知识 竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须 参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出, 则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选 手甲、乙胜出的概率分别为3 5 ,3 4 ;在第二轮 比赛中,甲、乙胜出的概率分别为2 3 ,2 5. 甲、 乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁 参赛赢得比赛的概率更大? (2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少 有一人赢得比赛的概率. 1.(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加 体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游 泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游 泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生 数占该校学生总数的比例是 ( ) A.62% B.56% C.46% D.42% 2.(2023·天津卷)把若干个黑球和白球(这些 球除颜色外无其它差异)放进三个空箱子中, 三个箱子中的球数之比为5∶4∶6.且其中的 黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个 箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球 的概率为 ;若把所有球放在一起,随 机摸出一球,则该球是白球的概率为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·24· |假日必刷题·数学|