必刷题十六 随机事件与概率-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

必刷题十六 随机事件与概率 较复杂的古典概型的概率计算 解古典概型问题时,要牢牢抓住它的两个特 点和其计算公式.但是这类问题的解法多样,技巧 性强,在解决此类题时需要注意以下两个问题: (1)试 验 必 须 具 有 古 典 概 型 的 两 大 特 征———有限性和等可能性. (2)计算基本事件的数目时,须做到不重不 漏,常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基 本事件. 【例】 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道 不同的题目,其中3道选择题,2道填空题, 甲、乙两人依次抽取1道题.求甲抽到选择 题、乙抽到填空题的概率. 【解】 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙 抽到填空题的可能结果有6个,而甲、乙两人依 次抽取1道题的可能结果有20个,所以甲抽到 选择题、乙抽到填空题的概率为6 20= 3 10. ◉高分秘籍 1.忽略甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关 是解题中常见的错误,甲从5道题中任抽1 道题有5种方法,乙从剩下的4道题中任抽1 道题有4种方法,所以基本事件总数应为20. 2.在计算基本事件的总数时,若分不清“有序” 和“无序”,将会出现“重算”或“漏算”的错误. 突破这一思维障碍的方法是交换次序,看是 否对结果造成影响,有影响是“有序”,无影响 是“无序”. ◉速记口诀 本节课通过对具体事例,帮助学生建立随机实验的 概念,并通过对随机实验结果的数量表示,建立样 本空间的概念,为概率的学习打好基础。教学中要 注重学生的主体地位,调动学生积极性,使数学教 学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想 象、逻辑推理、数学建模的核心素养. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 有限样本空间与随机事件 1.下列事件是必然事件的是 ( ) A.连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面 向上 B.异性电荷相互吸引 C.在标准大气压下,水在1℃时结冰 D.任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数 2.一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别 写在前边,第二个孩子的性别写在后边,则所 有的样本点有 ( ) A.(男,女),(男,男),(女,女) B.(男,女),(女,男) C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女) D.(男,男),(女,女) 3.(多空题)下面给出四个事件: ①某地2月3日将下雪;②函数y=ax(a>0 且a≠1)在定义域上是增函数;③实数a,b都 不为零,则a2+b2=0;④a,b∈R,则ab=ba. 其中必然事件是 ,不可能事件是 ,随机事件是 .(填序号) 知识点2 事件的关系和运算 4.打靶3次,事件Ai=“击中i发”,其中i=0, 1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示 ( ) A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发 D.全部未击中 5.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件 是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给 出以下四个事件: 事件A:恰有一件次品;事件B:至少有两件次 品;事件C:至少有一件次品;事件D:至多有 一件次品. 并给出以下结论: ①A∪B=C;②B∪D是必然事件;③A∩B=C; ④A∩D=C. 其中正确结论的序号是 ( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②③ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·83· |假日必刷题·数学| 知识点3 互斥事件、对立事件的判定 6.袋内分别有红、白、黑球3,2,1个,从中任取2 个,则互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有一个白球;都是白球 B.至少有一个白球;至少有一个红球 C.恰有一个白球;一个白球一个黑球 D.至少有一个白球;红、黑球各一个 7.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一 次中靶”的互斥事件是 ( ) A.两次都不中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.至多有一次中靶 8.如果事件A,B 互斥,记A,B分别为事件A,B 的对立事件,那么 ( ) A.A∪B是必然事件 B.A∪B是必然事件 C.A与B一定互斥 D.A与B一定不互斥 知识点4 古典概型的判断 9.下列试验中,是古典概型的为 ( ) A.种下一粒花生,观察它是否发芽 B.某射手射击一次,可能命中10环,9环,…, 1环,0环 C.从1,2,3,4中任取两个数,求所取两数之 一是2的概率 D.从所有整数中任取一个,求所取的数是正 整数的概率 10.下列是古典概型的是 ( ) A.任意掷两枚骰子,所得点数之和作为基本 事件时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1 的概率,将去除的正整数作为基本事件时 C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选 中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 知识点5 古典概型的概率计算 11.设O为正方形ABCD 的中心,在O,A,B,C, D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为 ( ) A.15 B. 2 5 C. 1 2 D. 4 5 12.在国庆阅兵中,某兵种A,B,C 三个方阵按 一定次序通过主席台,若先后次序是随机排 定的,则B先于A,C通过的概率为 ( ) A.16 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 13.(多空题)同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各 个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6),则朝上的 一面数字相同的概率为 ,朝上的一面 数字之积为偶数的概率为 . 知识点6 概率的基本性质 14.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为 1 6. 事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事 件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验 中,事件A+B发生的概率为 ( ) A.13 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 15.国 际 羽 联 规 定,标 准 羽 毛 球 的 质 量 应 在 [4.74,5.50]内(单位:克).现从一批羽毛球 产品中任取一个,已知其质量小于4.74的 概率为0.1,质量大于5.50的概率为0.2,则 其质量符合规定标准的概率是 ( ) A.0.3 B.0.7 C.0.8 D.0.9 16.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞 机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率; (3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请 问他有可能乘哪种交通工具去? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·93· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 17.幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小 凳子布置联欢会的会场,每排三个小凳子, 并且任何两排不能完全相同.求: (1)假设所需的小凳子足够多,那么,根据要 求一共能布置多少排小凳子; (2)每排的小凳子颜色都相同的概率; (3)每排的小凳子颜色都不同的概率. (2023·全国乙卷(文))某学校举办作文比 赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取 一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽 到不同主题概率为 ( ) A.56 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十七 事件的独立性 混淆互斥事件和独立事件的概念 解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率) 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立 事件的意义,若A,B 相互独立,则􀭿A 与B,A 与 􀭺B,􀭿A 与􀭺B 也是相互独立的,代入相互独立事件 的概率公式求解. 【例】 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑 游的人越来越多.某自行车租车点的收费标 准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收费2元(不足一 小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人来 该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙 不超过两小时还车的概率分别为1 4 ,1 2 ,两小 时以上且不超过三小时还车的概率分别为 1 2 ,1 4 ,两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元 的概率. 【解析】 甲、乙两人租车时间超过三小时且 不超过四小时的概率分别为1-14- 1 2= 1 4. 1-12- 1 4= 1 4. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2 元、4元三种情况.租车费都为0元的概率为 P1= 1 4× 1 2= 1 8 ,租车费都为2元的概率为 P2= 1 2× 1 4= 1 8 ,租车费都为4元的概率为 P3= 1 4× 1 4= 1 16. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为 P= P1+P2+P3= 5 16. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ,则 “ξ=4”表示“两人的租车费用之和为4元”,其 可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、 4元,②2元、2元,③4元、0元.所 以 可 得 P(ξ=4)= 1 4× 1 4+ 1 2× 1 4+ 1 4× 1 2= 5 16 ,即 甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概 率为5 16. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·04· |假日必刷题·数学| s21= 1 10 [(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10. 0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2 +(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+ (9.7-10.0)2]=0.036, s22= 1 10 [(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+ (10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6- 10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2] =0.04; (2)由(1)中的数据可得􀭵y-􀭺x=10.3-10.0=0.3, 2 s21+s22 10 =2 0.036+0.04 10 =2 0.0076 , 则0.3= 0.09>2 0.0076= 0.0304,所以可判断 新设备生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显 著 提高. 19.解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知, 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值 为40 100=0.4 ; 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值 为28 100=0.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数 分布表为 利润 65 25 -5 -75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 65×40+25×20-5×20-75×20 100 =15. 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分 布表为 利润 70 30 0 -70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 70×28+30×17+0×34-70×21 100 =10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂 承接加工业务. 【刷高考题】 C 对于A,因为前3组的频率之和0.06+0.12+0.18 =0.36<0.5,前4组的频率之和0.36+0.30=0.66> 0.5,所以100块 稻 田 亩 产 量 的 中 位 数 所 在 的 区 间 为 [1050,1100),故A不正确;对于B,100块稻田中亩产 量低于1100kg的 稻 田 所 占 比 例 为6+12+18+30100 × 100%=66%,故B不正确;对于C,因为1200-900= 300,1150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差介 于200kg至300kg之间,故C正确;对于D,100块稻田 亩产量的平均值为 1 100× (925×6+975×12+1025×18 +1075×30+1125×24+1175×10)=1067(kg),故D 不正确.综上所述,故选C. 必刷题十六 随机事件与概率 【刷基础题】 1.B 四个选项都是随机事件,根据定义只有B选项是一 定会发生的,是必然事件.故选:B. 2.C 由题知所有的样本点是(男,男),(男,女),(女,男), (女,女).故选:C. 3.解析 ①随机事件,某地在2月3日可能下雪,也可能不 下雪; ②随机事件,函数y=ax,当a>1时在定义域上是增函 数,当0<a<1时在定义域上是减函数; ③不可能事件; ④必然事件,若a,b∈R,则ab=ba恒成立. 答案 ④ ③ ①② 4.B A1∪A2∪A3 表示的是A1,A2,A3 这三个事件中至 少有一个发生, 即可能击中1发、2发或3发.故选:B. 5.A 事件A∪B:至少有一件次品,即事件C,所以①正 确;事件A∩B=⌀,③不正确; 事件B∪D:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了 所有情况,所以②正确; 事件A∩D:恰有一件次品,即事件A,所以④不正确. 故选:A. 6.D 对于A,“至少有一个白球”说明有白球,白球的个数 可能为1或2,而“都是白球”说明两个全是白球,这两个 事件可以同时发生,故A不是互斥的; 对于B,当两球一个白球一个红球时,“至少有一个白球” 与“至少有一个红球”均发生,故不互斥; 对于C,“恰有一个白球”,表示黑球个数为0或1,这与 “一个白球一个黑球”不互斥; 对于D,“至少一个白球”发生时,“红、黑球各一个”不会 发生,故互斥,但不对立,故选:D. 7.A 对A,“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能 同时发生,故A正确. 对B,“至少有一次中靶”包含“两次都中靶”的情况.故B 错误. 对C,“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”的情况. 故C错误. 对D,“至少有一次中靶”和“至多有一次中靶”均包含 “一次中靶”的情况.故D错误. 故选:A. 8.B 用集合的 Venn图解决此类问题较为直观,如图所 示,A∪B是必然事件. 故选:B. 9.C A中试验的样本点有两个,但这两个样本点出现的 可能性不一定相等,所以不是古典概型;B中试验的样本 点有11种,但每个样本点出现的可能性不相等,所以不 是古典概型;D中试验出现的样本点有无数多个,所以不 是古典概型. 10.C A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不 是;B项中的基本事件是无限的,故B不是;C项满足古 典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件 可能会无限个,故D不是. 11.A 根据题意作出图形,如图所示,在 O,A,B,C,D 中任取3点,有10种可 能 情 况,分 别 为 (OAB),(OAC), (OAD),(OBC),(OBD),(OCD), (ABC),(ABD),(ACD),(BCD),其中 取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2 种可能情况,所以在O,A,B,C,D 中任取3点,则取到 的3点共线的概率为210= 1 5 ,故选A. 12.B 用(A,B,C)表示A,B,C 通过主席台的次序,则所 有可能的次序有(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C, A),(C,A,B),(C,B,A),共6种,其中B 先于A,C 通 过的有(B,C,A)和(B,A,C),共2种,故所求概率 为 2 6= 1 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·17· |参考答案| 13.解析 试验的样本空间={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2, 6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5, 3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6)},共有36个样本点.“朝上的一面数字相 同”的样本点有6个:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5, 5),(6,6),则概率为16. “朝上一面数字之积不为偶数” 的结果有9个:(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3, 5),(5,1),(5,3),(5,5).故“朝上一面数字之积为偶数” 的概率为1-936= 3 4. 答案 16 3 4 14.C 由题意可知B表示“大于或等于5的点数出现”,事 件A 与事件B互斥.由概率的加法公式可得P(A+B)= P(A)+P(B)=26+ 2 6= 4 6= 2 3. 15.B 因为事件“羽毛球的质量在[4.74,5.50]内”(质量 符合规定标准)的对立事件为“质量小于4.74或质量大 于5.50”,而“质量小于4.74”和“质量大于5.50”互斥, 所以由互斥事件概率公式和对立事件概率公式可得质 量符合规定标准的概率为1-(0.1+0.2)=0.7. 【刷综合题】 16.解 (1)记“他乘火车去”为事件A,“他乘轮船去”为事 件B,“他乘汽车去”为事件C,“他乘飞机去”为事件D. 这四个事件两两不可能同时发生,故它们彼此互斥. 所以P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不 乘 轮 船 去 的 概 率 为 P(B),则 P(B)=1- P(B)=1-0.2=0.8, 所以,他不乘轮船去的概率为0.8. (3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5, P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5, 故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞 机去. 17.解 (1)试 验 的 样 本 空 间 共 有27个 样 本 点,如 下 表 所示: 红 红 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 蓝 红 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 黄 红 红 黄 蓝 黄 红 黄 蓝 蓝 红 黄 蓝 所以一共能布置27排小凳子. (2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A,由上表可 知,事件 A 的 样 本 点 有1×3=3个,故 P(A)= 327 =19. (3)设“每排的小凳子颜色都不同”为事件B,由上表可 知,事件B 的样本点有2×3=6个,故P(B)=627= 2 9. 【刷高考题】 A 用1,2,3,4,5,6表示6个主题,甲、乙二人每人抽取 1个主题的所有结果如下表: 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 共有36个不同结果,它们等可能,其中甲、乙抽到相同结 果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个, 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个, 概率P=3036= 5 6. 故选:A. 必刷题十七 事件的独立性 【刷基础题】 1.ACD 在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环” 两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在 B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙 射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C 中,甲,乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都 没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件,不独 立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中 目标但乙未射中目标”为 事 件 B,则 AB=B,因 此 当 P (A)≠1时,P(AB)≠P(A)·P(B),故A、B 不独立,故 选:ACD. 2.A 对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不 影响的,所以事件 A与B相互独立;对同一目标射击, 甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件 A与B 可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A. 3.A 由题意知A2=“第 二 次 摸 到 的 不 是 白 球”,即A2= “第二次摸到的是黄球”,由于采用有放回地摸球,故每 次是否摸到黄球或白球互不影响,故事件A1 与A2 是相 互独立事件. 4.A 由题意①中,根据对立事件与互斥事件的关系,可得 是正确;②中,当A 与B 是互斥事件时,才有P(A∪B)= P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B 满足P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB),所以是不正确的;③也不正确. P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,还可能小于1;④也 不正确.例如:袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球,从 袋中任摸一个球,设事件A={摸到红球或黄球},事件B ={摸到黄球或黑球},显然事件A 与B 不互斥,但P(A) +P(B)=12+ 1 2=1. 5.BD A选项:如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.5,P(AB) =0.2,故A选项错误; B选项:如果A 与B 互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB) =0,故B选项正确; C选项:如果 A 与B 相互独立,那么 P(A∪B)=0.7, P(AB)=0.1,故C选项错误; D选项:如果A 与B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)· P(B)=0.4, P(AB)=P(A)·P(B)=0.4,故D选项正确. 故选:BD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·27· |假日必刷题·数学|