必刷题十四 随机抽样-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

(2)若E为BC 边的中点,能否在棱PC上找 到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD? 并证 明你的结论. (2024·全国甲卷(理))设α、β为两个平面, m、n为两条直线,且α∩β=m.下列四个命题: ①若m∥n,则n∥α或n∥β ②若m⊥n,则 n⊥α或n⊥β ③若n∥α且n∥β,则m∥n ④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n 其中所有真命题的编号是 ( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十四 随机抽样 随机抽样中忽略抽样的公平性致错 分层随机抽样的一个很重要的特点是每个 个体被抽到的机会是相等的.当按照比例计算 出的值不是整数时,一般采用四舍五入的方法 取值.若四舍五入后得到的样本量与要求的不 尽相同,则可根据问题的实际意义适当处理,使 之相同,这只是细节性问题,并未改变分层随机 抽样的本质. 【例】 为了解某地区的中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中 三个学段学生的视力情况有较大差异,且男 女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法 中,最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.随机数法抽样 【解析】 依 据 题 意,了 解 到 该 地 区 小 学、初 中、高中三个学段学生的视力情况有较大差 异,且男女生视力情况差异不大,故要了解该 地区学生的视力情况,应按学段分层随机抽 样.故选C. 【答案】 C ◉高分秘籍 (1)进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的 两个关系 ① 样本量n 总体的个数N= 该层抽取的个体数 该层的个体数 ; ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两 层抽取的个体数之比. (2)样本的平均数和各层的样本平均数的关 系为: w= mm+nx+ n m+ny= M M+Nx+ N M+Ny. ◉速记口诀 1.使用分层抽样的前提:分层随机抽样的总体 按一个或多个变量划分成若干个子总体,并 且每一个个体属于且仅属于一个子总体,而 层内个体间差异较小. 2.使用分层随机抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层 要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重 复、不遗漏的原则; (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽 取,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层 样本量与每层个体数量的比等于抽样比. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·13· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 知识点1 简单随机抽样的概念理解 1.下列抽样的方式是否属于简单随机抽样? (1)从无限多个个体中抽取100个个体作为 样本. (2)某班45名同学,指定个子最高的5名同学 参加学校组织的某项活动. (3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量 检查. 2.下列抽样方法是简单随机抽样的为 ( ) A.在某年明信片销售活动中,规定每100万 张为一个开奖组,通过随机抽取的方法确 定号码的后四位是2709的为三等奖 B.某车间包装一种产品,在自动包装传送带 上,每隔30分钟抽一包产品,称其质量是 否合格 C.从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2 台,进行质量检验,假设8台电脑已编好 号,对编号随机抽取 D.从20个零件中一次性抽出3个进行质量 检查 3.下列问题中,最适合用简单随机抽样方法抽 样的是 ( ) A.某县从该县中、小学生中抽取200人调查 他们的视力情况 B.从15种疫苗中抽取5种检测是否合格 C.某大学共有学生5600人,其中专科生有 1300人、本科生3000人、研究生1300 人,现抽取样本量为280的样本调查学生 利用因特网查找学习资料的情况, D.某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众 中的熟知度,要对15~75岁的人群进行随 机抽样调查 知识点2 抽签法 4.某老师为了解某班50个同学在假期中学习、 休息等情况,决定将某班学生编号为01,02, …,50.利用下面的随机数表选取10个学生 调查,选取方法是从下面随机数表的第1行 的第2列和第3列数字开始由左到右依次选 取两个数字,则选出来的第4个学生的编号 为 ( ) 725608130258324987024812 97280198 310492314935820936244869 69387481 A.25 B.24 C.29 D.19 5.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进 行抽样测试,先将700个零件进行编号,001, 002,…,699,700,从中抽取70个样本,下图 提供随机数表的第4行到第6行,若从表中 第5行第6列开始向右读取数据,则得到的 第8个样本编号是 ( ) 3221183429 7864540732 52420644 38 1223435677 3578905642 8442125331 3457860736 25300732 86 2345788907 2368960804 3256780843 6789535577 34899483 75 2253557832 4577892345 A.623 B.368 C.253 D.072 6.在对101个人进行一次抽样时,先采用抽签 法从中剔除一个人,再在剩余的100中随机 抽取10人,那么下列说法正确的是 ( ) A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平 的,因为他们失去了被抽到的机会 B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均 等,因为每个人被剔除的可能性相等,那 么,不被剔除的机会也是均等的 C.由于采用了两步进行抽样,所以无法判断 每个人被抽到的可能性是多少 D.每个人被抽到的可能性不相等 知识点3 分层抽样 7.某学校有高中学生1000人,其中高一年级、 高二年级、高三年级的人数分别为320,300, 380,为调查学生参加“社区志愿服务”的意 向,现采用样本量比例分配的分层随机抽样 的方法从中抽取一个样本量为200的样本, 那么应抽取高二年级学生的人数为 ( ) A.60 B.64 C.76 D.136 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·23· |假日必刷题·数学| 8.某工厂有男员工56人,女员工42人,用分层 抽样的方法,从全体员工中抽出一个容量为 28的样本进行工作效率调查,其中男员工应 抽的人数为 ( ) A.16 B.14 C.28 D.12 9.某村有旱地与水田若干公顷,现在需要估计 平均产量.用按5%分层抽样的方法抽取15 公顷旱地和45公顷水田进行调查,则这个村 的旱地与水田的公顷数分别为 ( ) A.150,450 B.300,900 C.660,600 D.75,225 10.(1)某公司生产三种型号的轿车,产量分别 是1200辆,6000辆和2000辆,为检验该公 司的产品质量,现用分层随机抽样的方法抽取 46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 辆、 辆、 辆. (2)在本例(2)中,若A,B,C 三层的样本的 平均数分别为15,30,20,则样本的平均数为 . 11.为了了解高一(10)班53名同学的牙齿健康 状况,需从中抽取10名同学做医学检验,现 已对53名同学编号为00,01,02,…,50,51, 52.从下面所给的利用随机数工具产生的随 机数表的第1行第3列的5开始从左向右读 下去,则选取的号码依次为多少? 随机数表如下: 0154 3287 6595 4287 5346 7953 2586 5741 3369 8324 4597 7386 5244 3578 6241 12.为了对某课题进行讨论研究,用样本量比例 分配的分层随机抽样的方法从三所高校A, B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小 组,有关数据(单位:人)见下表: 高校 相关人数 抽取人数 A x 1 B 36 y C 54 3 (1)求x,y; (2)若从高校B相关人员中选2人做专题发 言,应采用什么抽样法? 请写出合理的抽样 过程. (经典高考题)近年来,很多学生因为手机的 缘故其视力受到了很大的伤害,中小学生的 近视率也呈明显的上升趋势,某区为了了解 中小学生的视力健康状况,决定从城区的几 所学校随机抽取一个样本进行调查,已知这 几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比 为5∶6∶7,现用分层抽样的方法抽取一个样 本容量为的样本,样本中初中生的人数比小 学生人数多50,则 ( ) A.250 B.300 C.800 D.900 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·33· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 则EM⊥AG,CM⊥AG, 所以∠EMC为所求二面角的平面角. 又因为AM=1,所以EM=CM= 13-1=2 3. 在△BEC中,由于∠EBC=120°, 由余弦定理得 EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12, 所以EC=2 3,因此△EMC为等边三角形, 故所求的角为60°. 14.解 (1)证明:设G 为AD 的中点,连接PG,BG,如图. ∵△PAD 为正三角形, ∴PG⊥AD. 在菱形ABCD 中, ∠DAB=60°,G 为AD 的中 点, ∴BG⊥AD. 又BG∩PG=G, ∴AD⊥平面PGB. ∵PB⊂平面PGB,∴AD⊥PB. (2)当F 为PC 的中点时, 满足平面DEF⊥平面ABCD. 设F 为PC 的中点, 连接GC交DE 于H,连接FH. ∵GB∥DE,且E 为BC 中点, ∴H 为GC 中点. ∴FH∥PG. 由(1)知PG⊥平面ABCD,∴FH⊥平面ABCD. ∵FH⊂平面DEF, ∴平面DEF⊥平面ABCD. 【刷高考题】 A α∩β=m,则 m⊂α,m⊂β,对于①,若 m∥n,则n∥α 或n∥β,①正确;对于②,若m⊥n,则可能n∥α或n 与α 相交,②错误;对于③,若n∥α且n∥β,则n∥m,③正确; 对于④,n与m 所成角可以为 0,π2 内的任意角,④错 误.故选A. 必刷题十四 随机抽样 【刷基础题】 1.解 (1)不是简单随机抽样,由于被抽取样本的总体的 个体数是无限的,而不是有限的. (2)不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学, 是在45名同 学 中 特 指 的,不 存 在 随 机 性,不 是 等 可 能 抽样. (3)不是简单随机抽样,这是“一次性”抽取不是“逐个” 抽取. 2.C 根据简单随机抽样的特点,可知A不符合等可能性, 即每个个体被抽到的机会相等.B传送带上产品的数量 不确定.D中的“一次性随机抽出3个”不是“逐个不放回 地随机抽取3个”. 3.B A.中学,小学生有群体差异,宜采用分层抽样; B.样本数量较少,宜采用简单随机抽样; C.中专科生、本科生、研究生有群体差异,宜采用 分 层 抽样; D.年龄对于移动支付的了解有较大影响,宜采用分层抽 样;故选:B. 4.C 从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字, 依次取出的编号为:25,30,24,29, 故选出来的第4个学生的编号为29.故选:C. 5.B 从表中第5行第6列开始向右读取数据,依次得到 253,313,457,860(舍),736(舍),253(舍),007,328,623, 457(舍),889(舍),072,368由此可得出第8个样本编号 是368,故选:B 6.B 由于第一次剔除时采用抽签法,对每个人来说可能 性相等,然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等 的,所以总的来说每个人的机会都是均等的,被抽到的 可能性都是相等的.故选:B. 7.A 根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为2001000 =15 , 高二年级抽取的人数是300×15=60 人,故选:A. 8.A 男员工所占的比例为 565+42= 4 7 ,故男员工应抽的 人数为28×47=16 ,故选:A. 9.B 用按5%比例分层抽样的方法抽取了15公顷旱地、 45公顷水田进行调查, ∴旱地的公顷数= 150.05=300 , 水田的公顷数= 450.05=900 , 故答案选:B. 10.解析 (1)三种型号的轿车共9200辆,抽取样本量为 46辆,则按 469200= 1 200 的比例抽样,所 以 依 次 应 抽 取 1200× 1200=6 (辆),6000× 1200=30 (辆),2000× 1200 =10(辆). (2)由题 意 可 知 样 本 的 平 均 数 为w= 55+3+2×15+ 3 5+3+2×30+ 2 5+3+2×20=20.5. 答案 (1)6 30 10 (2)20.5 【刷综合题】 11.解 从数5开始从左向右读下去,两位两位地读,把在 00~52范围内且前面没出现过的数记下,否则跳过,直 到取满10人为止.如下表: 0154 3287 6595 4287 5346 7953 2586 5741 3369 8324 4597 7386 5244 3578 6241 选取的号码依次为32,42,46,25,41,33,24,45,52,44. 12.解 (1)比例分配的分层随机抽样是按各层样本量与 层的大小成比例进行的,所以有:1 x = 3 54⇒x=18 ,y 36 =354⇒y=2 ,故x=18,y=2. (2)总体和样本量较小,所以应采用抽签法,过程如下: 第一步,将36人随机编号,号码为1,2,3,…,36; 第二步,将所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片 上作为号签; 第三步,将这 些 小 纸 片 放 在 一 个 不 透 明 的 盒 里,充 分 搅拌; 第四步,从盒中不放回地逐个抽取2个号签,并记录上 面的编号; 第五步,把与号签上的编号对应的人员抽出,即可得到 所要的样本. 【刷高考题】 D 因为小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7,用 分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本,所以小学 生抽取5 18n 人、初中生抽取6 18n 人、高中生抽取7 18n 人; 依题意可得6 18n- 5 18n=50 ,解得n=900,故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·96· |参考答案|