必刷题十三 空间直线、平面的垂直-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

11.证明 如图,取D1D 的中点G,连接EG,GC, ∵E 是A1A 的 中 点,G 是D1D 的中点, ∴EG􀱀AD. 由正方体性质知AD􀱀BC, ∴EG􀱀BC, ∴ 四 边 形 EGCB 是 平 行 四 边形, ∴EB􀱀GC.① 又∵G,F 分别是D1D,C1C的中点,∴D1G􀱀FC, ∴四边形D1GCF 为平行四边形,∴D1F􀱀GC.② 由①②得EB􀱀D1F, ∴四边形BED1F 是平行四边形. 【刷高考题】 C 对于A,B,若 m∥α,n∥α,则 m 与n 可能平行、相交 或异面,故A,B错误;对于C,D,若 m∥α,n⊥α,则 m⊥ n,且m 与n 可能相交,也可能异面,故C正确,D错误. 必刷题十三 空间直线、平面的垂直 【刷基础题】 1.C 如图,连接AC.因为ABCD 是 菱形,所以 BD⊥AC.又 MC⊥平 面ABCD,则BD⊥MC. 因为AC∩MC=C,所以BD⊥平 面AMC.又 MA⊂平 面 AMC,所 以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直 线BD 不共面,因此直线 MA 与BD 的位置关系是垂直 但不相交. 2.D 如图,连接AC,∵E,F,G, H 分别为各边的中点, ∴EF∥AC,GH∥AC, EH∥BD, FG∥BD,EF=GH=12AC , EH=FG=12BD. ∴四边形EFGH 是平行四边形, ∵AC⊥BD,且AC=BD, ∴EF⊥FG,且EF=FG, ∴四边形EFGH 是正方形. 3.C 如图,连接AD1, 则AD1∥BC1. ∴∠CAD1(或 其 补 角)就 是 AC 与 BC1 所成的角,连接CD1,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC=AD1 =CD1, ∴∠CAD1=60°. 即AC与BC1 所成的角为60°. 4.解析 因为 AA1∥DD1,所以∠DD1B(或其补角)即为 异面直线BD1 与AA1 所成的角,连接BD,在Rt△D1DB 中,sin∠DD1B= DB BD1 =2 2 2 6 = 33. 故异面直线BD1 与 AA1 所成角的正弦值是 3 3. 因为 AD∥BC,所以∠D1BC 即 为 异面直线BD1 与AD 所成的角(或 其补角), 连接D1C,在△D1BC中,因为正四 棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面边 长为2,高为4, 所以 D1B=2 6,BC=2,D1C= 2 5,D1B2=BC2+D1C2, 所 以 ∠D1CB = 90°,所 以 sin ∠D1BC= D1C D1B =2 5 2 6 = 306 , 故异面直线BD1 与AD 所成角的正弦值是 30 6 . 答案 33 30 6 5.D ∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1, ∴AD1⊥平面A1DB1. 6.AB 由性质定理可得A,B正确. 7.解析 因为PC⊥平面 ABC,所以PC 垂直于直线AB, BC,AC.因为AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,所以AB ⊥平面PAC,又因为AP⊂平面PAC,所以AB⊥AP,与 AP 垂直的直线是AB. 答案 AB,BC,AC AB 8.C 由已知BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD 中,∠BDC =60°,而 AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC 是二面角B- AD-C的平面角,其大小为60°. 9.ABD 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 知,平 面 PAB⊥平 面 PAD,平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PCD⊥平面 PAD, A,B,D正确. 10.解析 ∵BD⊥CD,平面A'BD⊥平面BCD, 平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD, ∴CD⊥平面A'BD,又A'D⊂平面A'BD, ∴CD⊥A'D. ∵AB=AD=CD=1,BD= 2, ∴A'C= 2,BC= 3,∴A'B2+A'C2=BC2, ∴A'B⊥A'C,即∠BA'C=90°, 四面体A'BCD 的体积V=13× 1 2×1 2×1=16. 答案 ②③ 11.ABD 如图所示,∵BC∥DF,BC⊄平面PDF, DF⊂ 平 面 PDF,∴BC∥ 平 面 PDF,∴A正确;由BC⊥PE,BC ⊥AE,PE∩AE=E,得 BC⊥平 面PAE,∴DF⊥平面 PAE,∴B 正确; ∴平面 ABC⊥平 面 PAE(BC⊥ 平面PAE),∴D正确. 12.解析 由l∥β可在平面β内作l'∥l,又l⊥α,∴l'⊥α, ∵l'⊂β,∴α⊥β,故①②⇒③. 答案 ①②⇒③(答案不唯一) 【刷综合题】 13.解 (1)因为AP⊥BE,AB⊥BE, AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A, 所以BE⊥平面ABP, 又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP, 又∠EBC=120°, 因此∠CBP=30°. (2)如 图,取CE︵的 中 点 H,连 接 EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°, 所以四边形BEHC为菱形, 所以AE=GE=AC=GC = 32+22 = 13. 取 AG 中 点 M,连 接 EM, CM,EC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·86· |假日必刷题·数学| 则EM⊥AG,CM⊥AG, 所以∠EMC为所求二面角的平面角. 又因为AM=1,所以EM=CM= 13-1=2 3. 在△BEC中,由于∠EBC=120°, 由余弦定理得 EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12, 所以EC=2 3,因此△EMC为等边三角形, 故所求的角为60°. 14.解 (1)证明:设G 为AD 的中点,连接PG,BG,如图. ∵△PAD 为正三角形, ∴PG⊥AD. 在菱形ABCD 中, ∠DAB=60°,G 为AD 的中 点, ∴BG⊥AD. 又BG∩PG=G, ∴AD⊥平面PGB. ∵PB⊂平面PGB,∴AD⊥PB. (2)当F 为PC 的中点时, 满足平面DEF⊥平面ABCD. 设F 为PC 的中点, 连接GC交DE 于H,连接FH. ∵GB∥DE,且E 为BC 中点, ∴H 为GC 中点. ∴FH∥PG. 由(1)知PG⊥平面ABCD,∴FH⊥平面ABCD. ∵FH⊂平面DEF, ∴平面DEF⊥平面ABCD. 【刷高考题】 A α∩β=m,则 m⊂α,m⊂β,对于①,若 m∥n,则n∥α 或n∥β,①正确;对于②,若m⊥n,则可能n∥α或n 与α 相交,②错误;对于③,若n∥α且n∥β,则n∥m,③正确; 对于④,n与m 所成角可以为 0,π2 内的任意角,④错 误.故选A. 必刷题十四 随机抽样 【刷基础题】 1.解 (1)不是简单随机抽样,由于被抽取样本的总体的 个体数是无限的,而不是有限的. (2)不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学, 是在45名同 学 中 特 指 的,不 存 在 随 机 性,不 是 等 可 能 抽样. (3)不是简单随机抽样,这是“一次性”抽取不是“逐个” 抽取. 2.C 根据简单随机抽样的特点,可知A不符合等可能性, 即每个个体被抽到的机会相等.B传送带上产品的数量 不确定.D中的“一次性随机抽出3个”不是“逐个不放回 地随机抽取3个”. 3.B A.中学,小学生有群体差异,宜采用分层抽样; B.样本数量较少,宜采用简单随机抽样; C.中专科生、本科生、研究生有群体差异,宜采用 分 层 抽样; D.年龄对于移动支付的了解有较大影响,宜采用分层抽 样;故选:B. 4.C 从下面随机数表的第1行的第2列和第3列数字, 依次取出的编号为:25,30,24,29, 故选出来的第4个学生的编号为29.故选:C. 5.B 从表中第5行第6列开始向右读取数据,依次得到 253,313,457,860(舍),736(舍),253(舍),007,328,623, 457(舍),889(舍),072,368由此可得出第8个样本编号 是368,故选:B 6.B 由于第一次剔除时采用抽签法,对每个人来说可能 性相等,然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等 的,所以总的来说每个人的机会都是均等的,被抽到的 可能性都是相等的.故选:B. 7.A 根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为2001000 =15 , 高二年级抽取的人数是300×15=60 人,故选:A. 8.A 男员工所占的比例为 565+42= 4 7 ,故男员工应抽的 人数为28×47=16 ,故选:A. 9.B 用按5%比例分层抽样的方法抽取了15公顷旱地、 45公顷水田进行调查, ∴旱地的公顷数= 150.05=300 , 水田的公顷数= 450.05=900 , 故答案选:B. 10.解析 (1)三种型号的轿车共9200辆,抽取样本量为 46辆,则按 469200= 1 200 的比例抽样,所 以 依 次 应 抽 取 1200× 1200=6 (辆),6000× 1200=30 (辆),2000× 1200 =10(辆). (2)由题 意 可 知 样 本 的 平 均 数 为w= 55+3+2×15+ 3 5+3+2×30+ 2 5+3+2×20=20.5. 答案 (1)6 30 10 (2)20.5 【刷综合题】 11.解 从数5开始从左向右读下去,两位两位地读,把在 00~52范围内且前面没出现过的数记下,否则跳过,直 到取满10人为止.如下表: 0154 3287 6595 4287 5346 7953 2586 5741 3369 8324 4597 7386 5244 3578 6241 选取的号码依次为32,42,46,25,41,33,24,45,52,44. 12.解 (1)比例分配的分层随机抽样是按各层样本量与 层的大小成比例进行的,所以有:1 x = 3 54⇒x=18 ,y 36 =354⇒y=2 ,故x=18,y=2. (2)总体和样本量较小,所以应采用抽签法,过程如下: 第一步,将36人随机编号,号码为1,2,3,…,36; 第二步,将所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片 上作为号签; 第三步,将这 些 小 纸 片 放 在 一 个 不 透 明 的 盒 里,充 分 搅拌; 第四步,从盒中不放回地逐个抽取2个号签,并记录上 面的编号; 第五步,把与号签上的编号对应的人员抽出,即可得到 所要的样本. 【刷高考题】 D 因为小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7,用 分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本,所以小学 生抽取5 18n 人、初中生抽取6 18n 人、高中生抽取7 18n 人; 依题意可得6 18n- 5 18n=50 ,解得n=900,故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·96· |参考答案| 10.如图所示,已知异 面 直 线 AB,CD 都平行于平面α, 且AB,CD 在α 的两侧,若 AC,BD 分 别 与α 相 交 于 M,N 两 点,求 证:AMMC =BNND. 11.如图所示,已知 E,F 分 别 是 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的 棱 AA1, CC1 的中点.求证:四边 形 BED1F 是 平 行 四 边形. (2024·天津卷)若 m,n为两条直线,α为一 个平面,则下列结论中正确的是 ( ) A.若m∥α,n∥α,则m⊥n B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m∥α,n⊥α,则m 与n相交 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十三 空间直线、平面的垂直 直观想象———立体几何中的动态问题 1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知 事物的形态与变化,利用空间形式特别是图 形,理解和解决数学问题的素养. 2.立体几何中的动态问题主要包括:空间动点 轨迹的判断,求轨迹的长度及动角的范围等. 3.一般是根据线、面垂直,线、面平行的判定定 理和性质定理,结合圆或圆锥曲线的定义推 断出动点的轨迹. 【例】 在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,点 M、N 分 别是直线CD、AB 上的动 点,点 P 是△A1C1D 内的 动点(不包括边界),记直线 D1P 与MN 所成角为θ,若θ的最小值为 π 3 , 则点P 的轨迹是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·82· |假日必刷题·数学| A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 【解析】 把 MN 平移到平面 A1B1C1D1 中,直 线 D1P 与 MN 所 成 角 为θ,直 线 D1P 与MN 所成角的最小值是直 线 D1P 与 平 面 A1B1C1D1 所成角,即原问题转化为:直线 D1P 与平面 A1B1C1D1 所 成 角 为 π 3 ,点 P 在 平 面 A1B1C1D1 的投影为圆的 一 部 分,因 为 点 P 是△A1C1D 内的动点(不包括边界),所以点 P 的轨迹是椭圆的一部分.故选B. 【答案】 B ◉高分秘籍 1.证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)判定定理;(2)垂直于平面的传递性(a∥ b,a⊥α⇒b⊥α);(3)面面平行的性质(a⊥α,α ∥β⇒a⊥β);(4)面面垂直的性质(α⊥β,α∩β =a,l⊥a,l⊂β⇒l⊥α). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明 线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判 定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂 直的基本思路. ◉速记口诀 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则 另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于 这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直 的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定 理,不要误解为“如果一条直线垂直于平面内 的无数条直线,就垂直于这个平面”. 3.三种垂直关系的转化 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 线线垂直的应用 1.如果 MC⊥菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与BD 的位置关系是 ( ) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 2.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次 连接这个四边形的各边中点,所成的四边形 是 ( ) A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形 知识点2 空间中的异面直线的垂直问题 3.如 图,正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与 BC1所成角的大小是 ( ) A.120° B.90° C.60° D.30° 4.(多空题)如图,若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边 长为2,高为4,则异面直线 BD1 与 AA1 所成角的正弦 值 为 ,异 面 直 线 BD1与AD 所成角的正弦值 是 . 知识点3 线面垂直的判定与性质 5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AD1 垂直的平面是 ( ) A.平面DD1C1C B.平面A1DB C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB1 6.(多选题)下列命题正确的是 ( ) A. a∥b a⊥α ⇒b⊥α B.a⊥αb⊥α ⇒a∥b C. a⊥α a⊥b ⇒b∥α D.a∥αa⊥b ⇒b⊥α 7.(多 空 题)如 图,已 知 ∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC, 则 在 △ABC, △PAC 的边所在的直线 中,与 PC 垂直的直线有 ;与 AP 垂直的直线有 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·92· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 知识点4 面面垂直的判定与性质 8.如图所示,在△ABC 中,AD⊥BC,△ABD 的 面积 是 △ACD 的 面 积 的 2 倍,沿 AD 将 △ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时 二面角B-AD-C 的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 9.(多选题)在四棱锥 P-AB- CD 中,已 知 PA ⊥ 底 面 ABCD,且底面ABCD 为矩 形,则下列结论中正确的是 ( ) A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC C.平面PBC⊥平面PCD D.平面PCD⊥平面PAD 10.如图所示,在四边形ABCD 中,AB=AD= CD=1,BD= 2,BD⊥CD,将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A'BCD,使平面 A'BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是 (填序号). ①A'C⊥BD;②∠BA'C=90°;③ 四 面 体 A'BCD的体积为16. 知识点5 平行与垂直的综合问题 11.(多选题)在正四面体P-ABC 中,D,E,F 分 别是AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中 成立的是 ( ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 12.已知α,β是两个不同的平面,l是平面α与β 之外的直线,给出下列三个论断:①l⊥α, ②l∥β,③α⊥β. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论 断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .(用序号表示) 13.如图,几何体是圆柱的一 部分,它是由矩形ABCD (及其内部)以 AB 边所 在 直 线 为 旋 转 轴 旋 转 120°得 到 的,G 是DF︵的 中点. (1)设 P 是CE︵上 的 一 点,且 AP⊥BE,求 ∠CBP 的大小; (2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C 的大小. 14.如图所示,在四棱锥P- ABCD 中,底面 ABCD 是 边 长 为 a 的 菱 形, ∠DAB = 60°,侧 面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证:AD⊥PB; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·03· |假日必刷题·数学| (2)若E为BC 边的中点,能否在棱PC上找 到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD? 并证 明你的结论. (2024·全国甲卷(理))设α、β为两个平面, m、n为两条直线,且α∩β=m.下列四个命题: ①若m∥n,则n∥α或n∥β ②若m⊥n,则 n⊥α或n⊥β ③若n∥α且n∥β,则m∥n ④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n 其中所有真命题的编号是 ( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十四 随机抽样 随机抽样中忽略抽样的公平性致错 分层随机抽样的一个很重要的特点是每个 个体被抽到的机会是相等的.当按照比例计算 出的值不是整数时,一般采用四舍五入的方法 取值.若四舍五入后得到的样本量与要求的不 尽相同,则可根据问题的实际意义适当处理,使 之相同,这只是细节性问题,并未改变分层随机 抽样的本质. 【例】 为了解某地区的中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中 三个学段学生的视力情况有较大差异,且男 女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法 中,最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.随机数法抽样 【解析】 依 据 题 意,了 解 到 该 地 区 小 学、初 中、高中三个学段学生的视力情况有较大差 异,且男女生视力情况差异不大,故要了解该 地区学生的视力情况,应按学段分层随机抽 样.故选C. 【答案】 C ◉高分秘籍 (1)进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的 两个关系 ① 样本量n 总体的个数N= 该层抽取的个体数 该层的个体数 ; ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两 层抽取的个体数之比. (2)样本的平均数和各层的样本平均数的关 系为: w= mm+nx+ n m+ny= M M+Nx+ N M+Ny. ◉速记口诀 1.使用分层抽样的前提:分层随机抽样的总体 按一个或多个变量划分成若干个子总体,并 且每一个个体属于且仅属于一个子总体,而 层内个体间差异较小. 2.使用分层随机抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层 要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重 复、不遗漏的原则; (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽 取,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层 样本量与每层个体数量的比等于抽样比. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·13· |第一部分 收官之作·完胜上一学期|