必刷题十二 空间直线、平面的平行-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

10.D 因为两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面 内的两条直线无交点,因此两直线平行或异面. 【刷综合题】 11.证明 连接EH、AC、FG. ∵E、H 分别为BC、AB 的中点,∴EH􀱀12AC. ∵DF ︰FC=1︰2,DG ︰GA=1︰2, ∴FG∥AC,FG=13AC ,∴EH∥FG 且EH≠FG, ∴E、F、G,H 四点共面且EF≠GH. ∴EF 与GH 相交. 设EF∩GH=O,则O∈GH,O∈EF. ∵GH⊂平面ABD,EF⊂平面BCD, ∴O∈平面ABD,O∈平面BCD. ∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,即直线EF、 BD、HG 交于一点. 12.解 平面ABC与β的交线与l相交. 证明如下:因为AB 与l不平行,且AB⊂α,l⊂α, 所以AB 与l一定相交.设 AB∩l=P(图略),则 P∈ AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面 ABC,P∈β.所以点P 是平面ABC 与β的一个公共点, 而点C也是平面ABC 与β的一个公共点,且P,C 是不 同的两点,所以直线PC就是平面ABC 与β的交线, 即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P, 所以平面ABC与平面β的交线与l相交. 【刷高考题】 A 连接AD1, 易证M 在AD1 上,在正方形ADD1A1 中,AD1⊥A1D, AB⊥平面ADD1A1 A1D⊂平面ADD1A1 ⇒AB⊥A1D,AB∩AD1=A⇒ A1D⊥平面D1AB D1B⊂平面D1AB ⇒A1D⊥D1B, 在正方形AA1D1D 中, D1M=MA D1N=NB ⇒ MN∥AB MN⊄平面ABCD AB⊂平面ABCD ⇒MN∥平面ABCD, 取AA1 交点E,连接 NE,易证EB=ED1,ED=EB,且 N 为BD1,B1D 的交点,故 NE⊥平面BDD1B1,MN 与 NE 相交,故 MN 与BDD1B1 不垂直,故选择A. 必刷题十二 空间直线、平面的平行 【刷基础题】 1.B 由 等 角 定 理 可 知,① 显 然 正 确.对 于 ②,如 图, ∠DD1C1 与∠DAD1 的两边D1C1⊥AD1,AD⊥D1D,而 这两个角不相等,也不互补,所以该命题错误;由基本事 实知命题③正确.所以①③是正确的. 2.D 如图(1),∠AOB=∠A1O1B1 且OA∥O1A1 但 OB 与O1B 不 平 行,故 A,B 排 除;如 图 (2),∠AOB= ∠A1O1B1 且OA∥O1A1,此时OB∥O1B1,故C排除. 3.D 在旋转过程中,CD∥AB,易得CD∥α或CD⊂α. 4.C ①中,平移 A1F 至D1F',知 D1F'与 面BD1E 只 有 一 个 交 点 D1,则A1F 与面BD1E 不平行; ② 中,在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中,E,F 分 别 是 它 们 所在 线 段的中点,则易 知 A1F∥ D1E,而A1F⊄平面BD1E,D1E⊂ 平面BD1E,故A1F∥平面BD1E; ③中,同①平移 A1F 至D1F',知 D1F'与面BD1E 只有 一个交点D1,则A1F 与面BD1E 不平行; 故选:C. 5.ABC 对于A,直线A1C1⊂平面A1B1C1D1,AD1⊂平面 ADD1A1,D1􀱂直线A1C1,则易得直线A1C1 与AD1 为 异面直线,故A正确;对于B,因为A1C1∥AC,A1C1⊄平 面ACD1,AC⊂平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1,故 B正确;对于C,连接 BD(图略),因为正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,所以 AC⊥平面BDD1,所以BD1⊥AC,故C正确;对于D,三 棱锥D1-ADC的体积V 三棱锥D1-ADC= 1 3× 1 2× 2×2×2=43 ,故D错误. 6.解析 ∵MN∥平面 AC,平面 PMN∩平面 AC=PQ, MN⊂平面PMN,∴MN∥PQ,易知DP=DQ=2a3 , 故PQ= PD2+DQ2= 2DP=2 23a. 答案 2 23a 7.BD A,C中,α与β都可能相交,正确的是B,D. 8.C 因 为 平 面 BDM∥平 面 A1C,平 面 BDM∩平 面 A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1, 所以DM∥A1C1,过D 作DE1∥A1C1 交B1C1 于E1(图 略),则点 M 的轨迹是线段DE1(不包括点D). 9.ACD 以ABCD 为下底还原正方体,如图所示, 则易判定A、C、D正确,B错误. 【刷综合题】 10.证明 如图所示,连接AD,交平面 α于点P,连接PM,PN. 因为CD∥α,平面ACD∩α=PM, 所以CD∥PM,所以在△ACD 中, 有AM MC= AP PD. 同理,在△DAB 中,有APPD= BN ND , 所以AM MC= BN ND. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·76· |参考答案| 11.证明 如图,取D1D 的中点G,连接EG,GC, ∵E 是A1A 的 中 点,G 是D1D 的中点, ∴EG􀱀AD. 由正方体性质知AD􀱀BC, ∴EG􀱀BC, ∴ 四 边 形 EGCB 是 平 行 四 边形, ∴EB􀱀GC.① 又∵G,F 分别是D1D,C1C的中点,∴D1G􀱀FC, ∴四边形D1GCF 为平行四边形,∴D1F􀱀GC.② 由①②得EB􀱀D1F, ∴四边形BED1F 是平行四边形. 【刷高考题】 C 对于A,B,若 m∥α,n∥α,则 m 与n 可能平行、相交 或异面,故A,B错误;对于C,D,若 m∥α,n⊥α,则 m⊥ n,且m 与n 可能相交,也可能异面,故C正确,D错误. 必刷题十三 空间直线、平面的垂直 【刷基础题】 1.C 如图,连接AC.因为ABCD 是 菱形,所以 BD⊥AC.又 MC⊥平 面ABCD,则BD⊥MC. 因为AC∩MC=C,所以BD⊥平 面AMC.又 MA⊂平 面 AMC,所 以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直 线BD 不共面,因此直线 MA 与BD 的位置关系是垂直 但不相交. 2.D 如图,连接AC,∵E,F,G, H 分别为各边的中点, ∴EF∥AC,GH∥AC, EH∥BD, FG∥BD,EF=GH=12AC , EH=FG=12BD. ∴四边形EFGH 是平行四边形, ∵AC⊥BD,且AC=BD, ∴EF⊥FG,且EF=FG, ∴四边形EFGH 是正方形. 3.C 如图,连接AD1, 则AD1∥BC1. ∴∠CAD1(或 其 补 角)就 是 AC 与 BC1 所成的角,连接CD1,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC=AD1 =CD1, ∴∠CAD1=60°. 即AC与BC1 所成的角为60°. 4.解析 因为 AA1∥DD1,所以∠DD1B(或其补角)即为 异面直线BD1 与AA1 所成的角,连接BD,在Rt△D1DB 中,sin∠DD1B= DB BD1 =2 2 2 6 = 33. 故异面直线BD1 与 AA1 所成角的正弦值是 3 3. 因为 AD∥BC,所以∠D1BC 即 为 异面直线BD1 与AD 所成的角(或 其补角), 连接D1C,在△D1BC中,因为正四 棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面边 长为2,高为4, 所以 D1B=2 6,BC=2,D1C= 2 5,D1B2=BC2+D1C2, 所 以 ∠D1CB = 90°,所 以 sin ∠D1BC= D1C D1B =2 5 2 6 = 306 , 故异面直线BD1 与AD 所成角的正弦值是 30 6 . 答案 33 30 6 5.D ∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1, ∴AD1⊥平面A1DB1. 6.AB 由性质定理可得A,B正确. 7.解析 因为PC⊥平面 ABC,所以PC 垂直于直线AB, BC,AC.因为AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,所以AB ⊥平面PAC,又因为AP⊂平面PAC,所以AB⊥AP,与 AP 垂直的直线是AB. 答案 AB,BC,AC AB 8.C 由已知BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD 中,∠BDC =60°,而 AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC 是二面角B- AD-C的平面角,其大小为60°. 9.ABD 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 知,平 面 PAB⊥平 面 PAD,平面 PAB⊥平面 PBC,平面 PCD⊥平面 PAD, A,B,D正确. 10.解析 ∵BD⊥CD,平面A'BD⊥平面BCD, 平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD, ∴CD⊥平面A'BD,又A'D⊂平面A'BD, ∴CD⊥A'D. ∵AB=AD=CD=1,BD= 2, ∴A'C= 2,BC= 3,∴A'B2+A'C2=BC2, ∴A'B⊥A'C,即∠BA'C=90°, 四面体A'BCD 的体积V=13× 1 2×1 2×1=16. 答案 ②③ 11.ABD 如图所示,∵BC∥DF,BC⊄平面PDF, DF⊂ 平 面 PDF,∴BC∥ 平 面 PDF,∴A正确;由BC⊥PE,BC ⊥AE,PE∩AE=E,得 BC⊥平 面PAE,∴DF⊥平面 PAE,∴B 正确; ∴平面 ABC⊥平 面 PAE(BC⊥ 平面PAE),∴D正确. 12.解析 由l∥β可在平面β内作l'∥l,又l⊥α,∴l'⊥α, ∵l'⊂β,∴α⊥β,故①②⇒③. 答案 ①②⇒③(答案不唯一) 【刷综合题】 13.解 (1)因为AP⊥BE,AB⊥BE, AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A, 所以BE⊥平面ABP, 又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP, 又∠EBC=120°, 因此∠CBP=30°. (2)如 图,取CE︵的 中 点 H,连 接 EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°, 所以四边形BEHC为菱形, 所以AE=GE=AC=GC = 32+22 = 13. 取 AG 中 点 M,连 接 EM, CM,EC, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·86· |假日必刷题·数学| 必刷题十二 空间直线、平面的平行 线线、线面、面面平行的转化 空间中各种平行关系相互转化关系的示 意图 【例】 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,P 分别是棱AB,A1B1的中点, 求证:(1)AC1∥平面B1CD; (2)平面APC1∥平面B1CD. 【证明】 (1)如图,设BC1 与B1C 的交点为 O,连接OD, ∵四边形BCC1B1 为平行四边形, ∴O 为B1C 中点, 又∵D 是AB 的中点, ∴OD 是△ABC1 的中位线, 则OD∥AC1, 又∵AC1⊄平面B1CD, OD⊂平面B1CD, ∴AC1∥平面B1CD. (2)∵P 为线段A1B1 的中点,点 D 是AB 的 中点, ∴AD∥B1P 且AD=B1P,则四边形ADB1P 为平行四边形, ∴AP∥DB1, 又∵AP⊄平面B1CD,DB1⊂平面B1CD, ∴AP∥平面B1CD. 又AC1∥平面B1CD,AC1∩AP=P, 且AC1⊂平面APC1,AP⊂平面APC1, ∴平面APC1∥平面B1CD. ◉高分秘籍 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行 时,所满足的条件必须是明显或已经证明成立 的,并且要与定理条件保持一致,否则容易导致 错误. ◉速记口诀 1.剖析平面与平面平行的判定定理 (1)具备两个条件:判定平面α与平面β平行 时,必须具备两个条件. ①平面β内两条相交直线a,b,即a⊂α,b⊂α, a∩b=P. ②两条相交直线a,b都与平面β平行,即a∥ β,b∥β. (2)体现了转化思想:此定理将证明面面平行 的问题转化为证明线面平行. (3)此定理可简记为:线面平行⇒面面平行. 2.解读平面与平面平行的性质定理 (1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平 面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质 定理可以看作直线与直线平行的判定定理. 可简述为“若面面平行,则线线平行”. (2)用该定理判断直线a与b平行时,必须具 备三个条件: ①平面α和平面β平行,即α∥β; ②平面γ和α相交,即α∩γ=a; ③平面γ和β相交,即β∩γ=b. 以上三个条件缺一不可. (3)在应用这个定理时,要防止出现“两个平 面平行,则一个平面内的直线平行于另一个 平面一切直线”的错误. 3.两个平面平行的一些常见结论 (1)如果两个平面平行,那么在一个平面内的 所有直线都与另一个平面平行. (2)如果一条直线和两个平行平面中的一个 相交,那么它也和另一个平面相交. (3)夹在两个平行平面间的所有平行线段 相等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·62· |假日必刷题·数学| 知识点1 等角定理的应用 1.下列命题中,正确的有 ( ) ①如果两条相交直线和另两条相交直线分别 平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角) 相等;②如果一个角的两边和另一个角的两 边分别垂直,那么这两个角相等或互补;③如 果两条直线同时平行于第三条直线,那么这 两条直线互相平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2.若∠AOB=∠A1O1B1 且OA∥O1A1,OA 与 O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是 ( ) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 知识点2 线面平行判定、性质定理的理解 3.如图,一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平 面α内,把这块矩形木板绕AB 转动,在转动 的过程中,AB的对边CD 与平面α 的位置关 系是 ( ) A.平行 B.相交 C.在平面α内 D.平行或在平面α内 4.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分别是它们所在线段的中点,则满足 A1F∥平面BD1E的图形为 ( ) A.① B.①② C.② D.①②③ 5.(多选题)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 长 为 2,则下列四个结论正确的是 ( ) A.直线A1C1与AD1 为异面 直线 B.A1C1∥平面ACD1 C.BD1⊥AC D.三棱锥D1-ADC 的体积为 8 3 6.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为a的正方体,M,N 分别是下底面的棱A1B1, B1C1 的中 点,P 是 上 底 面 的棱AD 上 的 一 点,AP= a 3 ,过P,M,N 的平面交上 底面于PQ,Q 在CD 上,则PQ= . 知识点3 两个平面平行的判定与性质 7.(多选题)已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示 三个不重合的平面,给出下列命题,正确的是 ( ) A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β B.若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥ β,b∥β,则α∥β C.若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β D.若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b 8.如图,在三棱台 A1B1C1- ABC 中,点D 在A1B1 上, 且 AA1 ∥BD,点 M 是 △A1B1C1 内 的 一 个 动 点 (含边界),且有平面BDM ∥平面A1C,则动点 M 的轨迹是 ( ) A.平面 B.直线 C.线段,但只含1个端点 D.圆 9.(多选题)如图是正方体的 平面展开图,在这个正方 体中,以下说法正确的是 ( ) A.BM∥平面ADE B.CN∥平面DEF C.平面BDM∥平面AFN D.平面BDE∥平面NCF 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·72· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 10.如图所示,已知异 面 直 线 AB,CD 都平行于平面α, 且AB,CD 在α 的两侧,若 AC,BD 分 别 与α 相 交 于 M,N 两 点,求 证:AMMC =BNND. 11.如图所示,已知 E,F 分 别 是 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的 棱 AA1, CC1 的中点.求证:四边 形 BED1F 是 平 行 四 边形. (2024·天津卷)若 m,n为两条直线,α为一 个平面,则下列结论中正确的是 ( ) A.若m∥α,n∥α,则m⊥n B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m∥α,n⊥α,则m 与n相交 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十三 空间直线、平面的垂直 直观想象———立体几何中的动态问题 1.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知 事物的形态与变化,利用空间形式特别是图 形,理解和解决数学问题的素养. 2.立体几何中的动态问题主要包括:空间动点 轨迹的判断,求轨迹的长度及动角的范围等. 3.一般是根据线、面垂直,线、面平行的判定定 理和性质定理,结合圆或圆锥曲线的定义推 断出动点的轨迹. 【例】 在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,点 M、N 分 别是直线CD、AB 上的动 点,点 P 是△A1C1D 内的 动点(不包括边界),记直线 D1P 与MN 所成角为θ,若θ的最小值为 π 3 , 则点P 的轨迹是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·82· |假日必刷题·数学|