必刷题十一 空间点、线、面的位置关系-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

所以S=4S△AB1C=4× 1 2× 3 2 (2a)2=4 3, 所以a= 2 所以正方体的外接球的半径为 (2)2+(2)2+(2)2 2 = 6 2 , 所以正方体的外接球的体积为4 3π · 6 2 3 = 6π 故选:B. 13.A 根据长方体的结构特征可得,长方体外接球直径等 于长方体体对角线的长, 因为长方体外接球的体积为9π 2 ,设外接球半径为R, 则4 3πR 3=9π2 ,解得R=32 , 因此2R= AB2+BC2+BB21,因为AB=2BC=2, 所以3= 4+1+BB21,解得:BB1=2, 因此长方体的表面积为:S=2×AB×BC+2×AB× BB1+2×BC×BB1=4+8+4=16. 故选:A. 【刷综合题】 14.解 如 图,在 四 面 体S-ABC 中, 取底 面△ABC 的 中 心 为O1,连 接 SO1,O1A,则SO1⊥O1A. 又AO1= 2 3× 3 2× 3=1. ∴SO1= 2. ∴四面体的体积为V=13× 3 4× (3)2× 2= 64. 设内切球球心为O,半径为r,连接OS,OA,OB,OC. ∴VS-ABC=VO-SAB +VO-SBC +VO-SAC +VO-ABC = 1 3S全 ·r =13×4× 3 4× (3)2×r= 3r= 64 , ∴r= 24 ,∴球的体积为V=4π3r 3=4π3× 2 4 3 = 2π24. 15.解 (1)所求的圆柱的底面半径为x,它的轴截面如图, BO=1,PO=3,设圆柱的高为h, 由图得=x1= 3-h 3 ,即 h=3-3x(0<x<1). (2)因为S圆柱侧 =2πxh=2πx(3-3x) =6π(x-x2), 当x=12 时,圆柱的侧面积取得最大 值为3 2π. 所以 当 圆 柱 的 底 面 半 径 为 1 2 时,它 的 侧 面 积 最 大 为 3 2π. 【刷高考题】 B 设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为 3,且侧面积相等,所以2πr× 3=πr (3)2+r2,得r2 =9,所以圆锥的体积V=13πr 2× 3=3 3π,故选B. 必刷题十一 空间点、线、面的位置关系 【刷基础题】 1.CD 对于选项A:一条直线不能确定一个平面,故选项 A不正确; 对于选项B:一条直线和直线外的一个点可以确定一个 平面,一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面, 故选项B不正确; 对于选项C:两条相交的直线可以确定一个平面,故选项 C正确; 对于选项D:两条平行的直线可以确定一个平面,故选项 D正确; 故选:CD 2.AD 对于选项A:直线l上有两点在平面内,则直线在 平面内;故选项A正确; 对于选项B:若A∈α,B∈β,则 A,B 不一定是两个面的 公共点.故选项B错误; 对于选项C:若A,B,C∈α,A,B,C∈β, 当A,B,C 三 点 共 线 时,则α,β不 一 定 重 合.故 选 项 C 错误; 对于选项D:两平面的公共点在公共直线上,故选项 D 正确.故选:AD. 3.C 由已知得直线c与b 可能为异面直线也可能为相交 直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b 为异面直线相矛盾. 4.①平行 ②异面 ③相交 ④异面 5.C 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C 或其补 角为所求的角.又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°. 6.解析 如图所示,设正方体的 表 面 ABB1A1 的 中 心 为 P,容易证明OP∥A1D,所以直线l即为直线OP,角θ即 ∠POC1. 设正方体的棱长为2,则 OP=12A1D= 2 , OC1= 6,PC1= 6, 则cos∠POC1= 2+6-6 2× 2× 6 = 1 2 3 = 36. 答案 36 7.A 对于①,直线l虽与平面α 内无数条直线平行,但l 有可能在平面α 内,∴l不一定平行于α.故①错.对于 ②,∵直线a在平面α 外包括两种情形:a∥α,a与α 相 交,故②错.对于③,由直线a∥b,b⊂α,只能说明a和b 无公共点,但a可能在平面α内,故③错.对于④,∵a∥b,b ⊂α,∴ 在 平 面α 内 与b 平 行 的 直 线 都 与a 平 行,故 ④正确. 8.D 由于直线a不平行于平面α,则a在α 内或a 与α 相 交,故A错;当a⊂α时,在平面α内存在与a 平行的直 线,故B错;因为α内的直线也可能与a 平行或异面,故 C错;由线面平行的定义知D正确. 9.C 如图,可能会出现以下两种情况. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·66· |假日必刷题·数学| 10.D 因为两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面 内的两条直线无交点,因此两直线平行或异面. 【刷综合题】 11.证明 连接EH、AC、FG. ∵E、H 分别为BC、AB 的中点,∴EH􀱀12AC. ∵DF ︰FC=1︰2,DG ︰GA=1︰2, ∴FG∥AC,FG=13AC ,∴EH∥FG 且EH≠FG, ∴E、F、G,H 四点共面且EF≠GH. ∴EF 与GH 相交. 设EF∩GH=O,则O∈GH,O∈EF. ∵GH⊂平面ABD,EF⊂平面BCD, ∴O∈平面ABD,O∈平面BCD. ∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,即直线EF、 BD、HG 交于一点. 12.解 平面ABC与β的交线与l相交. 证明如下:因为AB 与l不平行,且AB⊂α,l⊂α, 所以AB 与l一定相交.设 AB∩l=P(图略),则 P∈ AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面 ABC,P∈β.所以点P 是平面ABC 与β的一个公共点, 而点C也是平面ABC 与β的一个公共点,且P,C 是不 同的两点,所以直线PC就是平面ABC 与β的交线, 即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P, 所以平面ABC与平面β的交线与l相交. 【刷高考题】 A 连接AD1, 易证M 在AD1 上,在正方形ADD1A1 中,AD1⊥A1D, AB⊥平面ADD1A1 A1D⊂平面ADD1A1 ⇒AB⊥A1D,AB∩AD1=A⇒ A1D⊥平面D1AB D1B⊂平面D1AB ⇒A1D⊥D1B, 在正方形AA1D1D 中, D1M=MA D1N=NB ⇒ MN∥AB MN⊄平面ABCD AB⊂平面ABCD ⇒MN∥平面ABCD, 取AA1 交点E,连接 NE,易证EB=ED1,ED=EB,且 N 为BD1,B1D 的交点,故 NE⊥平面BDD1B1,MN 与 NE 相交,故 MN 与BDD1B1 不垂直,故选择A. 必刷题十二 空间直线、平面的平行 【刷基础题】 1.B 由 等 角 定 理 可 知,① 显 然 正 确.对 于 ②,如 图, ∠DD1C1 与∠DAD1 的两边D1C1⊥AD1,AD⊥D1D,而 这两个角不相等,也不互补,所以该命题错误;由基本事 实知命题③正确.所以①③是正确的. 2.D 如图(1),∠AOB=∠A1O1B1 且OA∥O1A1 但 OB 与O1B 不 平 行,故 A,B 排 除;如 图 (2),∠AOB= ∠A1O1B1 且OA∥O1A1,此时OB∥O1B1,故C排除. 3.D 在旋转过程中,CD∥AB,易得CD∥α或CD⊂α. 4.C ①中,平移 A1F 至D1F',知 D1F'与 面BD1E 只 有 一 个 交 点 D1,则A1F 与面BD1E 不平行; ② 中,在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中,E,F 分 别 是 它 们 所在 线 段的中点,则易 知 A1F∥ D1E,而A1F⊄平面BD1E,D1E⊂ 平面BD1E,故A1F∥平面BD1E; ③中,同①平移 A1F 至D1F',知 D1F'与面BD1E 只有 一个交点D1,则A1F 与面BD1E 不平行; 故选:C. 5.ABC 对于A,直线A1C1⊂平面A1B1C1D1,AD1⊂平面 ADD1A1,D1􀱂直线A1C1,则易得直线A1C1 与AD1 为 异面直线,故A正确;对于B,因为A1C1∥AC,A1C1⊄平 面ACD1,AC⊂平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1,故 B正确;对于C,连接 BD(图略),因为正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,所以 AC⊥平面BDD1,所以BD1⊥AC,故C正确;对于D,三 棱锥D1-ADC的体积V 三棱锥D1-ADC= 1 3× 1 2× 2×2×2=43 ,故D错误. 6.解析 ∵MN∥平面 AC,平面 PMN∩平面 AC=PQ, MN⊂平面PMN,∴MN∥PQ,易知DP=DQ=2a3 , 故PQ= PD2+DQ2= 2DP=2 23a. 答案 2 23a 7.BD A,C中,α与β都可能相交,正确的是B,D. 8.C 因 为 平 面 BDM∥平 面 A1C,平 面 BDM∩平 面 A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1, 所以DM∥A1C1,过D 作DE1∥A1C1 交B1C1 于E1(图 略),则点 M 的轨迹是线段DE1(不包括点D). 9.ACD 以ABCD 为下底还原正方体,如图所示, 则易判定A、C、D正确,B错误. 【刷综合题】 10.证明 如图所示,连接AD,交平面 α于点P,连接PM,PN. 因为CD∥α,平面ACD∩α=PM, 所以CD∥PM,所以在△ACD 中, 有AM MC= AP PD. 同理,在△DAB 中,有APPD= BN ND , 所以AM MC= BN ND. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·76· |参考答案| 15.如图,一个圆锥的底面半径为1, 高为3,在圆锥中有一个半径为 x的内接圆柱. (1)试用x表示圆柱的高; (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大 侧面积是多少? (2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面 半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 3, 则圆锥的体积为 ( ) A.2 3π B.3 3π C.6 3π D.9 3π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十一 空间点、线、面的位置关系 点、直线、平面位置关系的判断 1.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题 时要体会三个基本事实的作用,体会先部分 再整体的思想. 2.(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决 问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论 的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方 体等)也是解决这类问题的有效方法. (2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两 点在平面α内,要证明直线与平面相交,只需 说明直线与平面只有一个公共点,要证明直 线与平面平行,则必须说明直线与平面没有 公共点. 【例1】 ①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则 a∥b; ②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异 面直线; ③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定 不相交; ④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行 或异面; ⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相 交. 其中正确的序号是 . 【解析】 ①错,a与b 也可能异面;②错,a与 b也可能平行;③对, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·32· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| ∵α∥β,∴α与β无公共点,又∵a⊂α,b⊂β,∴ a与b 无公共点;④对,由已知及③知:a与b 无公共点,那么a∥b或a 与b 异面;⑤错,a 与β也可能平行. 【答案】 ③④ 【例2】 如图,在正方体AB- CD-A1B1C1D1 中,设 线 段 A1C 与平面ABC1D1 交于 点Q.求证:B,Q,D1 三点 共线. 【证明】 如 图,连 接 A1B, CD1,显 然 B ∈ 平 面 A1BCD1,D1 ∈ 平 面A1BCD1. 所以BD1⊂平面A1BCD1. 同理BD1⊂平面ABC1D1, 所 以 平 面 ABC1D1∩ 平 面 A1BCD1=BD1. 因为A1C∩平面ABC1D1=Q, 所以Q∈平面ABC1D1. 又因为A1C⊂平面A1BCD1, 所以Q∈平面A1BCD1. 所以Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上, 即Q∈BD1,所以B,Q,D1 三点共线. ◉高分秘籍 1.错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三 点”这个重要条件,实际上B、C、D 三点还可 能共线. 2.错解是因为对空间概念理解不透彻,对P 点 位置没有作全面地分析,只考虑了一般情况, 而忽略了特殊情形.事实上,当直线a(或b)与 点P 确定的平面恰与直线b(或a)平行时,与 a、b都平行的平面就不存在了. ◉速记口诀 1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线 平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就 是一种常用的判定方法. 2.直线和平面的位置关系 (1)在直线和平面的位置关系中,直线和平面 平行,直线和平面相交,统称直线在平面外, 可以用记号a⊄α来表示a∥α、a∩α=A 这两 种情形. (2)一般地,直线a在平面α内,应把直线a画 在表示平面α的平行四边形内;直线a与平面 α平行时,把a画成与表示平面α的平行四边 形的水平边平行. 3.两个平面的位置关系:同平面内两条直线的 位置关系相类似,可以从有无公共点来区分. 如果两个平面有一个公共点,那么由基本事 实3可知:这两个平面相交于过这个点的一 条直线;如果两个平面没有公共点,那么就说 这两个平面相互平行. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 三个基本事实 1.(多选题)下面四个条件中,能确定一个平面 的是 ( ) A.一条直线 B.一条直线和一个点 C.两条相交的直线 D.两条平行的直线 2.(多选题)下列叙述中,正确的是 ( ) A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α B.若A∈α,B∈β,则α∩β=AB C.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,α,β则重合 D.若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB 知识点2 空间两直线位置关系的判定 3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a, 那么c与b ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 4.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,判 断 下 列 直 线 间 的 位 置 关系: ①A1B与D1C ; ②A1B与B1C ; ③D1D 与CE(E为C1D1的中点) ; ④AB与B1C . 知识点3 异面直线所成的角 5.如图所示,在正方体ABCD- A1B1C1D1 中,E,F 分 别 是 AB,AD 的中点,则异面直线 B1C与EF 所成角的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点O 是底面 ABCD 的中心,过O 点作一条直线l与A1D 平行,设直线l与直线OC1 的夹角为θ,则 cosθ= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·42· |假日必刷题·数学| 知识点4 空间中直线与平面的位置关系 7.给出下列四个命题: ①直线l平行于平面α 内的无数条直线,则 l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直 线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④若a∥b,b⊂α, 则直线a就平行于平面α内的无数条直线.其 中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的 是 ( ) A.α内的所有直线均与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内直线均与a相交 D.直线a与平面α有公共点 知识点5 空间中平面与平面的位置关系 9.已知在两个平面内分别有一条直线,并且这 两条直线互相平行,那么这两个平面的位置 关系一定是 ( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不对 10.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行 平面内的两条直线 ( ) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 11.已知:如图,空间四边形 ABCD 中,E、H 分别为 BC、AB 的 中 点,F 在 CD 上,G 在AD 上,且 有DF︰FC=DG︰GA=1︰2. 求证:直线EF、BD、HG交于一点. 12.如图,已知平面α∩β=l,点A ∈α,点B∈α,点C∈β,且A􀱂 l,B􀱂l,直线AB与l不平行, 那么平面ABC与平面β 的交线与l有什么 关系? 证明你的结论. (2021·浙江卷)如图,已知 正方体 ABCD-A1B1C1D1, M,N 分别是A1D,D1B 的 中点,则 ( ) A.直 线 A1D 与 直 线 D1B 垂直,直线 MN∥平面ABCD B.直线A1D 与直线D1B平行,直线MN⊥平 面BDD1B1 C.直线A1D 与直线D1B相交,直线MN∥平 面ABCD D.直线A1D 与直线D1B异面,直线MN⊥平 面BDD1B1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·52· |第一部分 收官之作·完胜上一学期|