必刷题十 简单几何体的表面积和体积-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

必刷题十 简单几何体的表面积和体积 等积法与分割法求体积问题 求几何体体积的常用方法 公式法 直接代入公式求解 等积法 例如四面体的任何一个面都可以作 为底面,只需选用底面积和高都易 求的形式即可 补体法 将几何体补成易求解的几何体,如 棱锥 补 成 棱 柱,三 棱 柱 补 成 四 棱 柱等 分割法 将几何体分割成易求解的几部分, 分别求体积 【例】 (1)如图,已知 AB- CD-A1B1C1D1 是 棱 长 为 a的正方体,E 为AA1 的 中点,F 为CC1 上 一 点, 求 三 棱 锥 A1-D1EF 的 体积. (2)如 图,在 多 面 体 ABCDEF 中,已知四 边 形 ABCD 是边长为4的正方 形,EF∥AB,EF=2,EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3,求该多面体的体积. [分析] (1)适合用等积法;(2)适合用分 割法. 【解析】 (1)由V三棱锥A1-D1EF= V三棱锥F-A1D1E, ∵S△A1D1E= 1 2EA1 ·A1D1= 1 4a 2, 又三棱锥F-A1D1E 的高为CD=a, ∴V三棱锥F-A1D1E= 1 3×a× 1 4a 2=112a 3, ∴V三棱锥A1-D1EF= 1 12a 3. (2)如图,连接EB,EC,AC. V四棱锥E-ABCD = 1 3×4 2×3 =16. ∵AB=2EF,EF∥AB, ∴S△EAB=2S△BEF. ∴V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB =12V三棱锥C-ABE= 1 2V三棱锥E-ABC =12× 1 2V四棱锥E-ABCD=4. ∴ 多 面 体 的 体 积 V = V四棱锥E-ABCD + V三棱锥F-EBC=16+4=20. ◉高分秘籍 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面 积和高,其中高一般利用几何体的轴截面求得, 一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列 出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利 用割补法. ◉速记口诀 1.对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关 系可以通过实验得出,等底、等高的圆柱的体 积是圆锥的体积的3倍. (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系 V=Sh S'=S ← V=13 (S'+ S'S+S)h S'=0 → V=13Sh. (4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据 台体的定义进行“补形”,还原为圆锥,采用 “大圆 锥”减 去“小 圆 锥”的 方 法 求 圆 台 的 体积. 2.与球的体积、表面积有关的问题 (1)球的表面积(体积)与半径之间的函数 关系 S球=4πR2 V球=43πR 3 从公式看,球的表面积和体积的大小,只与球 的半径相关,给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应,故表面积和体积是关于R的函数. (2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的 距离构建直角三角形是把空间问题转化为平 面问题的主要途径. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·12· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 知识点1 多面体表面积 1.长方体的高为2,底面积等于12,过不相邻两侧 棱的截面(对角面)的面积为10,则此长方体的 侧面积为 ( ) A.12 B.24 C.28 D.32 2.一个正四棱锥的底面边长为2,高为 3,则该 正四棱锥的全面积为 ( ) A.8 B.12 C.16 D.20 3.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a,棱 台的高为 33 6a ,则此正三棱台的侧面积为 ( ) A.a2 B.12a 2 C.92a 2 D.32a 2 知识点2 多面体体积 4.如图,在长方体AC1中,棱锥A1-ABCD 的体 积与长方体的体积之比为 ( ) A.2∶3 B.1∶3 C.1∶4 D.3∶4 5.由华裔建筑师贝聿铭设 计的巴黎卢浮宫金字塔 的形状可视为一个正四 棱锥(底面是正方形,侧 棱长都相等的四棱锥), 四个侧面由673块玻璃拼组而 成,塔 高21 米,底宽34米,则该金字塔的体积为 ( ) A.8092m3 B.4046m3 C.24276m3 D.12138m3 6.《九章算术》问题十:今 有方亭,下方五丈,上 方四丈.高五丈.问积 几何(今译:已知正四 棱台体建筑物(方亭)) 如图,下底边长a=5丈,上底边长b=4丈.高 h=5丈.问它的体积是多少立方丈? ( ) A.75 B.3053 C. 320 3 D. 400 3 知识点3 旋转体的表面积 7.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角 三角形,则圆锥的侧面积是 ( ) A.4 2π B.4π C.2 2π D.2π 8.某圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4, 母线长为10,则该圆台的表面积为 ( ) A.81π B.100π C.168π D.169π 9.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上下底面半径的比是1∶4,且该圆 台的母线长为9,则截去的圆锥的母线长为 ( ) A.94 B.3 C.12 D.36 知识点4 旋转体的体积 10.若圆锥的底面半径为3cm,侧面积为15π cm2,则该圆锥的体积为 ( ) A.4πcm3 B.9πcm3 C.12πcm3 D.36πcm3 11.现用一半径为10cm,面积为80πcm2 的扇 形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔 接部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗),则 该容器的容积为 cm3. 知识点5 球的表面积体积 12.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,三 棱 锥 A-B1CD1的表面积为4 3,则正方体外接球 的体积为 ( ) A.4 3π B.6π C.32 3π D.8 6π 13.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2BC =2,若此长方体的八个顶点都在体积为9π2 的球面上,则此长方体的表面积为 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22 14.各棱长均为 3的四面体内有一内切球,求该 球的体积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·22· |假日必刷题·数学| 15.如图,一个圆锥的底面半径为1, 高为3,在圆锥中有一个半径为 x的内接圆柱. (1)试用x表示圆柱的高; (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大,最大 侧面积是多少? (2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面 半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 3, 则圆锥的体积为 ( ) A.2 3π B.3 3π C.6 3π D.9 3π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题十一 空间点、线、面的位置关系 点、直线、平面位置关系的判断 1.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题 时要体会三个基本事实的作用,体会先部分 再整体的思想. 2.(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决 问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论 的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方 体等)也是解决这类问题的有效方法. (2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两 点在平面α内,要证明直线与平面相交,只需 说明直线与平面只有一个公共点,要证明直 线与平面平行,则必须说明直线与平面没有 公共点. 【例1】 ①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则 a∥b; ②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异 面直线; ③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定 不相交; ④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行 或异面; ⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相 交. 其中正确的序号是 . 【解析】 ①错,a与b 也可能异面;②错,a与 b也可能平行;③对, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·32· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| (3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于圆锥 的高3cm. (4)成图.连接A'A、B'B、PA'、PB',整理得到此几何体 的直观图.如图2所示. 【刷高考题】 解析 设升、斗量器的高分别为h1 mm,h2 mm,升、斗、 斛量 器 的 容 积 分 别 为V1 mm3,V2 mm3,V3 mm3,因 为 升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列,所以V3 =10V2,即π× 3252 2 ×230=10×π× 3252 2 ×h2,解 得h2=23.又V2=10V1,即π× 3252 2 ×23=10×π× 652 2 ×h1,所以h1=57.5,所以升、斗量器的高分别为 57.5mm,23mm. 答案 23 57.5 必刷题十 简单几何体的表面积和体积 【刷基础题】 1.C 设长方体底面矩形的长与宽分别为a,b,则 ab=12. 又由题意知 a2=b2×2=10,解得a=4,b=3或a=3, b=4. 故长方体的侧面积为2×(4+3)×2=28. 故选:C. 2.B 由题得侧面三角形的斜高为 3 2 +12=2, 所以该四棱锥的全面积为22+4·12 ·2·2=12. 故选B. 3.C 如 图,O1,O 分 别 为 上、下 底 面 的 中 心,D,D1 分 别 是 AC, A1C1 的 中 点,过 D1 作 D1E⊥ OD 于点E.在直角梯形ODD1O1 中,OD=13× 3 2×2a= 3 3a. O1D1= 1 3× 3 2×a= 3 6a ,∴DE =OD-O1D1= 3 6a. 在Rt△DED1 中,D1E= 33 6 a , 则D1D= 36a 2 + 33 6 a 2 = 336a 2+3336a 2=a. ∴S侧 =3×12 (a+2a)a=92a 2. 故选:C. 4.B 设长方体过同一顶点的棱长分别为a,b,c 则长方体的体积为V1=abc, 四棱锥A1-ABCD 的体轵为V2= 1 3abc , 所以棱锥A1-ABCD 的体积与长方体AC1 的体积的比 值为1 3. 故选:B. 5.A 如 图 正 四 棱 锥 P - ABCD 中, AB=BC=34,PO=21, 所以 正 四 棱 锥 P-ABCD 的体积为 1 3×SABCD ×PO= 1 3 ×34 ×34×21=8092m3, 故选:A. 6.B V=13 (S+S'+ S·S')h=13 (a2+ a2b2+b2) ·h =13 (52+ 52+42+42)×5=13×61×5= 305 3 . 故选:B. 7.C 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则l= 2r, 由题可知1 2× (2r)2=2,∴r= 2,l=2, 侧面积为πrl=2 2π, 故选:C. 8.C 该圆台的轴截面如图所示. 设圆台的上底面半径为r,则下 底面半径r'=4r,高h=4r 则它的母线长l= h2+(r'-r)2 = (4r)2+(3r)2=5r=10, ∴r=2,r'=8. ∴S侧 =π(r'+r)l=π(8+2)×10=100π, S表 =S侧 +πr2+πr'2=100π+4π+64π=168π. 故选:C. 9.B 根据题意,设圆台的上、下底面的半径分别为r、R, 设圆锥的母线长为L,截得小圆锥的母线长为l, ∵圆台的上、下底面互相平行 ∴lL = r R = 1 4 ,可得L=4l ∵圆台的母线长9,可得L-l=9 ∴34L=9 ,解得L=12, ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3 故选B. 10.C 设圆锥母线长为l,则侧面积为 S=12l ·2πr=3πl=15π,故l=5. 故圆锥的高h= l2-r2=4,圆锥体积为 V=13πr 2h=12πcm3.故选:C. 11.解析 设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l,圆锥形容 器的高和底面半径分别为h、r, 则由题意得R=10,由12Rl=80π ,得l=16π, 由l=2πr得r=8. 由R2=r2+h2 可得h=6. ∴V=13πr 2h=13π ·64·6=128π(cm3) ∴该容器的容积为128πcm3. 故答案为128π. 答案 128π 12.B 设正方体的棱长为a,则 B1D1=AC=AB1=AD1=B1C= D1C= 2a, 由于三棱锥A-B1CD1 的表面积 为4 3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·56· |参考答案| 所以S=4S△AB1C=4× 1 2× 3 2 (2a)2=4 3, 所以a= 2 所以正方体的外接球的半径为 (2)2+(2)2+(2)2 2 = 6 2 , 所以正方体的外接球的体积为4 3π · 6 2 3 = 6π 故选:B. 13.A 根据长方体的结构特征可得,长方体外接球直径等 于长方体体对角线的长, 因为长方体外接球的体积为9π 2 ,设外接球半径为R, 则4 3πR 3=9π2 ,解得R=32 , 因此2R= AB2+BC2+BB21,因为AB=2BC=2, 所以3= 4+1+BB21,解得:BB1=2, 因此长方体的表面积为:S=2×AB×BC+2×AB× BB1+2×BC×BB1=4+8+4=16. 故选:A. 【刷综合题】 14.解 如 图,在 四 面 体S-ABC 中, 取底 面△ABC 的 中 心 为O1,连 接 SO1,O1A,则SO1⊥O1A. 又AO1= 2 3× 3 2× 3=1. ∴SO1= 2. ∴四面体的体积为V=13× 3 4× (3)2× 2= 64. 设内切球球心为O,半径为r,连接OS,OA,OB,OC. ∴VS-ABC=VO-SAB +VO-SBC +VO-SAC +VO-ABC = 1 3S全 ·r =13×4× 3 4× (3)2×r= 3r= 64 , ∴r= 24 ,∴球的体积为V=4π3r 3=4π3× 2 4 3 = 2π24. 15.解 (1)所求的圆柱的底面半径为x,它的轴截面如图, BO=1,PO=3,设圆柱的高为h, 由图得=x1= 3-h 3 ,即 h=3-3x(0<x<1). (2)因为S圆柱侧 =2πxh=2πx(3-3x) =6π(x-x2), 当x=12 时,圆柱的侧面积取得最大 值为3 2π. 所以 当 圆 柱 的 底 面 半 径 为 1 2 时,它 的 侧 面 积 最 大 为 3 2π. 【刷高考题】 B 设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为 3,且侧面积相等,所以2πr× 3=πr (3)2+r2,得r2 =9,所以圆锥的体积V=13πr 2× 3=3 3π,故选B. 必刷题十一 空间点、线、面的位置关系 【刷基础题】 1.CD 对于选项A:一条直线不能确定一个平面,故选项 A不正确; 对于选项B:一条直线和直线外的一个点可以确定一个 平面,一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面, 故选项B不正确; 对于选项C:两条相交的直线可以确定一个平面,故选项 C正确; 对于选项D:两条平行的直线可以确定一个平面,故选项 D正确; 故选:CD 2.AD 对于选项A:直线l上有两点在平面内,则直线在 平面内;故选项A正确; 对于选项B:若A∈α,B∈β,则 A,B 不一定是两个面的 公共点.故选项B错误; 对于选项C:若A,B,C∈α,A,B,C∈β, 当A,B,C 三 点 共 线 时,则α,β不 一 定 重 合.故 选 项 C 错误; 对于选项D:两平面的公共点在公共直线上,故选项 D 正确.故选:AD. 3.C 由已知得直线c与b 可能为异面直线也可能为相交 直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b 为异面直线相矛盾. 4.①平行 ②异面 ③相交 ④异面 5.C 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C 或其补 角为所求的角.又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°. 6.解析 如图所示,设正方体的 表 面 ABB1A1 的 中 心 为 P,容易证明OP∥A1D,所以直线l即为直线OP,角θ即 ∠POC1. 设正方体的棱长为2,则 OP=12A1D= 2 , OC1= 6,PC1= 6, 则cos∠POC1= 2+6-6 2× 2× 6 = 1 2 3 = 36. 答案 36 7.A 对于①,直线l虽与平面α 内无数条直线平行,但l 有可能在平面α 内,∴l不一定平行于α.故①错.对于 ②,∵直线a在平面α 外包括两种情形:a∥α,a与α 相 交,故②错.对于③,由直线a∥b,b⊂α,只能说明a和b 无公共点,但a可能在平面α内,故③错.对于④,∵a∥b,b ⊂α,∴ 在 平 面α 内 与b 平 行 的 直 线 都 与a 平 行,故 ④正确. 8.D 由于直线a不平行于平面α,则a在α 内或a 与α 相 交,故A错;当a⊂α时,在平面α内存在与a 平行的直 线,故B错;因为α内的直线也可能与a 平行或异面,故 C错;由线面平行的定义知D正确. 9.C 如图,可能会出现以下两种情况. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·66· |假日必刷题·数学|