必刷题九 立体图形的直观图-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

9.如 图,在 长 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,AB=3,BC= 4,A1A=5,现有一甲壳虫从 A 出发沿长方体表面爬行到C1 来获取食物,试画出它的最短爬 行路线,并求其路程的最小值. 10.如图,圆柱形玻璃杯, 高为12cm,底面周长 为18cm,在杯内离杯 底4cm的点C处有一 滴蜂蜜,此时一只蚂蚁 正好在杯外壁,离杯上 沿4cm,与蜂蜜在轴截面相对的点A 处,则 蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少? (2024·天津卷)一个五面 体ABC-DEF.已知AD∥ BE∥CF,且两两之间距 离为1,AD=1,BE=2, CF=3,则该五面体的体 积为 ( ) A.36 B. 3 3 4 + 1 2 C.32 D. 3 3 4 - 1 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题九 立体图形的直观图 对斜二测画法理解不透,导致判断错误 错误的原因是对斜二测画法理解不透,在 用斜二测画法画直观图时,角的度数一般会发 生变化,但这种变化并不是角的度数减小了一 半,它的变化与角的两边的位置有关. 【例1】 如图①所示,△ABC 水平放置的直观 图为△A'B'C',∠B'A'C'=30°,∠A'C'B'= 90°,请 用 作 图 法 画 出 原 △ABC,并 量 出 △ABC的各内角,∠BAC 是否等于∠B'A'C' 的2倍? ∠BCA 是否等于∠B'C'A'? 【解】 如图②所示,画出直角坐标系xOy,以 点A 为原点.在直观图中过C'作C'D'∥O'y' 轴,交 A'B'于D',在 Ox 轴上截取AB=A' 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81· |假日必刷题·数学| B',AD=A'D'.过D 作DC∥Oy轴,使DC= 2D'C',连接AC,BC,则△ABC 为原三角形. 用量 角 器 量 出∠BAC,可 以 得 出∠BAC≠ 60°,所 以 ∠BAC≠2∠B'A'C',∠BCA≠ ∠B'C'A'. 【例2】 如图,梯形A1B1C1D1是 一平面图形 ABCD 的直观图. 若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1, A1B1= 2 3C1D1=2 ,A1D1=O'D1=1.求原图 形的面积. 【解】 如图,建立平面直角 坐标系xOy,在x 轴上截取 OD=O'D1=1, OC=O'C1=2. 在过 点 D 的y 轴 的 平 行 线 上 截 取 DA = 2D1A1=2. 在过点A 的x轴的平行线上截取AB=A1B1 =2. 连接BC,即得到了原图形(如图). 由作法可知,原四边形 ABCD 是直角梯形, 上、下底长度分别为 AB=2,CD=3,直角腰 长度为AD=2. 故面积为S=2+32 ×2=5. ◉高分秘籍 斜二测画法的位置特征与度量特征简记为:横 不变、纵折半,平行位置不改变. 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在 直观图中长度不变,而平行于y轴的线段在直 观图中长度要减半,同时要倾斜45°,因此平面 多边形的直观图中的计算需注意两点. (1)直观图中任何一点距x'轴的距离都为原图 形中相应点距x 轴距离的12sin45°= 2 4 倍. (2)S直观图= 24S原图. 由直观图计算原图形中的量时,注意上述两个 结论的转换. ◉速记口诀 1.对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 (1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x 轴垂直的线段,在直观图中均与x 轴成45° 或135°; (2)“二测”是指两种度量形式,即在直观图 中,平行于x'轴或z'轴的线段长度不变;平行 于y'轴的线段长度变为原来的一半. 斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定 图形位置与形状的点,并在直观图中画出. 2.在直观图中“变”的量与“不变”量 (1)平面图形用其直观图表示时,一般说来, 平行关系不变; (2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角 的大小有变化(特别是垂直关系有变化); (3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图 形的形状发生变化. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 水平放置的平面图形直观图的画法 1.用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角 三角形的直观图; (1)直角边横向;(2)斜边横向. 2.(多选题)利用斜二测画法画平面图形的直观 图时,下列说法正确的是 ( ) A.三角形的直观图是三角形 B.平行四边形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是正方形 D.菱形的直观图是菱形 知识点2 几何体的直观图画法 3.用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体 的直观图. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·91· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 4.用斜二测画法画一个上底面边长为1cm,下 底面边长为2cm,高(两底面之间的距离,即 两底 面 中 心 连 线 的 长 度)为2cm 的 正 四 棱台. 5.用斜二测画法画水平放 置的△ABC 直观图,得 到如图所示的等腰直角 三角 形△A'B'C'.已 知 点O'是 斜 边B'C'的 中 点,且 A'O'=1,则 △ABC的边BC 边上的高为 ( ) A.1 B.2 C.2 D.2 2 知识点3 直观图的还原与计算 6.如图,△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A' B'C',其中A'B'=2,则△ABC的面积为 ( ) A.2 B.4 C.2 2 D.4 2 7.已知用斜二测画法得到的某 水平放置的平面图形的直观 图是 如 图 所 示 的 等 腰 直 角 △O'B'C',其中O'B'=1,则 原平面图形中最大边长为 ( ) A.2 B.2 2 C.3 D.2 3 8.(多选题)已知一个正方形的直观图是一个平 行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的 面积可能是 ( ) A.12 B.32 C.16 D.64 9.如图所示,△ABC 中,AC=12cm,边 AC 上 的高BD=12cm,则其水平放置的直观图的 面积为 . 第9题图 第10题图 10.如图,水平放置的△ABC的斜二测直观图是 图中的△A'B'C',已知A'C'=6,B'C'=4,则 AB边的实际长度是 . 11.直 观 图(如 图)中,四 边 形 O'A'B'C'为 菱 形 且 边 长 为 2cm,则在xOy坐标中原四 边形OABC 为 (填形状),面积为 cm2. 12.如图所示,四边形 ABCD 是 一 个 梯 形,CD∥AB, CD=AO=1,三角形AOD 为等腰直角三角形,O 为 AB 的中点,试求梯形ABCD 水平放置的直 观图的面积. 13.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是 一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面 重合,圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆 锥的高为3cm,画出此几何体的直观图. (2024·北京卷)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是 龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器,其中 升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆 柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比 数列,底面直径依次为65mm,325mm,325mm, 且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 mm,升量器的高为 mm. (不计量器的厚度) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02· |假日必刷题·数学| 必刷题八 基本立体图形 【刷基础题】 1.D 对于选项 A,棱柱的底面也可以 是 三 角 形、五 边 形 等,不一定是平行四边形,所以该选项错误; 对于选项B,棱锥的底面不一定是三角形,也可以是四边 形、五边形等,所以该选项错误; 对于选项C,棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥,所 以该选项错误; 对于选项D,棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱,所 以该选项正确. 故选:D 2.解析 ①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都 是平行四边形,但不一定全等; ②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构 成的三个平面的二面角都是直二面角; ③正确,因为两个过相对侧棱的截 面的交 线 平 行 于 侧 棱,又 垂 直 于 底面; ④正 确,如 图,正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中 的 三 棱 锥 C1-ABC, 四个面都是直角三角形. 故答案为:②③④ 答案 ②③④ 3.C 将展开图还原成正方体可知,“0”在正方体中所在的 面的对面上的是“高”,故选:C. 4.解析 由题意,若以BC 为轴展开,则A,M 两点连成的 线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm, 3cm,故两点之间 的 距 离 是 13cm.若 以 BB1 为 轴 展 开,则A,M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直 角边的长 度 分 别 为1cm,4cm,故 两 点 之 间 的 距 离 是 17cm.故沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是 13cm. 答案 13 5.B 圆柱的母线与它的轴平行,故①错误; 圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心 三点的连线都可以构成直角三角形,故②正确; 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连 线不一定是圆台的母线,故③错误; 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的,故④正 确;故选:B 6.BC 当任意两点与对球心在一条直线上时,可作无数个 圆,故A错;B正确;C正确;球是几何体,而D描述的是 球面的概念. 7.解析 如图,设截面圆的半径为r,球 心与截面圆圆心之间的距离为d,球 半径为R.由示意图易构造出一个直 角三角形,解该直角三角形即可. 由已知,R=10cm,由πr2=36πcm2, 得r=6cm, 所以d= R2-r2= 100-36=8(cm). 答案 8 8.解析 棱台的侧面是一个梯形,上底为5,下底为7,腰为 9,由勾股定理得h= 92-12=4 5. 答案 4 5 【刷综合题】 9.解 把长方体的部分面展开,如图,有 三种情况. 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理 可得 AC1 的长分别为3 10, 74,4 5,由此可见乙是最短线路,所以甲壳 虫可以先在长方形ABB1A1 内由A 到 E,再在长方形BCC1B1 内由E 到C1, 其最短路程为 74. 10.解 沿 过 A 的 圆 柱 的 高 剪 开,得出矩形EFGH,过C 作 CQ⊥EF 于Q,作A 关于EH 的对 称 点 A',连 接 A'C 交 EH 于P,连接 AP,则 AP+ PC就是 蚂 蚁 到 达 蜂 蜜 的 最 短距离,因为AE=A'E,A'P =AP,所 以 AP+PC=A'P +PC=A'C.又因为CQ=12 ×18cm=9cm,A'Q=12cm-4cm+4cm=12cm,在 Rt△A'QC 中,由 勾 股 定 理 得:A'C = 92+122 = 15cm. 【刷高考题】 C 割补法.因为AD,BE,CF 两两平行,且两两之间距 离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱 和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱 长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为 32 ,底面是 上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积 V=12×1× 3 2×1+ 1 3× 3 2× 3 2= 3 2 ,故选C. 必刷题九 立体图形的直观图 【刷基础题】 1.解析 (1)直角边横向如图①②. (2)斜边横向如图③ 答案 见解析 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·36· |参考答案| 2.AB 根据斜二测画法的规则,线段的平行性不变,相交 的线段仍然相交,所以 A,B正确,相等的线段在直观图 中不一定相等,所以C,D错误. 3.解 如图所示:在空间直角坐标系中画出一个正方体的 直观图, 擦除坐标轴,即可得到直方图的直观图. 4.解析 (1)画轴.如图(1)所示,画x 轴、y 轴、z轴,三轴 相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画下底面.以点O 为中点,在x轴上截取线段MN= 2cm,在y轴上截取线段PQ=1cm,分别过 M,N 点作 y 轴的平行线,过点P,Q 作x 轴的平行线,设它们的交 点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是正四棱台的下 底面. (3)画高.在Oz上截取OO'=2cm,过O'分别作平行于 Ox,Oy的直线O'x',O'y'. (4)画上底面.在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面的 方法 画 出 边 长 为1cm 的 正 四 棱 台 的 上 底 面 的 直 观 图A'B'C'D'. (4)成图.顺次连接AA',BB',CC',DD',整理(去掉辅助 线,将被遮挡的部分改为虚线)得到正四棱台的直观图, 如图(2)所示. 5.D ∵直观图是等腰直角三角 形 A'B'C',∠B'A'C'= 90°,A'O'=1,∴A'C'= 2,根据直观图中平行于y轴的 长度变为原来的一半, ∴△ABC的边BC 上的高AC=2A'C'=2 2.故选D. 6.D 由 题 意,△ABC 的 斜 二 测 直观图为等腰, Rt△A'B'C',∠C'A'B'=45°, ∴A'C'∥O'y'. ∵A'B'=2 ∴A'C'2=A'B'2+C'B'2 ∴A'C'=2 2 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形, 则AB=2,AC=4 2,且AC⊥AB ∴S△ABC= 1 2 ·AB·AC=12×2×4 2=4 2 ∴原平面图形的面积是4 2 故选:D. 7.D 由斜坐标系中作A'C'⊥B'C'交x'轴于A'点,由O' B'=1,△O'B'C'等腰直角三角形A'C'= 2, 由斜二测法的纵半横不变,可将直观图在直角坐标系中 还原成原平面图形如下: ∴AC=2A'C'=2 2,OA=1, ∴最长边BC= AC2+AB2=2 3, 故选:D 8.CD 根据直观图的画法,平行于x轴的线段长度不变, 平行于y轴的线段变为原来的一半,于是长为4的边如 果平行于x轴,则正方形边长为4,面积为16,边长为4 的边如果平行于y轴,则正方形边长为8,面积是64. 9.解析 画x'轴,y'轴,两轴交于O',使∠x'O'y'=45°,作 △ABC的直观图如图所示,则A'C'=AC=12cm,B'D' =12BD=6cm , 故△A'B'C'的高为 22B'D'=3 2cm , 所以S△A'B'C'= 1 2×12×3 2=18 2 (cm2), 即水平放置的直观图的面积为18 2cm2. 答案 18 2(cm2) 10.解析 由斜二 测 画 法,可 知△ABC 是 直 角 三 角 形,且 ∠BCA=90°,AC=6,BC=4×2=8,则AB= AC2+BC2 =10. 答案 10 11.解析 由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC 为 矩形,其中OA=2cm,OC=4cm, ∴OABC的面积S=2×4=8(cm2). 答案 矩形 8 【刷综合题】 12.解 在 梯 形 ABCD 中,AB=2,高 OD=1,由 于 梯 形 ABCD 水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD 和下底 AB 的长度都不变,在直观图中,O'D'=12OD ,梯形的 高D'E'= 24 ,于是梯形A'B'C'D 的面积为12× (1+2) × 24= 3 2 8 . 13.解 (1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使 ∠xOz=90°. (2)画圆柱的两底面,在x 轴上取A、B 两点,使 AB 的 长度等于3cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭 圆过A,B 两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点 O',使OO'=4cm,过O'作Ox 的平行线O'x',类似圆柱 下底面的作法作出圆柱的上底面. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·46· |假日必刷题·数学| (3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于圆锥 的高3cm. (4)成图.连接A'A、B'B、PA'、PB',整理得到此几何体 的直观图.如图2所示. 【刷高考题】 解析 设升、斗量器的高分别为h1 mm,h2 mm,升、斗、 斛量 器 的 容 积 分 别 为V1 mm3,V2 mm3,V3 mm3,因 为 升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列,所以V3 =10V2,即π× 3252 2 ×230=10×π× 3252 2 ×h2,解 得h2=23.又V2=10V1,即π× 3252 2 ×23=10×π× 652 2 ×h1,所以h1=57.5,所以升、斗量器的高分别为 57.5mm,23mm. 答案 23 57.5 必刷题十 简单几何体的表面积和体积 【刷基础题】 1.C 设长方体底面矩形的长与宽分别为a,b,则 ab=12. 又由题意知 a2=b2×2=10,解得a=4,b=3或a=3, b=4. 故长方体的侧面积为2×(4+3)×2=28. 故选:C. 2.B 由题得侧面三角形的斜高为 3 2 +12=2, 所以该四棱锥的全面积为22+4·12 ·2·2=12. 故选B. 3.C 如 图,O1,O 分 别 为 上、下 底 面 的 中 心,D,D1 分 别 是 AC, A1C1 的 中 点,过 D1 作 D1E⊥ OD 于点E.在直角梯形ODD1O1 中,OD=13× 3 2×2a= 3 3a. O1D1= 1 3× 3 2×a= 3 6a ,∴DE =OD-O1D1= 3 6a. 在Rt△DED1 中,D1E= 33 6 a , 则D1D= 36a 2 + 33 6 a 2 = 336a 2+3336a 2=a. ∴S侧 =3×12 (a+2a)a=92a 2. 故选:C. 4.B 设长方体过同一顶点的棱长分别为a,b,c 则长方体的体积为V1=abc, 四棱锥A1-ABCD 的体轵为V2= 1 3abc , 所以棱锥A1-ABCD 的体积与长方体AC1 的体积的比 值为1 3. 故选:B. 5.A 如 图 正 四 棱 锥 P - ABCD 中, AB=BC=34,PO=21, 所以 正 四 棱 锥 P-ABCD 的体积为 1 3×SABCD ×PO= 1 3 ×34 ×34×21=8092m3, 故选:A. 6.B V=13 (S+S'+ S·S')h=13 (a2+ a2b2+b2) ·h =13 (52+ 52+42+42)×5=13×61×5= 305 3 . 故选:B. 7.C 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则l= 2r, 由题可知1 2× (2r)2=2,∴r= 2,l=2, 侧面积为πrl=2 2π, 故选:C. 8.C 该圆台的轴截面如图所示. 设圆台的上底面半径为r,则下 底面半径r'=4r,高h=4r 则它的母线长l= h2+(r'-r)2 = (4r)2+(3r)2=5r=10, ∴r=2,r'=8. ∴S侧 =π(r'+r)l=π(8+2)×10=100π, S表 =S侧 +πr2+πr'2=100π+4π+64π=168π. 故选:C. 9.B 根据题意,设圆台的上、下底面的半径分别为r、R, 设圆锥的母线长为L,截得小圆锥的母线长为l, ∵圆台的上、下底面互相平行 ∴lL = r R = 1 4 ,可得L=4l ∵圆台的母线长9,可得L-l=9 ∴34L=9 ,解得L=12, ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3 故选B. 10.C 设圆锥母线长为l,则侧面积为 S=12l ·2πr=3πl=15π,故l=5. 故圆锥的高h= l2-r2=4,圆锥体积为 V=13πr 2h=12πcm3.故选:C. 11.解析 设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l,圆锥形容 器的高和底面半径分别为h、r, 则由题意得R=10,由12Rl=80π ,得l=16π, 由l=2πr得r=8. 由R2=r2+h2 可得h=6. ∴V=13πr 2h=13π ·64·6=128π(cm3) ∴该容器的容积为128πcm3. 故答案为128π. 答案 128π 12.B 设正方体的棱长为a,则 B1D1=AC=AB1=AD1=B1C= D1C= 2a, 由于三棱锥A-B1CD1 的表面积 为4 3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·56· |参考答案|