必刷题八 基本立体图形-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

10.计算(1) (-1+i)(2+i) i3 ;(2) (1+2i)2+3(1-i) 2+i ; (3)1+i1-i 6 + 2+ 3i 3- 2i . 11.已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a, b∈R)的一个根. (1)求实数a,b的值; (2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一 个根,并给予证明. (2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z| = ( ) A.0 B.1 C.2 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题八 基本立体图形 多面体表面上两点间的最短距离的问题 (解决侧面展开图相关问题的解题策略) 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开 图是什么样的平面图形,并进行合理的空间想 象,且记住以下常见几何体的侧面展开图: 【例】 如图所示,有一圆锥形粮堆, 母线与底面圆的直径构成边长为 6m的正三角形ABC,粮堆母线 AC的中点P处有一只老鼠正在 偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧 面到达P处捕捉老鼠,求小猫所经过的最短路 程.(结果不取近似值) 【解析】 设底面圆的周长为l. ∵△ABC 为正三角形, ∴BC=6, ∴l=2π×3=6π, 根据底面圆的周长等于展开 后扇形的弧长,得: nπ×6 180°=6π , 故n=180°,则∠B'AC=90°, ∴B'P= 36+9=3 5(m), ∴小猫所经过的最短路程是3 5m. ◉高分秘籍 将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决 立体几何问题基本的、常用的方法.立体图形上 两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转 化为平面图形,利用轴对称、平移或旋转等几何 图形的变换,运用“两点之间,线段最短”来解 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· |假日必刷题·数学| 决.具体步骤如下: (1)将几何体沿着某棱剪开后展开,画出其侧面 展开图; (2)将所求问题转化为平面上的线段问题; (3)结合已知条件求得结果. ◉速记口诀 1.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平 面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的, 则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面 展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面 体可有多个平面展开图. 2.求几何体表面上两点间的距离的方法:求从 几何体的表面上一点,沿几何体表面运动到 另一点,所走过的最短距离,常将几何体沿某 条棱剪开,使两点展在一个平面上,转化为求 平面上两点间的最短距离问题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特点 1.下列命题正确的是 ( ) A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥的底面一定是三角形 C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 2.给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行 四边形; ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个 侧面也两两垂直; ③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都 垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ④存在每个面都是直角三角形的四面体. 其中正确命题的序号是 . 知识点2 空间几何体的侧面展开图 3.如图是一个正方体的表面展开图,则图中“0” 在正方体中所在的面的对面上的是 ( ) 2 0 2 1 高 考 A.2 B.1 C.高 D.考 4.如图,M 是棱长为2cm 的正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的棱CC1 的中点,沿正方体表面 从点A 到点M 的最短路程是 cm. 知识点3 旋转体的结构特征 5.给出下列命题: ①圆柱的母线与它的轴可以不平行; ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及 底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三 角形; ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则 这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平 行的. 其中正确的是 ( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 6.(多选题)下列命题中正确的是 ( ) A.过球面上任意两点只能作一个经过球心 的圆 B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线 是球的直径 C.用不过球心的截面截球,球心和截面圆心 的连线垂直于截面 D.球是与定点的距离等于定长的所有点的 集合 知识点4 旋转体的有关计算 7.已知球的半径为10cm,若它的一个截面圆的 面积为36πcm2,则球心与截面圆圆心的距离 是 cm. 8.正四棱台的上、下底面边长分别是5和7,侧 棱长为9,则棱台的斜高等于 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·71· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 9.如 图,在 长 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,AB=3,BC= 4,A1A=5,现有一甲壳虫从 A 出发沿长方体表面爬行到C1 来获取食物,试画出它的最短爬 行路线,并求其路程的最小值. 10.如图,圆柱形玻璃杯, 高为12cm,底面周长 为18cm,在杯内离杯 底4cm的点C处有一 滴蜂蜜,此时一只蚂蚁 正好在杯外壁,离杯上 沿4cm,与蜂蜜在轴截面相对的点A 处,则 蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少? (2024·天津卷)一个五面 体ABC-DEF.已知AD∥ BE∥CF,且两两之间距 离为1,AD=1,BE=2, CF=3,则该五面体的体 积为 ( ) A.36 B. 3 3 4 + 1 2 C.32 D. 3 3 4 - 1 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题九 立体图形的直观图 对斜二测画法理解不透,导致判断错误 错误的原因是对斜二测画法理解不透,在 用斜二测画法画直观图时,角的度数一般会发 生变化,但这种变化并不是角的度数减小了一 半,它的变化与角的两边的位置有关. 【例1】 如图①所示,△ABC 水平放置的直观 图为△A'B'C',∠B'A'C'=30°,∠A'C'B'= 90°,请 用 作 图 法 画 出 原 △ABC,并 量 出 △ABC的各内角,∠BAC 是否等于∠B'A'C' 的2倍? ∠BCA 是否等于∠B'C'A'? 【解】 如图②所示,画出直角坐标系xOy,以 点A 为原点.在直观图中过C'作C'D'∥O'y' 轴,交 A'B'于D',在 Ox 轴上截取AB=A' 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81· |假日必刷题·数学| 必刷题八 基本立体图形 【刷基础题】 1.D 对于选项 A,棱柱的底面也可以 是 三 角 形、五 边 形 等,不一定是平行四边形,所以该选项错误; 对于选项B,棱锥的底面不一定是三角形,也可以是四边 形、五边形等,所以该选项错误; 对于选项C,棱锥被平面分成的两部分可能都是棱锥,所 以该选项错误; 对于选项D,棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱,所 以该选项正确. 故选:D 2.解析 ①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都 是平行四边形,但不一定全等; ②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构 成的三个平面的二面角都是直二面角; ③正确,因为两个过相对侧棱的截 面的交 线 平 行 于 侧 棱,又 垂 直 于 底面; ④正 确,如 图,正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中 的 三 棱 锥 C1-ABC, 四个面都是直角三角形. 故答案为:②③④ 答案 ②③④ 3.C 将展开图还原成正方体可知,“0”在正方体中所在的 面的对面上的是“高”,故选:C. 4.解析 由题意,若以BC 为轴展开,则A,M 两点连成的 线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm, 3cm,故两点之间 的 距 离 是 13cm.若 以 BB1 为 轴 展 开,则A,M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直 角边的长 度 分 别 为1cm,4cm,故 两 点 之 间 的 距 离 是 17cm.故沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是 13cm. 答案 13 5.B 圆柱的母线与它的轴平行,故①错误; 圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心 三点的连线都可以构成直角三角形,故②正确; 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连 线不一定是圆台的母线,故③错误; 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的,故④正 确;故选:B 6.BC 当任意两点与对球心在一条直线上时,可作无数个 圆,故A错;B正确;C正确;球是几何体,而D描述的是 球面的概念. 7.解析 如图,设截面圆的半径为r,球 心与截面圆圆心之间的距离为d,球 半径为R.由示意图易构造出一个直 角三角形,解该直角三角形即可. 由已知,R=10cm,由πr2=36πcm2, 得r=6cm, 所以d= R2-r2= 100-36=8(cm). 答案 8 8.解析 棱台的侧面是一个梯形,上底为5,下底为7,腰为 9,由勾股定理得h= 92-12=4 5. 答案 4 5 【刷综合题】 9.解 把长方体的部分面展开,如图,有 三种情况. 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理 可得 AC1 的长分别为3 10, 74,4 5,由此可见乙是最短线路,所以甲壳 虫可以先在长方形ABB1A1 内由A 到 E,再在长方形BCC1B1 内由E 到C1, 其最短路程为 74. 10.解 沿 过 A 的 圆 柱 的 高 剪 开,得出矩形EFGH,过C 作 CQ⊥EF 于Q,作A 关于EH 的对 称 点 A',连 接 A'C 交 EH 于P,连接 AP,则 AP+ PC就是 蚂 蚁 到 达 蜂 蜜 的 最 短距离,因为AE=A'E,A'P =AP,所 以 AP+PC=A'P +PC=A'C.又因为CQ=12 ×18cm=9cm,A'Q=12cm-4cm+4cm=12cm,在 Rt△A'QC 中,由 勾 股 定 理 得:A'C = 92+122 = 15cm. 【刷高考题】 C 割补法.因为AD,BE,CF 两两平行,且两两之间距 离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱 和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱 长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为 32 ,底面是 上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积 V=12×1× 3 2×1+ 1 3× 3 2× 3 2= 3 2 ,故选C. 必刷题九 立体图形的直观图 【刷基础题】 1.解析 (1)直角边横向如图①②. (2)斜边横向如图③ 答案 见解析 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·36· |参考答案|