必刷题七 复数的四则运算-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

正确;纯虚数的平方小于0,如i2=-1,故④错误;-1 的平方根不止一个,因为(±i)2=-1,故⑤错误;2i是 虚数,故⑥错误.综上可得,①②③正确. 答案 ①②③ 【刷综合题】 11.解 设y=bi(b∈R且b≠0)代入(3x-10)+i=y-3i, 整理得(3x-10)+i=bi-3i, 由复数相等的充要条件得 3x-10=0, 1=b-3, 解得 x= 10 3 , b=4, ∴x=103,y=4i. 12.解 (1)若m2-2m-15=0,则z为实数,此时m=-3 或者m=5. (2)若 m2-2m-15≠0,则z 为 虚 数,此 时 m≠-3 且m≠5. (3)若 m-3=0 m2-2m-15≠0 ,则z为纯虚数,此时m=3. 即(1)m=5或m=-3;(2)m≠5且m≠-3; (3)m=3. 【刷高考题】 D 因为z= 2i,所以z=- 2i,z·􀭵z=2,故选D. 必刷题六 复数的几何意义 【刷基础题】 1.D 因为a2-4a+5=(a-2)2+1>0,-b2+2b-6= -(b-1)2-5<0, 所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限. 故选:D. 2.C 复数z=-lg(x2+2)-(2x+2-x-1)i(x∈R)的实 部a=-lg(x2+2)、虚部b=-(2x+2-x-1). 因为x2+2≥2>1⇒lg(x2+2)>0,所以a<0. 因为2x+2-x≥2⇒2x+2-x-1≥1>0,所以b<0. 所以复 数z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 三 象 限.故 选:C. 3.B 依题意,AC→对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3 -4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5. 4.解 ∵向量BA→对应的复数为1+2i,向量BC→对应的复数 为3-i, ∴向量AC→对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又OC→ =OA→+AC→, ∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. ∵AD→=BC→,∴向量AD→对应的复数为3-i,即AD→=(3,-1). 设D(x,y),则AD →=(x-2,y-1)=(3,-1), ∴ x-2=3 , y-1=-1, 解得 x=5,y=0, ∴点D 对应的复数为5. 5.解析 由题意,设复数z=x+yi(x,y∈R), 因为|z-i|=1,可 得 x2+(y-1)2=1,整 理 得x2+ (y-1)2=1, 即复数z在复平面内对应的点为(x,y)则x,y满足的关 系式为x2+(y-1)2=1. 故答案为:x2+(y-1)2=1. 答案 x2+(y-1)2=1 6.解析 ∵1+ai=b+ (2a+3)i,∴ 1=ba=2a+3 ,解 得 a=-3 b=1 , 则|a+3bi|=|-3+3i|= (-3)2+32= 18=3 2, 故答案为:(1)-3;(2)3 2 答案 -3 3 2 7.解 (1)AO→=-OA→,∴AO→所表示的复数为-3-2i. ∵BC→=AO→,∴BC→所表示的复数为-3-2i. (2)CA→=OA→-OC→. ∴CA→所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)对角线OB→=OA→+OC→,它所对应的复数z=(3+2i) +(-2+4i)=1+6i,|OB→|= 12+62= 37. 8.解 如图,因为AC与BD 的交点M 是各自的中点, 所以有zM= zA+zC 2 = zB+zD 2 , 所以zD=zA+zC-zB=1-7i, 因为AC→:zC-zA=2-(-5-2i) =7+2i, 所以|AC→|=|7+2i|= 72+22 = 53, 因为BD→:zD -zB =(1-7i)- (-4+5i)=5-12i, 所以|BD→|=|5-12i|= 52+122=13. 故点D 对应的复数是1-7i,AC与BD 的长分别是 53 和13. 9.解析 根据复数模的计算公式得:|z2-2z|=|1+2i+i2 -2-2i|=2.故答案为:2 答案 2 10.解析 |z+3+4i|≤2的几何意义为复平面内 动点Z到定点A(-3,-4)的距离小于等于2的点的集 合, |z|表示复平面内动点Z到原点的距离, ∵|OA|= (-3)2+(-4)2=5, ∴5-2≤|z|≤5+2. ∴|z|的取值范围为[3,7]. 故答案为:[3,7]. 答案 [3,7] 【刷综合题】 11.解 设z=x+yi(x,y∈R), 则由条件得x2-y2+2xyi- x2+y2-6=0. 由复数相等的充要条件得 x2-y2- x2+y2-6=0, 2xy=0, 解得 x 2- x2-6=0, y=0 或 y 2+ y2+6=0, x=0 (无解), 即 ( x 2-3)( x2+2)=0, y=0, 解得 x=±3,y=0. 故z=3或z=-3. 12.解 (1)z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i, f(z1-z2)=f(5+3i)=(5+3i)+1-i=6+2i. (2)z1+z2=(2cosθ- 2)+(2sinθ-1)i, 由题意得 2cosθ- 2<0, 2sinθ-1>0, 即 cosθ< 22 , sinθ>12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又θ∈[0,2π],所以θ∈ π4 ,5π 6 . 【刷高考题】 A 因为z=5+i,所以z=5-i,所以i(z+z)=10i,故 选A. 必刷题七 复数的四则运算 【刷基础题】 1.解析 ∵z1+z2=5-6i, ∴(x+2i)+(3-yi)=5-6i,∴ x+3=5, 2-y=-6, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·16· |参考答案| 即 x=2, y=8, ∴z1=2+2i, z2=3-8i,∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.故 答案为:-1+10i. 答案 -1+10i 2.解析 由于AC→=AB→+BC→,所以AC→对应的复数为 6-5i+(-1+4i)=6-1+(4-5)i=5-i. 故答案为:5-i 答案 5-i 3.解析 因为 z1+i=2+i ,所以z=(1+i)(2+i)=1+3i,所 以z=1-3i故答案为:1-3i. 答案 1-3i 4.解析 z=3+4i1+2i= (3+4i)(1-2i) 5 = 11-2i 5 , |z|= 1255 = 5 ,故答案为:5. 答案 5 5.C A项,i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数; B项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数; C项,(1+i)2=2i,2i是纯虚数; D项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数.故选C. 6.解析 (1)6 对 应 的 向 量 如 答 图 中OZ1 →, ∵r=6,cosθ=1,sinθ=0, 又θ∈[0,2π), ∴θ=0,∴6=6(cos0+isin0). (2)1+i对 应 的 向 量 如 答 图 中OZ2 →, ∵r= 2,cosθ= 22 ,sinθ= 22 , 又θ∈[0,2π),∴θ=π4 , ∴1+i= 2 cosπ4+isin π 4 . (3)1- 3i对 应 的 向 量 如 答 图 中OZ3 → ∵r= 1+3=2,cosθ=12 ,sinθ =- 32 , 又θ∈[0,2π],∴θ=5π3 , ∴1- 3i=2cos5π3+isin 5π 3 . (4)- 32+ 1 2i 对应的向量如答图中OZ4 →, ∵r=1,cosθ=- 32 ,sinθ=12 ,又θ∈[0,2π), ∴θ=5π6. ∴- 32+ 1 2i=cos 5π 6+isin 5π 6. 答案 (1)6(cos0+isin0),画向量见解析 (2)2 cosπ4+isin π 4 ,画向量见解析 (3)2cos5π3+isin 5π 3 ,画向量见解析 (4)cos5π6+isin 5π 6 ,画向量见解析 7.解析 (1)4cosπ3+isin π 3 =4cosπ3+ 4sinπ3 i= 4×12+ 4× 3 2 i=2+2 3i. (2)3 cos5π4+isin 5π 4 =3cos5π4 + 3sin5π4 i=3× - 22 +3× - 22 i=-3 22 -3 22i. 答案 (1)2+2 3i (2)-3 22 - 3 2 2i 8.C 4(cosπ+isinπ)÷2cosπ3+isin π 3 =2cosπ-π3 +isin π-π3 =2cos2π3+isin 2π 3 =-1+ 3i. 故选C. 9.AC 对于A选项,z=r(cosθ+isinθ),则z2=r2(cos2θ+ isin2θ),可得|z2|=|r2(cos2θ+isin2θ)|=r2,|z|2=|r (cosθ+isin)|2=r2,A选项正确; 对于B选项,当r=1,θ=π3 时, z3=(cosθ+isinθ)3=cos3θ+isin3θ=cosπ+isinπ= -1,B选项错误; 对于C选项,当r=1,θ=π3 时,z=cosπ3+isin π 3= 1 2 + 32i ,则z=12- 3 2i ,C选项正确; 对于D选项,zn=(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ=cos nπ 4+isin nπ 4 , 取n=4,则n为偶数,则z4=cosπ+isinπ=-1不是纯 虚数,D选项错误. 故选:AC. 【刷综合题】 10.解 (1) (-1+i)(2+i) i3 =-3+i-i =-1-3i. (2) (1+2i)2+3(1-i) 2+i = -3+4i+3-3i 2+i = i 2+i= i(2-i) 5 = 1 5+ 2 5i. (3)1+i1-i 6 + 2+ 3i 3- 2i = (1+i)2 2 6 +i (3- 2i) 3- 2i =i6 +i=-1+i. 11.解 (1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0, 得(-a+b)+(a-2)i=0, ∴ -a+b=0 , a-2=0, 解得 a=2,b=2. (2)由(1)知方程为x2+2x+2=0. 设另一个根为x2,由根与系数的关系,得-1+i+x2= -2, ∴x2=-1-i. 把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0, 则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边, ∴x2=-1-i是方程的另一个根. 【刷高考题】 C |z|=|-1-i|= (-1)2+(-1)2= 2,故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·26· |假日必刷题·数学| 知识点5 复数加法、减法几何意义的应用 9.已知i是虚数单位,若z=1+i,则|z2-2z|= . 10.若z∈C且|z+3+4i|≤2,则|z|的取值范围 为 . 11.已知复数z满足条件z2-|z|-6=0,求复 数z. 12.(1)若f(z)=z+1-i,z1=3+4i,z2=-2+ i,求f(z1-z2); (2)若z1=2cosθ-i,z2=- 2+2isinθ(0≤ θ≤2π),且z1+z2在复平面内对应的点位于 第二象限,求θ的取值范围. (2024·全国甲卷(理))若z=5+i,则i(z+z)= ( ) A.10i B.2i C.10 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题七 复数的四则运算 1.在复数范围内,一元二次方程ax2+bx+c=0 根的情况: 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式 Δ=b2-4ac. ①当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根. ②当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根. ③当Δ=b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0 有两个虚数根,且两个虚数根互为共轭复数. 2.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx +c=0(a≠0)的求根公式为: (1)当Δ≥0时,x=-b± b 2-4ac 2a ; (2)当Δ<0时, x=-b± - (b2-4ac)i 2a . 【例1】 已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ ki=0有实根,求这个实根及实数k的值. 【解】 设x=x0 是方程的实根,代入方程并 整理得(x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0. 由复数相等的条件得 x20+kx0+2=0, 2x0+k=0, 解得 x0= 2, k=-2 2, 或 x0=- 2 , k=2 2, ∴方程的实根为x= 2或x=- 2, 相应的k的值为k=-2 2或k=2 2. 【例2】 已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4. (1)求复数z的共轭复数; (2)若复数ω=z+ai,且复数ω对应向量的模 不大于复数z 所对应向量的模,求实数a的 取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41· |假日必刷题·数学| 【解】 (1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所 以复数z的共轭复数为-2-4i. (2)ω= -2+(4+a)i,复 数 ω 对 应 向 量 为(-2,4+a), 其模为 4+(4+a)2= 20+8a+a2. 又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2 5. 由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应 向量的模得,20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a +8)≤0,所以,实数a的取值范围是[-8,0]. ◉高分秘籍 1.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)将除式写为分式; (2)将分子、分母同乘分母的共轭复数; (3)将分子、分母分别进行乘法运算,并将其 化为复数的代数形式. 2.常用公式 (1)1i=-i ;(2)1+i1-i=i ;(3)1-i1+i=-i. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 复数代数表示式的加、减法运算 1.已知i为虚数单位,设z1=x+2i,z2=3-yi (x,y∈R),且 z1+z2=5-6i,则 z1- z2= . 2.在复平面上,如果AB →,BC → 对应的复数分别 是6-5i,-1+4i,那 么AC → 对 应 的 复 数 为 . 知识点2 复数代数表示式的乘除法运算 3.已知 z1+i=2+i ,则复数z= . 4.已知复数z满足(1+2i)z=3+4i(i为虚数单 位),则复数z的模为 . 5.下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 知识点3 复数的代数形式与三角形式互化 6.画出下列复数对应的向量,并把这些复数表 示成三角形式: (1)6;(2)1+i;(3)1- 3i;(4)- 32+ 1 2i ; 7.把下列复数的三角形式化成代数形式. (1)4cosπ3+isin π 3 ; (2)3cos5π4+isin 5π 4 . 知识点4 复数三角形式的乘除法运算 8.4(cosπ+isinπ)÷2cosπ3+isin π 3 = ( ) A.1+ 3i B.1- 3i C.-1+ 3i D.-1- 3i 9.(多选题)任何一个复数z=a+bi(其中a、b∈ R,i为虚数单位)都可以表示成:z=r(cosθ+ isinθ)的形式,通常称之为复数z的三角形 式.法国数学家棣莫弗发现:zn=[r(cosθ+ isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*),我们 称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下 列说法正确的是 ( ) A.|z2|=|z|2 B.当r=1,θ=π3 时,z3=1 C.当r=1,θ=π3 时,z=12- 3 2i D.当r=1,θ=π4 时,若n为偶数,则复数zn 为纯虚数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·51· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 10.计算(1) (-1+i)(2+i) i3 ;(2) (1+2i)2+3(1-i) 2+i ; (3)1+i1-i 6 + 2+ 3i 3- 2i . 11.已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a, b∈R)的一个根. (1)求实数a,b的值; (2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一 个根,并给予证明. (2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z| = ( ) A.0 B.1 C.2 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题八 基本立体图形 多面体表面上两点间的最短距离的问题 (解决侧面展开图相关问题的解题策略) 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开 图是什么样的平面图形,并进行合理的空间想 象,且记住以下常见几何体的侧面展开图: 【例】 如图所示,有一圆锥形粮堆, 母线与底面圆的直径构成边长为 6m的正三角形ABC,粮堆母线 AC的中点P处有一只老鼠正在 偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧 面到达P处捕捉老鼠,求小猫所经过的最短路 程.(结果不取近似值) 【解析】 设底面圆的周长为l. ∵△ABC 为正三角形, ∴BC=6, ∴l=2π×3=6π, 根据底面圆的周长等于展开 后扇形的弧长,得: nπ×6 180°=6π , 故n=180°,则∠B'AC=90°, ∴B'P= 36+9=3 5(m), ∴小猫所经过的最短路程是3 5m. ◉高分秘籍 将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决 立体几何问题基本的、常用的方法.立体图形上 两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转 化为平面图形,利用轴对称、平移或旋转等几何 图形的变换,运用“两点之间,线段最短”来解 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· |假日必刷题·数学|