必刷题六 复数的几何意义-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

12.实数m 取怎样的值时,复数z=m-3+(m2 -2m-15)i是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? (2024·全国甲卷(文))设z= 2i,则z·􀭵z= ( ) A.-2 B.2 C.- 2 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题六 复数的几何意义 复数的几何意义的应用 复数的几何意义 1.每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定, 当把实部和虚部作为一个有序数对时,就和 点的坐标一样,从而可以用点表示复数,因此 复数与复平面内的点是一一对应关系. 2.复数与复平面内以原点为始点的向量也可以 建立一一对应关系. 如图,在复平面内,复数z =a+bi(a、b∈R)可以用点 Z(a,b)或向量OZ → 表示. 复数z=a+bi(a、b∈R)与 点Z(a,b)和向量OZ → 的一一对应关系如下: 复数z=a+bi(a、b∈R)对应的向量为OZ →,则 OZ → 的模叫做复数z的模. 3.复数模的几何意义 (1)复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点 (0,0)的距离. (2)由向量的几何意义知,|z1-z2|表示在复 平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离. 【例1】 (1)设OZ1 → 及OZ2 → 分别与复数z1=5+3i 及复数z2=4+i对应,计算z1-z2,并在复平 面内作出OZ1 → -OZ2 → . (2)设OZ1 → 及OZ2 → 分别与复数z1=1+3i及复 数z2=2+i对应,计算z1+z2,并在复平面内 作出OZ1 → +OZ2 → . 【解】 (1)z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5- 4)+(3-1)i=1+2i.(如图①) ① ② (2)z1+z2=(1+3i)+(2+i)=(1+2)+(3 +1)i=3+4i.(如图②) 【例2】 已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+ z2|= 3. 求|z1-z2|. 【解】 根据复数加减法 的几何意义,由|z1|=|z2| 知,以OA →,OB → 为邻边的 平行四边形OACB 是菱 形.如图,OA → 对应的复数为z1,OB → 对应的复 数为z2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·21· |假日必刷题·数学| ∴|OA → |=|OB → |,OC → 对应的复数为z1+z2, ∴|OC → |= 3. 在△AOC 中,|OA → |=|AC → |=1,|OC → |= 3, ∴∠AOC=30°.同理得∠BOC=30°, ∴△OAB 为等边三角形,则|BA → |=1,BA → 对 应的复数为z1-z2, ∴|z1-z2|=1. ◉高分秘籍 1.已知复数对应点的位置求参数范围,可建立 不等式求解. 2.已知复数对应的点进行运算时,可建立方程 待定系数求解. 3.研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑 模的几何意义求解. 4.若复数z=x+yi(x,y∈R),则|z|=r,点Z 在以(0,0)为圆心,r为半径的圆上. ◉速记口诀 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平 面内对应的向量OZ → =(a,b). 2.复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标 运算求得. 3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不 变的,但其起点与终点对应的复数可能改变. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 复数与复平面内点的关系 1.若a,b∈R,则复数(a2-4a+5)+(-b2+2b -6)i表示的点在 ( ) A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 2.复数z=-lg(x2+2)-(2x+2-x-1)i(x∈ R)在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 知识点2 复数与复平面内向量的关系 3.在平行四边形ABCD 中,若A,C对应的复数 分别为-1+i和-4-3i,则该平行四边形的 对角线AC的长度为 ( ) A.5 B.5 C.2 5 D.10 4.已知复平面内平行四边形 ABCD,A 点对应 的复数为2+i,向量BA → 对应的复数为1+2i, 向量BC → 对应的复数为3-i,求点C,D 对应的 复数. 知识点3 复数的模 5.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点 为(x,y)则x,y满足的关系式为 . 6.已知a,b∈R,1+ai=b+(2a+3)i,则a= ,|a+3bi|= . 知识点4 复数加减法及复数模的几何意义 7.如图,平行四边形OABC的顶 点O,A,C对应复数分别为0, 3+2i,-2+4i,试求 (1)AO → 所表示的复数,BC → 所表 示的复数; (2)对角线CA → 所表示的复数; (3)对角线OB → 所表示的复数及OB → 的长度. 8.已知四边形ABCD 是复平面上的平行四边形, 顶点A,B,C分别对应于复数-5-2i,-4+5i, 2,求点D对应的复数及对角线AC,BD的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 知识点5 复数加法、减法几何意义的应用 9.已知i是虚数单位,若z=1+i,则|z2-2z|= . 10.若z∈C且|z+3+4i|≤2,则|z|的取值范围 为 . 11.已知复数z满足条件z2-|z|-6=0,求复 数z. 12.(1)若f(z)=z+1-i,z1=3+4i,z2=-2+ i,求f(z1-z2); (2)若z1=2cosθ-i,z2=- 2+2isinθ(0≤ θ≤2π),且z1+z2在复平面内对应的点位于 第二象限,求θ的取值范围. (2024·全国甲卷(理))若z=5+i,则i(z+z)= ( ) A.10i B.2i C.10 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题七 复数的四则运算 1.在复数范围内,一元二次方程ax2+bx+c=0 根的情况: 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式 Δ=b2-4ac. ①当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根. ②当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根. ③当Δ=b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0 有两个虚数根,且两个虚数根互为共轭复数. 2.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx +c=0(a≠0)的求根公式为: (1)当Δ≥0时,x=-b± b 2-4ac 2a ; (2)当Δ<0时, x=-b± - (b2-4ac)i 2a . 【例1】 已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ ki=0有实根,求这个实根及实数k的值. 【解】 设x=x0 是方程的实根,代入方程并 整理得(x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0. 由复数相等的条件得 x20+kx0+2=0, 2x0+k=0, 解得 x0= 2, k=-2 2, 或 x0=- 2 , k=2 2, ∴方程的实根为x= 2或x=- 2, 相应的k的值为k=-2 2或k=2 2. 【例2】 已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4. (1)求复数z的共轭复数; (2)若复数ω=z+ai,且复数ω对应向量的模 不大于复数z 所对应向量的模,求实数a的 取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41· |假日必刷题·数学| 正确;纯虚数的平方小于0,如i2=-1,故④错误;-1 的平方根不止一个,因为(±i)2=-1,故⑤错误;2i是 虚数,故⑥错误.综上可得,①②③正确. 答案 ①②③ 【刷综合题】 11.解 设y=bi(b∈R且b≠0)代入(3x-10)+i=y-3i, 整理得(3x-10)+i=bi-3i, 由复数相等的充要条件得 3x-10=0, 1=b-3, 解得 x= 10 3 , b=4, ∴x=103,y=4i. 12.解 (1)若m2-2m-15=0,则z为实数,此时m=-3 或者m=5. (2)若 m2-2m-15≠0,则z 为 虚 数,此 时 m≠-3 且m≠5. (3)若 m-3=0 m2-2m-15≠0 ,则z为纯虚数,此时m=3. 即(1)m=5或m=-3;(2)m≠5且m≠-3; (3)m=3. 【刷高考题】 D 因为z= 2i,所以z=- 2i,z·􀭵z=2,故选D. 必刷题六 复数的几何意义 【刷基础题】 1.D 因为a2-4a+5=(a-2)2+1>0,-b2+2b-6= -(b-1)2-5<0, 所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限. 故选:D. 2.C 复数z=-lg(x2+2)-(2x+2-x-1)i(x∈R)的实 部a=-lg(x2+2)、虚部b=-(2x+2-x-1). 因为x2+2≥2>1⇒lg(x2+2)>0,所以a<0. 因为2x+2-x≥2⇒2x+2-x-1≥1>0,所以b<0. 所以复 数z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 三 象 限.故 选:C. 3.B 依题意,AC→对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3 -4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5. 4.解 ∵向量BA→对应的复数为1+2i,向量BC→对应的复数 为3-i, ∴向量AC→对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又OC→ =OA→+AC→, ∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. ∵AD→=BC→,∴向量AD→对应的复数为3-i,即AD→=(3,-1). 设D(x,y),则AD →=(x-2,y-1)=(3,-1), ∴ x-2=3 , y-1=-1, 解得 x=5,y=0, ∴点D 对应的复数为5. 5.解析 由题意,设复数z=x+yi(x,y∈R), 因为|z-i|=1,可 得 x2+(y-1)2=1,整 理 得x2+ (y-1)2=1, 即复数z在复平面内对应的点为(x,y)则x,y满足的关 系式为x2+(y-1)2=1. 故答案为:x2+(y-1)2=1. 答案 x2+(y-1)2=1 6.解析 ∵1+ai=b+ (2a+3)i,∴ 1=ba=2a+3 ,解 得 a=-3 b=1 , 则|a+3bi|=|-3+3i|= (-3)2+32= 18=3 2, 故答案为:(1)-3;(2)3 2 答案 -3 3 2 7.解 (1)AO→=-OA→,∴AO→所表示的复数为-3-2i. ∵BC→=AO→,∴BC→所表示的复数为-3-2i. (2)CA→=OA→-OC→. ∴CA→所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)对角线OB→=OA→+OC→,它所对应的复数z=(3+2i) +(-2+4i)=1+6i,|OB→|= 12+62= 37. 8.解 如图,因为AC与BD 的交点M 是各自的中点, 所以有zM= zA+zC 2 = zB+zD 2 , 所以zD=zA+zC-zB=1-7i, 因为AC→:zC-zA=2-(-5-2i) =7+2i, 所以|AC→|=|7+2i|= 72+22 = 53, 因为BD→:zD -zB =(1-7i)- (-4+5i)=5-12i, 所以|BD→|=|5-12i|= 52+122=13. 故点D 对应的复数是1-7i,AC与BD 的长分别是 53 和13. 9.解析 根据复数模的计算公式得:|z2-2z|=|1+2i+i2 -2-2i|=2.故答案为:2 答案 2 10.解析 |z+3+4i|≤2的几何意义为复平面内 动点Z到定点A(-3,-4)的距离小于等于2的点的集 合, |z|表示复平面内动点Z到原点的距离, ∵|OA|= (-3)2+(-4)2=5, ∴5-2≤|z|≤5+2. ∴|z|的取值范围为[3,7]. 故答案为:[3,7]. 答案 [3,7] 【刷综合题】 11.解 设z=x+yi(x,y∈R), 则由条件得x2-y2+2xyi- x2+y2-6=0. 由复数相等的充要条件得 x2-y2- x2+y2-6=0, 2xy=0, 解得 x 2- x2-6=0, y=0 或 y 2+ y2+6=0, x=0 (无解), 即 ( x 2-3)( x2+2)=0, y=0, 解得 x=±3,y=0. 故z=3或z=-3. 12.解 (1)z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i, f(z1-z2)=f(5+3i)=(5+3i)+1-i=6+2i. (2)z1+z2=(2cosθ- 2)+(2sinθ-1)i, 由题意得 2cosθ- 2<0, 2sinθ-1>0, 即 cosθ< 22 , sinθ>12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又θ∈[0,2π],所以θ∈ π4 ,5π 6 . 【刷高考题】 A 因为z=5+i,所以z=5-i,所以i(z+z)=10i,故 选A. 必刷题七 复数的四则运算 【刷基础题】 1.解析 ∵z1+z2=5-6i, ∴(x+2i)+(3-yi)=5-6i,∴ x+3=5, 2-y=-6, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·16· |参考答案|