必刷题五 复数的概念-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

12.如图,A、B 是海面 上位于东西方向相 距5(3+ 3)海里 的两个观测点,现 位于 A 点 北 偏 东 45°,B 点 北 偏 西 60°的 D 点有一艘 轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且 与B点相距20 3海里的C点的救援船立即 前往 营 救,其 航 行 速 度 为30海 里/小 时, 试求: (1)轮船D 与观测点B 的距离; (2)救援船到达D 点所需要的时间. (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1, |a+2b|=2,且 b-2a ⊥b,则|b|= ( ) A.12 B. 2 2 C. 3 2 D.1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题五 复数的概念 对复数相关概念的理解 a,b∈R是复数代数形式定义中的必不可 少的条件,忽视了这一条件,就会导致错误的 答案. 【例 1】 当 实 数 m 为 何 值 时,复 数 z= m2+m-6 m + (m2-2m)i为:(1)实数? (2)虚 数? (3)纯虚数? 【解】 (1)当 m2-2m=0, m≠0, 即m=2时,复数z是实数. (2)当m2-2m≠0,且m≠0, 即m≠0且m≠2时,复数z是虚数. (3)当 m2+m-6 m =0 , m2-2m≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即m=-3时,复数z是纯虚数. 【例2】 (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x, y的值; (2)关于x 的方程3x2-a2x-1= (10-x- 2x2)i有实根,求实数a的值. 【解】 (1)∵x2-y2+2xyi=2i, ∴ x2-y2=0, 2xy=2. 解得 x=1, y=1, 或 x=-1,y=-1. (2)设方程的实数根为m,则原方程可变为 3m2-a2m-1= (10-m-2m2)i, ∴ 3m2-a2m-1=0 , 10-m-2m2=0. 解得a=11或a=-715. 【方法总结】 两个复数相等,首先要分清两复 数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充 要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独 立参数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01· |假日必刷题·数学| ◉高分秘籍 1.复数中的许多结论,都是建立在复数为标准 的代数形式这一条件下的,如果没有这一条 件,相应结论不一定能够成立.例如:a+bi=0 ⇒a=b=0成立的条件是a,b∈R;a+bi=c+ di⇒a=c,b=d成立的条件是a,b,c,d∈R.另 外,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件 是a=0,且b≠0,切记不能丢掉“b≠0”这一 条件. 2.复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以 写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数 的代数形式,否则不是. ◉速记口诀 判断与复数有关的命题是否正确的方法 1.举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个 反例即可,所以解答这类题型时,可按照“先 特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行 解答. 2.化代数式:对于复数实部、虚部的确定,不但 要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里 a,b均为实数时,才能确定复数的实、虚部. 特别提醒:解答复数概念题,一定要紧扣复数 的定义,牢记i的性质. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 知识点1 复数的概念 1.若(x+2i)i=y+i,其中x,y∈R,i为虚数单 位,则复数z=x+yi的虚部为 ( ) A.1 B.i C.-2 D.-2i 2.设i为虚数单位,则复数z=5-5i的实部为 ( ) A.-5 B.-5i C.5 D.5i 知识点2 复数的分类及其应用 3.i为虚数单位,已知复数a2-1+(a-1)i是纯 虚数,则a等于 ( ) A.±1 B.1 C.-1 D.0 4.设复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单 位),则“a=0”是“z为纯虚数”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 知识点3 复数相等的条件 5.若a2-1+2ai=3+4i,则实数a的值为( ) A.±2 B.-2 C.2 D.0 6.(多选题)下列命题中不正确的是 ( ) A.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数 B.若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实 数x=±2 D.实数集是复数集的真子集. 7.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0 (m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z= ( ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 8.(多空题)如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x, y为实数,则x= ,y= . 9.(一题两空)定义运算 a b c d =ad-bc,如果 (x+y)+(x+3)i= 3x+2y i -y 1 ,则实数x= ,y= . 10.有下列说法: ①两个复数相等的一个必要条件是它们的 实部相等;②两个复数不相等的一个充分条 件是它们的虚部不相等;③1-ai(a∈R)是 一个复数;④纯虚数的平方不小于0;⑤-1 的平方根只有一个,即为-i;⑥是一个无 理数. 其中正确的有 (填序号). 11.已知x是实数,y是纯虚数,且满足(3x-10)+ i=y-3i,求x与y. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·11· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 12.实数m 取怎样的值时,复数z=m-3+(m2 -2m-15)i是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? (2024·全国甲卷(文))设z= 2i,则z·􀭵z= ( ) A.-2 B.2 C.- 2 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题六 复数的几何意义 复数的几何意义的应用 复数的几何意义 1.每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定, 当把实部和虚部作为一个有序数对时,就和 点的坐标一样,从而可以用点表示复数,因此 复数与复平面内的点是一一对应关系. 2.复数与复平面内以原点为始点的向量也可以 建立一一对应关系. 如图,在复平面内,复数z =a+bi(a、b∈R)可以用点 Z(a,b)或向量OZ → 表示. 复数z=a+bi(a、b∈R)与 点Z(a,b)和向量OZ → 的一一对应关系如下: 复数z=a+bi(a、b∈R)对应的向量为OZ →,则 OZ → 的模叫做复数z的模. 3.复数模的几何意义 (1)复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点 (0,0)的距离. (2)由向量的几何意义知,|z1-z2|表示在复 平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离. 【例1】 (1)设OZ1 → 及OZ2 → 分别与复数z1=5+3i 及复数z2=4+i对应,计算z1-z2,并在复平 面内作出OZ1 → -OZ2 → . (2)设OZ1 → 及OZ2 → 分别与复数z1=1+3i及复 数z2=2+i对应,计算z1+z2,并在复平面内 作出OZ1 → +OZ2 → . 【解】 (1)z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5- 4)+(3-1)i=1+2i.(如图①) ① ② (2)z1+z2=(1+3i)+(2+i)=(1+2)+(3 +1)i=3+4i.(如图②) 【例2】 已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+ z2|= 3. 求|z1-z2|. 【解】 根据复数加减法 的几何意义,由|z1|=|z2| 知,以OA →,OB → 为邻边的 平行四边形OACB 是菱 形.如图,OA → 对应的复数为z1,OB → 对应的复 数为z2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·21· |假日必刷题·数学| (2)C 由题意可得∠DAC=75°,∠DBC=45°, 在△ADC 中,由 正 弦 定 理 得 AC=CD ·sin∠ADC sin∠DAC = (6+ 2)× 32 sin75° =2 3 , 在△BDC 中,由 正 弦 定 理 得 BC=CD ·sin∠BDC sin∠DBC = (6+ 2)×12 2 2 = 3+1, 在△ACB 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2×AC ×BC·cos∠ACB=(2 3)2+(3+1)2-2×2 3×(3 +1)×12=1 ,所以AB= 10km. 故选:C. 10.解析 如图,设基地位于O 处,由题意知∠BAO=30°, BO=100,OA=100 3,则在△ABO 中,由余弦定理,得 BO2=BA2+AO2-2BA·AOcos∠BAO, 即BA2-300BA+20000=0,解 得 BA=100或 BA =200, 即渔船B与救护船A的距离是100nmile或200nmile. 答案 100nmile或200nmile 【刷综合题】 11.解 (1)证 明:以 C 为 坐 标 原 点,以边CB,CA 所在的直线分 别为x 轴,y轴建立平面直角坐 标系,如图所示, A(0,m),B(n,0). ∵D 为AB 的中点, ∴D n2 ,m 2 , ∴|CD→|=12 n 2+m2,|AB→|= m2+n2, ∴|CD→|=12|AB →|,即CD=12AB. (2)∵E 为CD 的中点,∴E n4 ,m 4 , 设F(x,0),则AE→= n4,- 3 4m ,AF→=(x,-m). ∵A,E,F 三点共线,∴AF→=λAE→. 即(x,-m)=λ n4 ,-34m , 则 x=n4λ , -m=-34mλ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故λ=43 ,即x=n3 ,∴F n3 ,0 , ∴|AF→|=13 n 2+9m2, 即AF=13 n 2+9m2. 12.解 (1)由 题 意 可 知:在△ADB 中,∠DAB=45°, ∠DBA=30°,则∠ADB=105°, 由 正 弦 定 理 AB sin∠ADB = DB sin∠DAB 得:5(3+ 3) sin105° = DBsin45° , 由sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60° =6+24 , 代入上式得:DB=10 3,轮船D 与观测点B 的距离为 10 3海里. (2)在△BCD 中, BC=20 3,DB=10 3,∠CBD=60°, 由余弦定理得:CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos60° =(20 3)2+(10 3)2-2×20 3×10 3×12=30 2, ∴CD=30, ∴t=sv = 30 30=1 , 即该救援船到达D 点所需的时间1小时. 【刷高考题】 B 由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以 b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方,得a2+4a· b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4,解得|b|2= 1 2 ,所以|b|= 22 ,故选B. 必刷题五 复数的概念 【刷基础题】 1.C 由于(x+2i)i=y+i,则x=1且y=-2,所以 z=x+yi=1-2i,所以复数z的虚部为-2. 故选:C. 2.C 复数z=5-5i的实部为5.故选:C. 3.C 复数a2-1+(a-1)i是纯虚数,所以 a 2-1=0 a-1≠0 ,得 a=-1.故选:C. 4.B 若复数z=a+bi是纯虚数,则a=0,b≠0, 则a=0不 能 证 得 z 为 纯 虚 数,z 为 纯 虚 数 可 以 证 得a=0, 故“a=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件, 故选:B. 5.C 由复数相等的充要条件知a2-1=3且2a=4,故a=2. 6.ABC 对于A,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,即 A 错误;两个虚数不能比较大小,则B错误;对于C,若x= -2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+ 3x+2)i=0不是纯虚数,则C错误;显然,D正确. 7.B ∵关于x的方程x2+(m+zi)x+z+zi=0(m∈k)的 实根n且z=m+ni ∴n2+mn+2+(m+2)i=0 ∴ n 2+mn+2=0 2n+2=0 解得:m=3n=-1 ∴复数z=3-i,故选B. 8.解析 由复数相等可知,x-1=-3x , y=1, 解得 x= 1 4 , y=1. 答案 14 1 9.解析 由定义运算 a bc d =ad-bc 得 3x+2y i -y 1 =3x+2y+yi, 故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 因为x,y为实数,所以有 x+y=3x+2y, x+3=y, 解得x=-1,y=2. 答案 -1 2 10.解析 若两个复数相等,则它们的实部、虚部均相等, 故①正确;若虚部不相等,则两个复数一定不相等,故 ②正确;满足形如a+bi(a,b∈R)的数均为复数,故③ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·06· |假日必刷题·数学| 正确;纯虚数的平方小于0,如i2=-1,故④错误;-1 的平方根不止一个,因为(±i)2=-1,故⑤错误;2i是 虚数,故⑥错误.综上可得,①②③正确. 答案 ①②③ 【刷综合题】 11.解 设y=bi(b∈R且b≠0)代入(3x-10)+i=y-3i, 整理得(3x-10)+i=bi-3i, 由复数相等的充要条件得 3x-10=0, 1=b-3, 解得 x= 10 3 , b=4, ∴x=103,y=4i. 12.解 (1)若m2-2m-15=0,则z为实数,此时m=-3 或者m=5. (2)若 m2-2m-15≠0,则z 为 虚 数,此 时 m≠-3 且m≠5. (3)若 m-3=0 m2-2m-15≠0 ,则z为纯虚数,此时m=3. 即(1)m=5或m=-3;(2)m≠5且m≠-3; (3)m=3. 【刷高考题】 D 因为z= 2i,所以z=- 2i,z·􀭵z=2,故选D. 必刷题六 复数的几何意义 【刷基础题】 1.D 因为a2-4a+5=(a-2)2+1>0,-b2+2b-6= -(b-1)2-5<0, 所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限. 故选:D. 2.C 复数z=-lg(x2+2)-(2x+2-x-1)i(x∈R)的实 部a=-lg(x2+2)、虚部b=-(2x+2-x-1). 因为x2+2≥2>1⇒lg(x2+2)>0,所以a<0. 因为2x+2-x≥2⇒2x+2-x-1≥1>0,所以b<0. 所以复 数z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 三 象 限.故 选:C. 3.B 依题意,AC→对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3 -4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5. 4.解 ∵向量BA→对应的复数为1+2i,向量BC→对应的复数 为3-i, ∴向量AC→对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又OC→ =OA→+AC→, ∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i. ∵AD→=BC→,∴向量AD→对应的复数为3-i,即AD→=(3,-1). 设D(x,y),则AD →=(x-2,y-1)=(3,-1), ∴ x-2=3 , y-1=-1, 解得 x=5,y=0, ∴点D 对应的复数为5. 5.解析 由题意,设复数z=x+yi(x,y∈R), 因为|z-i|=1,可 得 x2+(y-1)2=1,整 理 得x2+ (y-1)2=1, 即复数z在复平面内对应的点为(x,y)则x,y满足的关 系式为x2+(y-1)2=1. 故答案为:x2+(y-1)2=1. 答案 x2+(y-1)2=1 6.解析 ∵1+ai=b+ (2a+3)i,∴ 1=ba=2a+3 ,解 得 a=-3 b=1 , 则|a+3bi|=|-3+3i|= (-3)2+32= 18=3 2, 故答案为:(1)-3;(2)3 2 答案 -3 3 2 7.解 (1)AO→=-OA→,∴AO→所表示的复数为-3-2i. ∵BC→=AO→,∴BC→所表示的复数为-3-2i. (2)CA→=OA→-OC→. ∴CA→所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)对角线OB→=OA→+OC→,它所对应的复数z=(3+2i) +(-2+4i)=1+6i,|OB→|= 12+62= 37. 8.解 如图,因为AC与BD 的交点M 是各自的中点, 所以有zM= zA+zC 2 = zB+zD 2 , 所以zD=zA+zC-zB=1-7i, 因为AC→:zC-zA=2-(-5-2i) =7+2i, 所以|AC→|=|7+2i|= 72+22 = 53, 因为BD→:zD -zB =(1-7i)- (-4+5i)=5-12i, 所以|BD→|=|5-12i|= 52+122=13. 故点D 对应的复数是1-7i,AC与BD 的长分别是 53 和13. 9.解析 根据复数模的计算公式得:|z2-2z|=|1+2i+i2 -2-2i|=2.故答案为:2 答案 2 10.解析 |z+3+4i|≤2的几何意义为复平面内 动点Z到定点A(-3,-4)的距离小于等于2的点的集 合, |z|表示复平面内动点Z到原点的距离, ∵|OA|= (-3)2+(-4)2=5, ∴5-2≤|z|≤5+2. ∴|z|的取值范围为[3,7]. 故答案为:[3,7]. 答案 [3,7] 【刷综合题】 11.解 设z=x+yi(x,y∈R), 则由条件得x2-y2+2xyi- x2+y2-6=0. 由复数相等的充要条件得 x2-y2- x2+y2-6=0, 2xy=0, 解得 x 2- x2-6=0, y=0 或 y 2+ y2+6=0, x=0 (无解), 即 ( x 2-3)( x2+2)=0, y=0, 解得 x=±3,y=0. 故z=3或z=-3. 12.解 (1)z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i, f(z1-z2)=f(5+3i)=(5+3i)+1-i=6+2i. (2)z1+z2=(2cosθ- 2)+(2sinθ-1)i, 由题意得 2cosθ- 2<0, 2sinθ-1>0, 即 cosθ< 22 , sinθ>12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 又θ∈[0,2π],所以θ∈ π4 ,5π 6 . 【刷高考题】 A 因为z=5+i,所以z=5-i,所以i(z+z)=10i,故 选A. 必刷题七 复数的四则运算 【刷基础题】 1.解析 ∵z1+z2=5-6i, ∴(x+2i)+(3-yi)=5-6i,∴ x+3=5, 2-y=-6, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·16· |参考答案|