必刷题三 平面向量基本定理及坐标运算-【高考解码·过好假期每一天】2025年高一数学暑假必刷题

xCB→+yCD→=x(2a-8b)+3y(a-b) =(2x+3y)a+(-8x-3y)b. ∴ 2x+3y=1-8x-3y=-13 ,所以 x=2y=-1 ∴CA→=xCB→+yCD→,其中x+y=1. 【刷高考题】 解析 因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15. 答案 15 必刷题三 平面向量基本定理及坐标运算 【刷基础题】 1.BC 由平面向量基本定理可知,A、D是正确的.对于B, 由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于 C,当λ1λ2=0或μ1μ2=0时不一定成立,应为λ1μ2-λ2μ1 =0.故选BC. 2.D A中,两个向量为相反向量,即e1-e2=-(e2-e1), 则e1-e2,e2-e1 为共线向量;B中,2e1-e2=2e1- 1 2e2 , 也为共线向量;C中,6e1-4e2=-2(2e2-3e1),为共线 向量.根据不共线的向量可以作为基底,只有D符合. 3.D ∵AF→= 12 (AB →+AE→)= 12AB →+ 12 × 1 2AD →= 1 2AB →+14× 1 2 AB →+AC→ =58AB →+18AC →,故选D. 4.A 若BC→=λDC→(λ∈R),∴AC→-AB→=λAC→-λAD→,化 为AD→=1λAB →+λ-1λ AC →,与AD→=-13AB →+43AC → 比 较,可得:1 λ=- 1 3 ,λ-1 λ = 4 3 ,解得λ=-3.则λ=-3. 故选A. 5.AD 设P(x,y),则P1P →=(x,y-1),PP2→=(4-x,4-y), 当点P 靠近点P1 时,P1P →=12PP2 →, 则 x=12 (4-x) y-1=12 (4-y) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得 x= 4 3 y=2 ,所以P 43,2 , 当点P 靠近点P2 时,P1P →=2PP2→, 则 x=2(4-x) y-1=2(4-y) ,解得 x= 8 3 y=3 ,所以P 83,3 , 故选:AD 6.D ∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2), ∴a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4). 令a=xm+yn=(-x+y,x+2y), ∴ -x+y=2 , x+2y=4, 解得 x=0,y=2, ∴a在基底m,n下的坐标为(0,2). 7.A AB→=OB→-OA→=(4-k,-7),AC→=OC→-OA→= (-2k,-2). 因为A,B,C 三 点 共 线,所 以AB→,AC→共 线,所 以-2× (4-k)=-7×(-2k),解得k=-23. 故选:A. 8.C ma+nb=m(1,2)+n(-3,3)=(m-3n,2m+3n), a-3b=(1,2)-3(-3,3)=(10,-7), 若ma+nb 与a-3b 共 线,则-7(m-3n)=10(2m+ 3n),即mn =- 1 3. 故选:C. 9.D 由已知得AB→=(3,1),AC→=(2,4),∴cos∠BAC= cos<AB→,AC→>= AB →·AC→ |AB→||AC→| = 3×2+1×4 32+12+ 22+42 = 2 2. 故选:D. 10.AC 因为向量a=(m,3),b=(2,-4),所以a+b=(m +2,-1), 若(a+b)⊥a,则(m+2)×m+(-1)×3=0,即 m2+ 2m-3=0,解得m=1或m=-3,故A正确,B错; 当m=-3时,|a+b|= (m+2)2+(-1)2= 2; 当m=1时,|a+b|= (m+2)2+(-1)2= 10; 故C正确,D错.故选:AC. 11.解析 (1)(a+λb)⊥(a-λb)⇒(a+λb)·(a-λb)= a2-λ2b2=0⇒18-2λ2=0⇒λ=±3. (2)因为a=(-2,-6),所以|a|= (-2)2+(-6)2 =2 10.又|b|= 10,向量a与b 的夹角为60°,所以 a·b=|a||b|cos60°=2 10× 10×12=10. (3)解析 由cosθ<0得x<85 , 因为a∥b时有-4x-10=0,即x=-52 , 当x=-52 时,a=(2,-52 )=-12b , 所以a与b反向,θ=π,故x<85 且x≠-52. 答案 (1)±3 (2)10 (3)x<85 且x≠-52 【刷综合题】 12.解析 设BM→=e1,CN→=e2, 则AM→=AC→+CM→=-3e2-e1, BN→=BC→+CN→=2e1+e2. ∵A,P,M 和B,P,N 分别共线, ∴存在实数λ,μ使得AP →=λAM→ =-λe1-3λe2,BP →=μBN →=2μe1+μe2. 故BA→=BP→+PA→=BP→-AP→=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而BA→=BC→+CA→=2e1+3e2,由平面向量基本定理, 得 λ+2μ=2, 3λ+μ=3, 解得 λ=45 , μ= 3 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴AP→=45AM →,BP→=35BN →, ∴AP ︰PM=4,BP ︰PN=32. 13.解 (1)设OM→=(x,y),∵点 M 在直线OP 上,所以向 量OM→与OP→共线,又OP→=(2,1),∴x×1-y×2=0,即 x=2y. ∴OM→=(2y,y),又MA→=OA→-OM→,OA→=(1,7), ∴MA→=(1-2y,7-y). 同理MB→=OB→-OM→=(5-2y,1-y). 于是MA→·MB→=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)= 5y2-20y+12. 由二次函数的知识,可知当y= 202×5=2 时,MA→·MB→ 有最小值-8,此时OM→=(4,2). (2)当OM→=(4,2),即y=2时,有MA→=(-3,5),MB→= (1,-1), |MA→|= 34,|MB→|= 2,MA→·MB→=(-3)×1+5× (-1)=-8. cos∠AMB= MA →·MB→ |MA→||MB→| = -8 34× 2 =-4 1717 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·85· |假日必刷题·数学| 【刷高考题】 D 解法一(向量法+坐标法) 因为b⊥(b-4a),所以 b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2, x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x- 2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二(坐标法) 因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a =(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥ (b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0, 所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 必刷题四 平面向量的应用 【刷基础题】 1.C ∵(AB→-2AC→)⊥AB→,∴(AB→-2AC→)·AB→=0, 即AB→·AB→-2AC→·AB→=0. ∵(AC→-2AB→)⊥AC→,∴(AC→-2AB→)·AC→=0, 即AC→·AC→-2AB→·AC→=0, ∴AB→·AB→=AC→·AC→=2AB→·AC→,即|AB→|=|AC→|, ∵cosA= AB →·AC→ |AB→||AC→| =12 ,∴∠A=60°,∴△ABC 为等 边三角形.答案选C. 2.C 在直角三角形ABC 中,AB=AC=2,则BC=2 2, 因为M 为BC 的中点,所以AM= 2.设|OA→|=x,(0≤x ≤ 2) OA→·OB→+OA→·OC→=OA→·(OB→+OC→)=2OA→·OM→ =-2|OA→|·|OM→|=-2x(2-x)=2(x2- 2x) =2x- 22 2 -1 所以当x= 22 ,即|OA→|= 22时,原式取得最小值为-1. 故选:C. 3.A 设 F1,F2 的 对 应 向 量 分 别 为 OA→、OB→, 以OA、OB 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 OACB 如图, 则OC→=OA→+OB→,对应力F1,F2 的合力 ∵F1,F2 的夹角为90°,∴四边形OACB 是矩形, 在Rt△OAC中,∠COA=30°,|OC→|=20N, ∴|OA→|=|OC→|cos30°=10 3N. 故选:A. 4.解析 (1)在△ABC 中,a=1,b=2,C=60°,由余弦定 理得 c2=12+22-2×1×2cos60°=3, 所以c= 3.故选:A (2)因为△ABC为锐角三角形,sinA= 53 ,由同角三角 函数关系式可得 cosA= 1- 5 3 2 =23 又因为b=2,c=3由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A 代入可得 a2=4+9-2×2×3×23=5 所以a= 5故选:D (3)由题:钝角三角形的三边长分别为k、k+2、k+4, k+k+2>k+4 k2+(k+2)2<(k+4)2 解得:k∈(2,6).故选:D. 答案 (1)A (2)D (3)D 5.D 由正弦定理可得:ACsinB= AB sinC ,则sinC=ABsinBAC = 3 2 × 22= 3 2 ,因为AC<AB,所以B<C,故C=π3 或2π 3. 故选:D. 6.解析 因为△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=4∶1 ∶1,所以A=4π6= 2π 3 ,B=π6 ,BC为最大边, 由正弦定理得 BC sinA= AC sinB= 3 sinπ6 =2 3, 所以BC=2 3sinA=2 3sin2π3=2 3× 3 2=3. 故答案为:3. 答案 3 7.BCD 因为cosB=ac ,由余弦定理的推论得a 2+c2-b2 2ac =ac ,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角 三角形,故条件A不能;由正弦定理得acosB=bcosA⇒ sinAcosB=sinBcosA⇒sin(A-B)=0,由于-π<A- B<π,故必有 A-B=0,A=B,即△ABC 为 等 腰 三 角 形,故条件B能;因为c=2acosB,所以sinC=2sinAcos B,所以sin(A+B)=2sinAcosB,所以sinAcosB+cos AsinB=2sinAcosB,所以sinAcosB-cosAsinB=0, 所以sin(A-B)=0,所以A=B,故条件C 能;由bsinB =csinC可得sin2B=sin2C,因为三角形内角和为180°, 所以sinB=sinC,所以B=C,故△ABC为等腰三角形, 故条件D能. 8.解 法一:根据正弦定理,得 asinA= b sinB= c sinC , ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2, ∴A 是直角,B+C=90°, ∴2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA=1, ∴sinB= 22. ∵0°<B<90°,∴B=45°,C=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二:根据正弦定理,得 a sinA= b sinB= c sinC , ∵sin2A=sin2B+sin2C, ∴a2=b2+c2,∴A 是直角, ∵A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC, ∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC, ∴sin(B-C)=0. 又∵-90°<B-C<90°,∴B-C=0,∴B=C, ∴△ABC是等腰直角三角形. 9.(1)D 由题意,设李华家为A,有害垃圾点为B,可回收 垃圾点为C,则李华的行走路线,如图所示, 在△ABC中,因为AB=80,BC=30,B=60°, 由余弦定理可得: AC= AB2+BC2-2AB·BCcos60°= 802+302-2×80×30×12=70 米, 即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选:D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·95· |参考答案| 必刷题三 平面向量基本定理及坐标运算 平面向量数量积与三角函数的交汇问题 用含有三角函数的坐标表示向量,就使得 向量与三角函数建立了密切的内在联系.通过 向量的坐标运算,将向量条件转化为三角函数 关系是解题的第一步,根据题目要求,求解余下 的三角函数问题是解题的第二步,利用这两步 求解的策略,可将向量与三角函数的综合问题 转化为两个基本问题解决. 【例】 已知向量a=(3,-1),b=(1,λ)(λ∈R). (1)若a与b 的夹角为锐角,求实数λ的取值 范围; (2)已知AB → =ma+b,AC → =a+mb,其中 A, B,C是坐标平面内不同的三点,且A,B,C 三 点共线,当λ=m 时,求m 的值. 【解】 (1)因为a·b=3-λ,a与b的夹角为 锐角, 所以a·b>0,即 3-λ>0,解得λ< 3, 当a∥b时,3λ=-1,即λ=- 33 ,此时,b= 1,- 33 = 33(3,-1)= 33a, a与b 的夹角为0,也满足a·b>0,但不满足 题意,所以λ≠- 33 , 综上,λ< 3且λ≠- 33. (2)由题知,AB → =ma+b=(3m,-m)+(1, λ)=(3m+1,λ-m), AC → =a+mb=(3,-1)+(m,λm)=(3+ m,λm-1) 因为A,B,C 三点共线,所以AB → ∥AC →, 所以(3m+1)(λm-1)-(3+m)(λ-m)=0, 当λ=m 时,3m+1=0或m2-1=0. 当 3m+1=0时,AB → =0,点A 与点B 重合, 与题意矛盾; 当m2-1=0时,m=1或m=-1. 若m=1,AB → =AC →,点B 与点C 重合,与题意 矛盾; 若m=-1,AB → =-AC →,满足题意. 综上,m=-1. ◉高分秘籍 1.(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关 的运算法则和运算性质,解题时通常有两条 途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行 数量积运算;二是先利用数量积的运算律将 原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的 题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的 坐标即可求解. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平 行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不 断地 提 高 利 用 向 量 工 具 解 决 数 学 问 题 的 能力. ◉速记口诀 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标 表示求出这两个向量的数量积. (2)求 模.利 用|a|= x2+y2计 算 两 向 量 的模. (3)求 夹 角 余 弦 值.由 公 式 cosθ = x1x2+y1y2 x21+y21· x22+y22 求夹角余弦值. (4)求 角.由 向 量 夹 角 的 范 围 及cosθ 求θ 的值. 2.涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥ b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·5· |第一部分 收官之作·完胜上一学期| 知识点1 对基底概念的理解 1.(多选题)如果e1、e2 是平面α内两个不共线 的向量,那么下列说法中不正确 ∙∙∙ 的是 ( ) A.a=λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内 的所有向量 B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2 的实数对(λ,μ)有无穷多个 C.若向量λ1e1+μ1e2 与λ2e1+μ2e2 共线,则 λ1 λ2 =μ1 μ2 D.若实数λ、μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0 2.若e1,e2是平面内的一个基底,则下列四组向 量能作为平面向量的基底的是 ( ) A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1- 1 2e2 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1+3e2 知识点2 平面向量基本定理的应用 3.如图,在△ABC 中,D,E,F 分别为线段BC, AD,BE的中点,则AF → = ( ) A.18AB → +58AC → B.58AB → -18AC → C.18AB → -58AC → D.58AB → +18AC → 4.设D为△ABC所在平面内一点,AD → =-13AB → +43AC →,若BC → =λDC →(λ∈R),则λ= ( ) A.-3 B.3 C.-2 D.2 知识点3 平面向量坐标运算的综合应用 5.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点P1(0,1), P2(4,4).当P 是线段P1P2 的一个三等分点 时,点P 的坐标为 ( ) A.43 ,2 B.43,3 C.(2,3) D.83 ,3 6.若α,β是一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈ R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐 标.现已知向量a 在基底p=(1,-1),q= (2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一个基 底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 ( ) A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) 知识点4 平面向量数乘运算的坐标表示 及应用 7.已知向量OA → =(k,12),OB → =(4,5),OC → = (-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是 ( ) A.-23 B. 4 3 C. 1 2 D. 1 3 8.已知向量a=(1,2),b=(-3,3),若ma+nb 与a-3b共线,则mn= ( ) A.13 B.3 C.- 1 3 D.-3 知识点5 面向量数量积的坐标运算及 应用 9.已知A(1,-2),B(4,-1),C(3,2),则cos∠BAC = ( ) A.- 210 B. 2 10 C.- 2 2 D. 2 2 10.(多选题)已知向量a=(m,3),b=(2,-4), 若(a+b)⊥a,则 ( ) A.m=1或m=-3 B.m=-1或m=3 C.|a+b|= 2或|a+b|= 10 D.|a+b|= 2或|a+b|= 26 11.(1)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+ λb)⊥(a-λb),则实数λ= . (2)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a= (-2,-6),|b|= 10,则a·b= . (3)设a=(2,x),b=(-4,5),若a与b 的夹 角为钝角,求x的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6· |假日必刷题·数学| 12.如图,在△ABC中,点 M 是BC 的中点,点 N 在AC 上,且AN =2NC,AM 与BN 相交于点P, 求 AP︰PM 与 BP ︰ PN 的值. 13.平面内有向量OA → =(1,7),OB → =(5,1),OP → =(2,1),点 M 为直线OP 上的一动点. (1)当MA →·MB → 取最小值时,求OM → 的坐标; (2)当点 M 满足(1)的 条 件 和 结 论 时,求 cos∠AMB的值. (2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b= (2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 必刷题四 平面向量的应用 与三角形有关的最值、范围问题 1.三角形中的最值、范围问题的解题策略 (1)定基本量:根据题意或几何图形厘清三角 形中边、角的关系,利用正、余弦定理求出相 关的边、角或边角关系,并选择相关的边、角 作为基本量,确定基本量的范围. (2)构建函数:根据正、余弦定理或三角恒等 变换将待求范围的变量用关于基本量的函数 解析式表示. (3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性 等求最值. 2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点 (1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的 范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围 求角的范围时可以利用余弦定理进行转化. (2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π, 0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大边对大 角等. 【例】 已知在△ABC中,c=2bcosB,C=2π3. (1)求B的大小; (2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使 △ABC存在且唯一确定,并求出BC 边上的 中线的长度. ①c= 2b;② 周 长 为 4+2 3;③ 面 积 为 S△ABC= 3 3 4 . 【分析】 (1)由正弦定理化边为角即可求解; (2)若选择①:由正弦定理求解可得不存在; 若选择②:由正弦定理结合周长可求得外接 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7· |第一部分 收官之作·完胜上一学期|